间接平差精度评定
第04章间接平差
第04章间接平差zqz99@zqz99@第四章12 3 4间接平差§1 间接平差原理§2 误差方程式§3 间接平差的法方程§4 间接平差的精度评定5§5 间接平差实例zqz99@教学目的● 理解间接平差的基本思想● 理解间接平差的基本原理● 掌握间接平差的方法和精度评定● 能用间接平差进行水准网平差● 能用间接平差进行平面控制网平差zqz99@两点之间最短的距离不一定是直线在人与人的相处以及做事情的过程中，我们有时很难直截了当就把事情做好。
我们有时需要等待，有时需要合作，有时需要技巧。
当我们遇到困难时，我们先要学会分析自己有没有这个能力去克服，如果暂时还没有，那我们不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择绕过困难，绕过障碍，这并不是逃避，更不是轻意放弃，而是换一条路继续前行，或许这样，一切会变得更顺利。
“通往广场的路不止一条”告诉我们的也是这个道理。
zqz99@1§1 间接平差原理1.间接平差的基本思想在测量工作中，确定某些量或某个图形所需要的最少观测个数t ,称为必要观测数。
例如，为了确定三角形的形状，我们观测了其中的两个内角，则三角形的形状可由这两个内角唯一确定，不需要进行平差，该问题必要观测数t =2。
但为了能及时发现粗差并提高测量成果的精度，通常对三个内角都进行观测。
由于观测误差的存在，致使观测值之间产生不符值，即三角形内角和不等于180°,三角形的形状不能唯一确定，需要采用测量平差的方法来进行处理，消除矛盾，获取最优结果，最终唯一确定三角形的形状。
zqz99@那么，当观测结果存在多余观测的情况时，如何应用测量平差方法解决因多余观测而产生有矛盾呢?在上一章中，我们介绍了条件平差方法它是以n个观测值的平差值作为未知数，通过它们之间存在的r 个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理来解出唯一的那组改正数，从而求得各观测量的最或是值本章将介绍测量平差的另一基本方法―间接平差法。
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
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第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B
第六章 间接平差
第六章间接平差第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定第四节平差示例一、数学模型V L L+=ˆ第一节间接平差原理l x B V −=ˆLLLL Q D 2σ=AB Ch 4h 3h 1h 5h 2hh h第一节间接平差原理二、基础方程和它的解l xB V −=ˆ最小=PV V T按函数极值的求法，极值函数：min )ˆ()ˆ(=−−=l x B P l x B PV TT 02=PB V T-----法方程=PV B T基础方程0ˆ)(=−Pl B xPB B TT解即得:PlB PB B TT 1)−l x B −ˆVL L +=ˆ-----法方程0ˆ)(=−Pl B xPB B TT bbN二、间接平差法平差步骤1、选择第二节误差方程一、确定待定参数的个数二、参数的选取高程控制网：待定点的高程A B Ch 4h 3h 1h 5h 2三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程ijX iX j2、方向的误差方程N零方向kljkL jlLjY k X jZ 设j 、k 的坐标为未知参数：jkLˆˆˆ对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开:0000)(jZXXYY arctg x Y f x Xf yY f xXf zVLjkj k k kkkjj jjjjkjk−−−+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+−=+kk k z Z Z +=0ˆjj j x X X +=0ˆjj j y Y Y +=0ˆkk k x X X +=0ˆkk k y Y Y +=0ˆ22)(1)()1)((jk j k j k j k jX X Y Y X X Y Y Xf −−+−−−−=∂∂22)()()(j k j k j k Y Y X X Y Y −+−−=jkjk jkjk S SY αsin 2=Δ=22)(1)()(jk j k j k j k kX X Y Y X X Y Y X f −−+−−−=∂∂22)()()(j k j k j k Y Y X X Y Y −+−−−=jkjk jkjk S SY αsin 2−=Δ−=2)(1)(1jk j k j k j X X Y Y X X Y f −−+−−=∂∂22)()()(j k j k j k Y Y X X X X −+−−−=jkjkjk jk S S X αcos 