根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵
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根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵
矩阵的特征矢量比特征值更难计算，如果能够根据特征值来计算特征矢量，
无疑是非常理想的。这在矩阵特征值不简并时时可以做到的。因为这时矩阵可以作特征分解即i i i
i M v v ∑=λ，这里每个特征值只对应一个特征矢量，投影算符的
秩是1，投影出来的子空间是1维的。在矩阵特征值出现简并时不能这样分解，但是可以将对应本征值的空间通过投影算符投影出来，投影算符的秩不再是1，投影出来的子空间不再是1维的。我们通过矩阵的最小多项式将这个投影算符用矩阵多项式表达出来。
特征值代数重数等于几何重数的矩阵构造投影矩阵
如果知道矩阵的所有特征值，比如 对称M 矩阵的特征值有3个，分别是a,b,c 我们可以这样构造对应的特征空间的投影算符
))(()
)((c a b a c M b M P a ----=
))(()
)((c b a b c M a M P b ----=
)
)(()
)((b c a c b M a M P c ----=
为什么？
直观理解，a P 作用在b,c 特征子空间时，为0，因此可以。
由于M 矩阵是对称矩阵，可以通过相似变换对角化，比如说如下形式
1
111----⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==S c b
a a S DS S M 于是
))()(())()((1=---=----S
c D b D a D S c M b M a M
这个最小多项式可以给出M 矩阵构造的投影算符的系数 因为
())
)()()(())()()(()))()()(())()((()
)()()(()
)()()(())((22
c a b a c M b M c a a M b a c M b M c a a M b a c M b M a M c M b M c a a M b a a M c M b M c M b M c M b M c M b M P P a
a ----=-+----=-+----+---=-+--+---=----=--=
因此
)
)(()
)((c a b a c M b M P a ----=
其他类推。
特征值代数重数不等于几何重数的矩阵构造投影矩阵
那么如果矩阵不是对称的或厄密共轭的呢？
矩阵可以通过相似变换化成Jordan 形式 于是可以可分析其最小多项式是关键。 假设矩阵M 的最小多项式是
∏
=-c
i m i
i
x 1)λ（
于是满足
∏
==-c
i m i
i
M 10)λ（
于是投影到本征值为j λ对应的本征空间上的投影算符可以写为
)()(M h M g P j j j =λ
其中j
i
m j c
i m i
j x x x g )
()
()(1
λλ--=
∏=是最小多项式除以j m
j x )(λ-得到的多项式。
而)(x h j ，是小于次数小于j m 的多项式，且满足 j
m j j j x x f x g )
(mod 1)()(λ-=
证明
(1) 证明j j P P λλ=2
于是
)
()())()(1)(()()()(22M h M g M w M M h M g M h M g j j j m
j j j j j j =-+=λ
注意0)
)((=-j
m j j M M g λ，因为j m
j j x x g ))((λ-是最小多项式。
(2) 证明j i P P i j ≠=,0λλ
)()()()()()()()()(x h x h x x x h x g x h x g x f i j i
k m k j
n m n i i j j ij k n ∏∏≠≠--==λλ
最小多项式是它的因子，因此
)(==M f P P ij i j λλ
(3) 证明1=∑j
j P λ
∑∑-+==j
j m j j j j
j j x g x x w x g x h x g x f j
)
()
)((1)
()()()(λ
这个多项式的次数∑ j m 且在k x λ=处的函数值都为1，在k x λ=处的j m <阶导 数都为0，满足这些条件的多项式函数除1以外，都是次数∑≥j j m 的函数。因 此1)(=x f ，于是1)(==∑M f P j j λ。 计算)(x h 的办法 这里)(x h 可表述为 ⎰∑Γ-=+--= j j m j j y y g x i x h λ α α α λλπ10 1 ))(()(21)( 积分回路是复平面上包含j λ且不包含其他特征值的逆时针回路， 可以通过泰勒展开计算j j y y m j j y g x x h λαα α αλ=-=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂-= ∑)(1! )()(1 。