2017年四川省成都市双流中学自主招生数学试卷

2017年四川省成都市双流中学自主招生数学试卷

一、选择题

1．（3分）如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）

A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b

2．（3分）如果a﹣b＝5，那么代数式的值是（）

A．B．﹣5C．D．5

3．（3分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（）

A．48，49B．62，63C．75，76D．84，85

4．（3分）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）

A．B．

C．D．

5．（3分）如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线

Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）

A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）

6．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）

A．B．C．D．

7．（3分）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（）

A．4，B．4，3C．4，D．3，5

8．（3分）下列关于函数y＝x2﹣6x+10的四个命题：①该函数的最小值为10；②若n为任意实数，则x＝3+n时的函数值等于x＝3﹣n时函数值；③若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b；④若n＞3，且n是整数，则当n≤x≤n+1，y的整数值有2n﹣4个．其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个

二、填空题

9．（3分）不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为．

10．（3分）关于x的代数式（x+a）（x+b）（x+c）的化简结果为x3+mx+2，其中a、b、c、m都是整数，则

m的值为．

11．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．

12．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为．

13．（3分）手机上常见的WiFi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1，S2，S3…

则S1+S2+S3+…+S21＝．

14．（3分）某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20，则该班同学中只答对一道题的人数是，该班的平均成绩是．

三、解答题

15．（1）计算：．

（2）已知x2﹣10xy+25y2＝0，且xy≠0，求代数式的值．

16．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．（1）求∠ABC的度数；

（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

17．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．

（1）求k的值．

（2）若k＞2，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，再将所得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：若b＜k，当直线与此图象有两个公共点时，求b的取值范围．

18．某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．（1）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒）的函数解析式．

（2）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得下表：

雕刻量n210230250270300

频数12331

以这10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．

①求该雕刻师这10天的平均收入．

②求该雕刻师当天的收入不低于300元的概率．

19．如图，点A、B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C、D分别在x轴的

正、负半轴上，若CD＝k，已知AB＝4AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的3倍．（1）求AB的长．

（2）求k的值．

20．如图①，已知A、B是⊙O1上的两点，直线l与⊙O1相交于B、C两点，过A点作⊙O1的切线AO，AO⊥l交于点O，已知BC＝8，⊙O1的半径为5．

（1）证明：∠ABO1＝∠ABO．

（2）求AB的长．

（3）如图②，以AO所在直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图所示的直角坐标系，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，BM﹣BN的值是否改变？若改变，请说明理由．若不变，请求出该值．

21．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x＝﹣2和x＝5时二次函数的函数值y相等．