2−=Δ−=)(j k X X −=0000(00000XXY Y arctg x Y f x Xf yYf xXfz VLj k k YX kY X jY X jjjj jkjk−−+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+−=+0000(cos sin jkjkY Y arctg x x ySxSz Vj k j jkjjkjjk jk−++−+−=+αα0000(cos sin jkjkY Y arctg Lx x ySxSzj k jkjjkjjkjjk−+−+−+−=αα当j 点已知时：000000)(cos sin jjkjkZXXY Y arctg Lx S x SzVjkj k jkkjk k jk jjk−−−+−+−−=ααN零方向kljkL jlLjjY k X jZ 0000000000000)(cos sin cos sin jjkjkjkjkZXXY Y arctg Lx Sx SySxSzVj kj k jkk jkk jkjjkjjkjjk−−−+−+−+−=αααα000)(ZY Y S xS jk jk j jk−−−当k 点已知时：21)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(ˆˆF F X X Y Y arctg X X Y Y arctg v L jh jh j k j k jh jk i i −=−−−−−=−=+αα2、角度的误差方程khX Y h X hY jhααjj j x X X +=0ˆjj j y Y Y +=0ˆkk k x X X +=0ˆkk k y Y Y +=0ˆ：)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(11kk j j Y X Y X F F =L +∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=k k k k j jj j yY F x X F y Y F x X F F F ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111011L +∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=h hh h j jj j yY F x X F y Y F x X F F F ˆˆˆˆˆˆˆˆ2222022j h hh h j j j j k k k k j j j j j L F F y Y F x X F y Y F x X F y Y F x X F y Y F x X F v −−+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=020*******11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−−=)()()(000000000jhj h jk j k i jhjki i X X Y Y arctg X X Y Y arctg L L l αα()()()()()()()()i h jh jhh jh jh k jk jk k jkjk j jh jh jkjk j jh jh jk jk i l y S X x S Y y S X x S Y y S X S X x S Y S Y v −Δ′′−Δ′′+Δ′′+Δ′′−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ′′−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ′′=ˆˆˆˆˆˆ200200200200200200220200ρρρρρρ()()()()()()()()i h jhjh h jh jh j jh jh j jh jh k jkjk k jkjk j jkjk j jkjk i l y S X x S Y y S X x S Y yS XxS YyS XxS Yv −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ′′+Δ′′−Δ′′−Δ′′−Δ′′+Δ′′−Δ′′−Δ′′=ˆˆˆˆˆˆˆˆ200200200220200200200200ρρρρρρρρ3、距离的误差方程jkS 设j 、k 的坐标为未知参数：jk 的距离为：22)ˆˆ()ˆˆ(j k j kY Y X X−+−对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开:j j x X X +=0~jj y Y Y +=0~k k x X X +=0~kk y Y Y +=0~设:200200)()(jkjkkkkjjj jjkY Y X XY x XyY xX −+−∂+∂+∂+∂=22)ˆˆ()ˆˆ(ˆj k j kjkY Y X XS−+−=jkjk j k j