高等数学曲面及其方程全面.ppt

（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
x
若球心在原点，则 x0 y0 z0 0, 球面的方程为
x 2 y 2 z 2 R 2 (3)
例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.
解： • M'
有 MA MB
即 x 12 y 22 z 32
•
•M
曲面 S 与三元方程
Fx, y,z 0
(1)
S y
有下述关系：
x
o
① 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
② 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),
则方程(1)就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程(1)的图形.
以下给出几例常见的曲面.
例1 求到点M0 (x0, y0, z0) 的距离等于R的点的轨迹方程.
•7. 向量的混合积
ax a y az
a , b , c a b c bx by bz
cx cy cz
卫星接收装置 (旋转抛物面)
•化工厂或热电厂的冷却塔 • (旋转双曲面)
.
第三节 曲面及其方程
➢ 一、曲面方程的概念 ➢ 二、旋转曲面 ➢ 三、柱面 ➢ 四、二次曲面
•复习
•1. 空间直角坐标系
z
•M•(x,y,z)
•2. 两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
•间的距离公式为
x
d ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
O
y
•右手系
•3.两向量的数量积
a b a b cos
a b axbx a yby azbz
•4.两向量的夹角 cos a b
ab
i jk •5.两向量的向量积 a b a x a y az
bx by bz
•6.两向量互相平行垂直的条件
a // b a b 0 a x a y az bx by bz
a b a b 0 axbx a yby azbz 0
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
x 22 y 12 z 42
B•
整理得 2x 6 y 2z 7 0
即为所求点的轨迹方程. 线段AB 的垂直平分面.
例3 方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样的曲面?
解 配方得 x 12 y 22 z2 5.
原方程表示球心在点M0 1,2,0, 半径为 R 5 的球面.
解 设轨迹上的动点为M(x,y,z)
z
则 M0M R
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2 (2)
Mx, y,z
•
R
M 0 x0 , •y0 , z0
就是以 M0 x0 , y0 ,z0 为球心 ,
o
y
半径为 R 的球面方程.
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
一般地，三元二次方程 Ax 2 Ay 2 Az 2 Dx Ey Fz G 0
x
D
2
y
E
2
z
F
2
D2
E2
F2
G
2A 2A 2A
4A
特点：(1) x2, y2, z2项系数相同;
(2) 缺 xy , yz , zx 项.
其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
一、曲面方程的概念
平面解析几何中
如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0 的解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，
那么，这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线。
空间解析几何中
z
任何曲面都可以看作是点的几何轨迹. F x, y,z 0
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
1、yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
设yOz面的曲线C：f y, z 0 ，点M1(0,y1,z1)在曲线C,