k j k j SX Y Y X X X X X fαcos )()(2)(222−=Δ−=−+−−−=∂∂jkjk j k j k j k j S Y Y Y X X Y Y Y fαsin )()(2)(222−=Δ−=−+−−−=∂∂jkjk j k j k j k k S X Y Y X X X X X fαcos )()(2)(222=Δ=−+−−=∂∂jkjk j k j k j k k S Y Y Y X X Y Y Y fαsin )()(2)(222=Δ=−+−−=∂∂200200)()(0jk j kk YXkkYX kjYX jjYX jjkjkY Y XXx Y f x Xf yY f xXf VS−+−+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+2200)()(j k j k Y Y X X −+−jkjkYY XX−+−200200)()(当j 点已知时：当k 点已知时：jk jk Y Y X X −+−202)()(j k j kY Y X X −+−2020)()(3、拟合模型误差方程(1) 圆曲线拟合：圆曲线参数方程：iii i r Y Yr X X ααˆsin ˆˆˆˆcos ˆˆˆ00+=+=）、（i i Y X 圆心坐标ii iiyii y xi ix l r r y v l r r x v −−+=−−+=ρδααδαρδααδα0000000cos sin ˆsin cos ˆ(2) 高程拟合：25423210ˆii i i i i i y b y x b x b y b x b b Z +++++=ii i i i i i Z Z b y b y x b x b y b x b v i −+++++=52432210ˆˆˆˆˆˆ５、坐标转换模型误差方程x Oyα()00y x O 、′xx ′y ′坐标变换方程：ααααsin cos sin cos 00m x m y y y m y m x x x i i i i i i ′+′+=′−′+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡′−′′′′−′′′′−′=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡n n n x y x y x x y x y x d c b ay x x y y x x y y x v v v v v n M M M M 2211222211112ˆˆˆˆ0110011001211第三节精度评定rPVV T二、协因数阵一、计算单位权中误差d X B L+=ˆˆl xB V −=ˆ基本向量间的关系:111)()()(−−−==∧∧PB B PB B PQPB B PB B Q T TTTxx TBBVV VL LV L L BBNQ Q Q Q Q 1ˆˆ−=+++=QQ Q ll LL ==三、参数函数的中误差()tX X X ˆ,,ˆ,ˆˆ21L Φ=ϕX d F d Tˆˆ=ϕFN F F Q F Q bbTX X T 1ˆˆˆˆ−==ϕϕ[]t Tf f f F L21=测角网间接平差算例：C123456789121110131415161718P2P1坐标（m）边长方位角点名X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.60274°39’38.4" C19063.6637818.8610232.1634°40’56.3" D17814.6349923.1912168.6095°53’29.1" A10156.11216°49’06.5"解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14设P1、据前方交会可以求出00000cos sin cos sin ()(ji jkjjijk jik y x x x S SxS S jijijkjk−++−−−=αααα⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡54321V V V V V xl定权，P ⎢⎢⎢⎢⎡−−+45.1111.2261.94停止返回精度评定：1428.220±==ΛrPVV Tσ0121.00161.00117.00169.016.014.022+17.014.022+例：如图，定点。
间接平差
x 2 ( X 1 x1 )
0 2
0
v4 ( X
0
x2) H
A
B
x 1 ( h1 X 1 H
)
0 2 0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) X1 )
B 0
0
x1 x 2 (h2 X
x 2 (h4 X
0
A 0
x 2 ( X 1 x1)
x2 H
C
v4 X 1 x1 H
0
B
B
x 1 ( h1 X 1 H
A
)
0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) ) )
0
x 2 ( h3 X
0 2 0
H
C
x1 (h4 X 1 H
B
v3 X
2
H
2
A
v4 X
H
B
v5 X 1 X
2
v6 X 1 X
2
v 1 v2 v3 v 4 v 5 v6
X 1 H
A
h1
B
X 1 H
h2
X
2
0
X 1 H
h1
B
140 x 1
X
2
X
0 2
x2
X 1 H
h2
间接平差 精度评定
Thank you for listening to my class and have a good life
定权，得法方程；
QXˆXˆ
N 1 BB
测量LO平GO差
例2 如下图水准网，（1）求未知点高程平差值及其协 因数；（2）求观测高差平差值的协因数。
解：（1）设C、D点高程为参数，即
Xˆ Xˆ 1 Xˆ 2 T Hˆ C Hˆ D T
参数近似值为：X 0
X
0 1
X
0 2
T
H A h1
二、水准网平差示例
例5-8：如图，A、B是已知的高程点（无误差），C、D、E是 待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求（1）各 待定点的平差高程（2）C至D点间高差平差值的中误差（3）待 定点C、D高程平差值的中误差。
路线号 1
观测高差 （m）
+1.359
路线长度 （km）
1.1
已知高程 （m)
H B h3 T
平差值方程为：
测量LO平GO差
hˆ1 Xˆ 1
HA
hˆ2 Xˆ 1 Xˆ 2
hˆ3
Xˆ 2 H B
误差方程常数项计算：
l1
h1
X
0 1
HA 0
l2
h2
X
0 1
X
0 2
l3 h3
X
0 2
HB
0
误差方程为：v1 xˆ1
v2 xˆ1 xˆ2 l2
v3
xˆ2
令C＝4，P1＝4／4＝1； P2＝4／2＝2； P3＝4／4＝1
0
V
BN
1 BB
新编文档-07间接平差-精品文档
LˆB （ X0xˆ） d;
VBx ˆ(LBX0d)
令：
lL(B X 0d)LL 0
则得到误差方程：
VBxˆl
关于近似值的选择
选取近似值的目的: 为了便于计算（使误差方程的常数项变
小）。
选取方法： 1、如果参数是观测量的平差值，就选该观
测值为近似值； 2、如果参数是非观测值，就选由观测值来
下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何 建立误差方程？
一、测方向三角网函数模型
零方向
j
(Xj,Yj)
Zj
Ljh
Ljk
h (Xh,Yh)
k (XK,YK)
Z ˆj L ˆjkˆjk L ˆjkˆjk Z ˆj
Lˆjk ˆjk Zˆj
L jk vjk (0 jkjk) (Z 0 j z ˆj)
个数：t个；未知数是所选参数（与条平？） 系数的构成： 1、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：
NBB BTPB
2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆（凯利 逆）。
法方程的常数项： 由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观 测值的权阵组成，即： WBTPl
法方程为： NbbxˆW0
ˆ jk
Yˆk
)0
yˆ k
(
ˆ Xˆ
jk j
)
0
xˆ
j
(
ˆ jk Yˆj
)0
yˆ
j
ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
8附有限制条件的间接平差
aik xˆ i + bik ˆyi aik xˆ k bik ˆyk w2 0
w1
X
0 k
X
0 i
2
+
Yk0 Yi0
2
Sik
w2
arctan
Yk0
X
0 k
Yi0
X
0 i
aik
§8-1 附有限制条件的间接平差原理
二、基础方程
已知附有限制条件的间接平差法的函数模型
K
s ,1
k1
k2
ks T
称为联系数向量。组成极值函数
V T PV
2K
T s
Cxˆ Wx
将对 求xˆ 一阶导数，并令其为零，得：
xˆ
2V T P V xˆ
2
K
T s
C
2V
T
PB
2
K
T s
CLeabharlann 0转置得 BT PV C T K s 0
§8-1 附有限制条件的间接平差原理
§8-2 精度评定
三、平差值的精度评定
DLˆ Lˆ
ˆ
Q 2
0 Lˆ Lˆ
DXˆ Xˆ
ˆ
Q 2
0 Xˆ Xˆ
§8-2 精度评定
四、参数平差值函数的精度评定
设参数平差值函数为：
ˆ
G（
Xˆ ）
G（
Xˆ
1，Xˆ
，
2
Xˆ
）
u
线性化得权函数式为：
dˆ
G Xˆ 1
X0
12第十二章间接平差
第十二章第十二章、、间接平差间接平差12.0概述概述间接平差又称参数平差。
水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法坐标平差法坐标平差法。
参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。
由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。
此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。
因此，坐标平差法都按方向平坐标平差法都按方向平坐标平差法都按方向平差差。
间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。
一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。
本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。
水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未定向角未知数可采用一定的法则予以消掉知数可采用一定的法则予以消掉。
由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。
平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。
为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。
坐标平差的第一步是列组误差方程式。
对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。
误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。
§12.1三角网坐标平差三角网坐标平差12.1.1方向误差方程式的建立和组成方向误差方程式的建立和组成在测站k 上观测了n i k k k ,,,0L等方向 其方向观测值为kn ki k N N N ,,,0L 它们的改正数为kn ki k V V V ,,,0L0k 为测站的零方向（起始方向），则任意方向ik 的坐标方位角平差值方程为ki ki k k ki k ki V N Z N Z +++=+=ςα （12-1）式中：ki N 为ki 方向的平差值，k Z 为0k 方向的坐标方位角，通常称测站定向角，k Z 为定向角k Z 的近似值，k ς为定向角k Z 的改正数，是个未知参数，k k k Z Z ς+=，ki ki ki V N N +=如果令i k ,两点的近似坐标分别为00,k k y x 和00,i i y x ，其相应的改正数分别为kky x δδ,和i i y x δδ,，则有关系：ii i i i i y y y x x x δδ+=+=00 ki ki ki δααα+=0（12-4）ki ki ki x x y y arctg−−=α （12-3）kkk k kk y y y x x x δδ+=+=0()()()()kk i i kk i i kikix x x xy y y yarctgδδδδδαα+−++−+=+00000将上式按台劳级数展开，()()k k ki i i ki k k ki i i ki k iki kikiy y y y x x x x x xy y arctgδαδαδαδαδαα000000 ∂∂+ ∂∂+ ∂∂+ ∂∂+−−=+k k ki i i ki k k ki ii ki ki y y y y x x x x δαδαδαδαδα0∂∂+ ∂∂+ ∂∂+ ∂∂= ()()()()200200200020000200000sin 1kiki kiki kikiki kik i k ik i k ki S S y yyxxy y x x y y xxy y x αα=∆=−+−−=−−+−−= ∂∂坐标方位角改正数方程：()()()()i kikii kikik kikik kikiki y S y x S y y S x x S y δδδδδα200200200200∆+∆−∆−∆=（12-5）将（12-5）代入（12-4）然后再代入（12-1）得：()()()()ki i kikii kiki k kikik kikik ki l y S y x S y y S x x S y V +∆+∆−∆−∆+−=δδδδς200200200200（12-6）式中，k ki ki ki Z N l −−=0α （12-7）计算中，ki S 以㎏为单位，k k y x δδ,和i i y x δδ,以dm 为单位，且换以ηδξδ==y x 1010（12-6）变为，ki i ki i ki k ki k ki k ki l b a b a V +−−++−=ηξηξς （12-8）式中，404010cos 10sin kiki ki ki ki ki S b S a αραρ′′−=′′=（10-9）（12-6）和（12-8）式为方向误差方程式，考虑到边长误差方程式（12-35）式以便于编程常用（12-8）式。
第七章 间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ vi = (ajk − ajh )xj + (bjk −bjh ) yj − ajk xk −bjk yk ˆ ˆ +ajh xh + b jh yh −li
角度误差方程不存在定向角参数. 角度误差方程不存在定向角参数. 误差方程不存在定向角参数
36
37
三、测边函数模型
K(Xk,Yk) Li j(Xj,Yj)
17
试列立误差方程。 例7-4.试列立误差方程。 试列立误差方程
18
试列立误差方程。 例7-5.试列立误差方程。 试列立误差方程
（测角网）
19
观测三条边长， 例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。 观测三条边长 试列立误差方程。
（测边网）
20
试列立误差方程。 例7-9.试列立误差方程。 试列立误差方程
（导线测量）
21
7-2
观测方程
阐述经常遇到的几种间接平差函数模型： 阐述经常遇到的几种间接平差函数模型： 以方向为观测值； 以方向为观测值； 以角度为观测值； 以角度为观测值； 以边长为观测值；（三角网） ；（三角网 以边长为观测值；（三角网） 以数字化坐标为观测值的拟合模型等。 以数字化坐标为观测值的拟合模型等。
ˆ ∂αjk ∆X ( )0 = − ˆ (S ) ∂Y
j
0 ˆ ∂αjk ∆Yjk ( )0 =− 0 2 ˆ (Sjk ) ∂X k
0 jk 0 2 jk
0 ˆ jk ∂α ∆X jk ( )0 = 0 2 ˆ (Sjk ) ∂Y k
29
代入、顾及单位统一： 代入、顾及单位统一：
δα jk =
24
一、测方向三角网函数模型
零方向 Zj
第20讲间接平差的精度评定
5/3 8 / 3
1.667 2.667
1 0
0 5 / 3 1.667
V 1 0 1
1
1
0
5/3 8 / 3
7
0
2
8 / 3
8 / 1/ 3
3
测绘工程系
间接平差的精度评定
四、精度评定示例
由4-5 解得法方程为： 5
1
1
2
x1 x2
11 7
0
解算法方程得：
N 1 bb
5 1
11 2 / 9
2
1/ 9
1/ 9 5 / 9
误差改正数：
x
Nbb1W
在间接平差中，未知参数的估值 Xˆ X 0 x ，X0为选
定常数，未知参数的协因数阵以 QXˆXˆ 来表示。 协因数传播律：
Xˆ
X0
x QXˆXˆ
Q x x
l L d Qll QLL P1 Q
Nbb Xˆ W 0 Xˆ Nbb1W Nbb1BT Pl
2.667
lT Pl (BT Pl)T x lT Pl W T x
即：
V T PV lT Pl W T x
纯量形式：
V T PV pll pal x1 pbl x2 ptl xt
误差理论与测量平差
测绘工程系
间接平差的精度评定
二、参数的中误差
1
v3
v4
测量平差基础课件——间接平差原理
要求 V T PV min
值。
X1 X2
先看一个确定三角形形状的例子：
L1 v1 Xˆ 1 L2 v2 Xˆ 2
L3
v3
180
Xˆ 1
Xˆ
2
v1 Xˆ 1 L1 v2 Xˆ 2 L2
v3
180
Xˆ 1
Xˆ 2
L3
平差值方程 误差方程
令：Xˆ X 0 xˆ
vv (Xˆ1 L1)2 (Xˆ 2 L2 )2 (Xˆ1 Xˆ 2 180 L3 )2 min
2.7
0.3
1.0047 0.5037(m) 0.5003 0.5047
6.求平差值
参数平差值
Xˆ Xˆ
1 2
X X
0 1
0 2
xˆ1
xˆ2
1122..050131(m)
12.7.7(mm)
1122..05004873(m)
7
第二节 误差方程的列立
一、参数个数的确定
二、参数的选取
0 jk
(xˆk
xˆ j )
Y
0 jk
S
0 jk
( yˆk
yˆ j )
li
Li
S
0 jk
导线网是上述两种情况的 综合,此时要注意观测值
权的确定.
注意:四种特殊情况
vi
X
0 jk
S
0 jk
xˆ j
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ j
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk li
提示:按J-K方向与按K-J方向列立的方
第五章 间接平差
绵阳师范学院
间接平差原理
根据最小二乘准则，要求：
V T PV min
Y jk sin jk 2 S jk S jk
绵阳师范学院
误差方程
1 (Xk X j ) 1 ( Yk Y j Xk X j )
2
f Y j
(Xk X j ) ( X k X j ) (Yk Y j )
2 2
X jk S
2 jk
绵阳师范学院
间接平差原理 4.解算法方程，求出参数的改正数，并 计算参数的平差值；
1 解法方程： x1 5 3 0.78 1 0.89 5 x2
求改正数：
0.78 0.89 V B x l 0.89 1.22
值及改正数的形式代入，得观测值方程：
h1 v1 X 1 H A h2 v2 X 1 X 2 h3 v3 X 2 H C h4 v4 X 1 H B
X 10 H A h1 2.003m
0 X 2 H C h3 2.503m
用近似值带入后，得误差方程为：
v1 x1 0 v2 x1 x2 1 v3 x2 0 v4 x1
2、方向的误差方程 设j、k的坐标为未知参数： ( X j , Y j )， k , Yk ) (X
Z j ——零方向的方位角
j N
Zj
零方
向
第七章 间接平差
0.91 0.59 0.43 0 . 37 0.42 0.71 0.38
2.47 0.42 0.42 1.38 0 0.71
2014-4-14
0.71 x1 0.59 0 0 x2 4 . 05 1.09 x3 1.42
10
x 1 0.5320 x 0.1619 2 x3 0.3465
0.1619 0.7739 0.1055
0.3465 0.258 0.1055 2.860 1.1432 1.100
一、间接平差原理 设有n个观测值 L ，必要观测个数为t,
选定t个独立参数 X0 近似值取为X ，有
ˆ X x ˆ X L L V
ˆ
0
平差值
平差值方程为：
L1 令：nL ,1 V V1 n ,1 ˆ X ˆ X 1
t ,1 n ,1
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X t d i
t ,t
N bb B T PB, W B T Pl
t ,1
2014-4-14
5
三、例题
1.选取 P1 、 P2 两点高程平差值为未知
ˆ 参数 X 1
ˆ 取其近似值: X 2 ˆ X 2
ˆ X 1
X 10 H A h1 12.003(m)
0 X2 H C h3 12.511(m)
2014-4-14
11
第二节 误差方程的列立
一、参数个数的确定
参数的个数等于必要观测个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。无已知点：待定点数减1。
7-间接平差
L1
L3
S2
L2
A
B
ˆ Y Y ˆ ˆ BC BA ˆ BC AB 180 arctan C B AB 180 L2 ˆ X X C B
ˆ Y ˆ Y Y Y C A ˆ ˆ CA ˆ CB ˆ AC 180 ˆ BC 180 arctan L3 arctan C B ˆ X ˆ X X X C A C B
§ 7-1 间接平差原理
三、基础方程的解
将基础方程第一式代入第二式得
ˆ l V B x n ,1 n ,t t ,1 n ,1 T B PV 0 t ,n n ,n n ,1
ˆ l BT PBx ˆ BT Pl 0 BT P Bx
令 则有
N BB BT PB, W BT Pl
1 QLL PLL , n ,n n ,n
1 PLL QL L n ,n n ,n
ˆ W 0 N BB x
t ,t t ,1 t ,1
N BB BT PLL B
t ,t t ,n n,n n,t
4、解算参数改正数
t ,1 1 ˆ N BB x W t ,t t ,1
5、计算改正数
试按间接平差法求B、C、D
h1
B
s1 h3 s3 s2
h2
C
点高程的平差值。
解：此例n=5，t=3，应选
A
s5 h5
3个独立参数，列出5个方程
方程。 1、选参数，计算参数近似值
ˆ H ˆ X 1 B ˆ X ˆ H ˆ X 2 C ˆ ˆ X3 HD
ˆ l V B x
《误差理论与测量平差基础》第八章
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF
间接平差的精度评定
式中： 所以
fi
Xˆ i
Qˆˆ FQXˆXˆ FT＝FNbb1FT
于是
D＝ˆ 02Qˆ
误差理论与测量平差
误差理论与测量平差
间接平差的精度评定
1.单位权方差估值计算 的计V算T PV：
ˆ
0
2＝V
T
PV r
1. V T PV＝P1V12 P2V22 PnVn2 权阵为对角阵时
2. V T PV Bxˆ l T PV xˆT BT PV l T PV
lT PBxˆ l 顾及BT PV＝0
Q XˆXˆ
N 1 bb
Q Xˆ 1 Xˆ
2
QXˆ1Xˆ t
QXˆ1Xˆ 2 QXˆ 2 Xˆ 2
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ1Xˆ t
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ t Xˆ t
3.待定点i的点位中误差
ˆ ˆ Q Xˆ i 的中误差：
Xˆ i
0
Xˆ 2i 1Xˆ 2i 1
Yˆi 的中误差：
E E
L0
由协因数传播律得：
QLL QLXˆ QLV QLLˆ
QZZ
QLXˆ
QLV
Q XˆXˆ Q XˆV
Q XˆV QVV
Q XˆLˆ QVLˆ
QLLˆ QXˆLˆ QVLˆ QLˆLˆ
E
E
N
1 bb
B
T
P
BNbb1BT P
Bbb1 PBNbb1BT
P B Nbb1 B T
E
展开得：
QLL
QZZ
N
1 bb
B
T
B
N 1 bb
B
T
QLL
《间接平差精度评定》课件
Hale Waihona Puke 精度表示测量结果的一致性和可靠性， 通常用误差、标准差、中误差等参 数来衡量。
误差
测量结果与真实值之间的差异，分 为系统误差和偶然误差两类。
精度评定的常用方法
最小二乘法
通过最小化观测数据与数学模 型之间的残差平方和，求解最
佳参数估值的方法。
贝塞尔公式
用于计算测量网中各点位误差 的公式，基于观测值之间的相 互关系和误差传播规律。
间接平差方法在实际应用中需要注意数据预处理和参数选择的合理性，以提高数据 处理精度和可靠性。
研究展望
进一步研究间接平差方法的数学 原理和理论基础，深入挖掘其潜 力，提高数据处理精度和可靠性
。
探索间接平差方法与其他数据处 理方法的结合与应用，形成更加
完善和高效的数据处理体系。
加强间接平差方法在实际应用中 的实践和探索，不断完善和优化
间接平差适用于平面控制网和 大地控制网的测量数据处理。
间接平差的数学模型
间接平差采用最小二乘法原理， 通过构建误差方程式和法方程式
，求解未知点坐标的最优解。
误差方程式描述了观测值与计算 值之间的差异，法方程式则描述
了误差方程式之间的关系。
通过解法方程式，可以得到未知 点坐标的最小二乘解。
间接平差的计算方法
预处理
在数据使用前，进行了必要的预 处理工作，包括数据格式统一、 异常值剔除、数据平滑等，以确 保数据的准确性和可靠性。
实例的间接平差计算
01
02
03
模型建立
根据实际测量需求，建立 了相应的测量模型，并确 定了必要的参数。
平差计算
利用间接平差方法，对模 型进行了平差计算，得到 了各参数的优化结果。
第七章间接平差详解
Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(
S
0 jk
0 jk
)2
(
ˆ
Xˆ
jk K
)0
Y
0 jk
(
S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(S
0 jk
0 jk
)2
" jk
"Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
xˆ j
"X
0 jk
(S
0 jk
)2
yˆ j
"Y
0 jk
(S
0 jk
)2
xˆk
c ot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA
c ot
yB cot (xB cot cot
x
A
)
A、B、P（待定点）顺时针编号
2、计算近似坐标方位角、计算近似边长 3、计算坐标方位角改正数系数
DA
"YD0A
(S
0 DA
)2
10
xˆD
"X
(SD0 A)2
0 DA
即V Bxˆ (L BX 0 d ) 令l L BX 0 d 则V Bxˆ l
V T PV min
得：BT PBxˆ BT Pl 0
令：BT PBxˆ NBB BT Pl W
得：NBB xˆ W 0
所以：xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
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Qh ˆ Qh ˆ 0.6
1 3
Qh ˆ 0.4
2
测量平差
7.4 公式汇编和水准网平差示例
二、水准网平差示例
例5-8：如图，A、B是已知的高程点（无误差），C、D、E是 待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求（1）各 待定点的平差高程（2）C至D点间高差平差值的中误差（3）待 定点C、D高程平差值的中误差。
路线号 1 2 3 观测高差 （ m） +1.359 +2.009 +0.363 路线长度 （km） 1.1 1.7 2.3 已知高程 （m) C h1 h6 E
A
HA=5.016 HB=6.016
h5
h2 D
h3
h7
4
5 6 7 测量平差 LOGO
+1.012
+0.657 +0.238 -0Байду номын сангаас595
解出
ˆ1 3 2 2l2 1 3 2 2l2 0.4l2 x x ˆ2 2 3 2l2 5 2 3 2l2 0.4l2
ˆ X ˆ X 10 x H ˆ1 0.6 C 1 1 ˆ ˆ 0 QH ˆ QX ˆX ˆ N bb ˆ X x H X 2 D 2 2 0.4
测量平差 LOGO
实验内容：
1、条件平差 2、间接平差 Matlab: display()
inv()
A’ diag
测量平差 LOGO
7.3 精度评定
授课目的要求: 掌握精度评定方法 重 点、难 点: 参数函数的精度计算
测量平差 LOGO
主要内容：
一、单位权方差估值计算 二、协因数阵与互协因数阵 三、参数的精度评定 四、参数函数的精度评定 五、各种平差量权函数式的列立
测量平差 LOGO
一、单位权方差估值计算
V T PV ˆ 的计算： 0 ＝ r
2
2 2 2
V PV
1. V T PV＝P1V1 P2V2 PnVn 权阵为对角阵时
ˆ l T PV x ˆ T BT PV l T PV 2. V T PV Bx
T
ˆ l l T PBx
T
f2
ft
T 由协因数传播律得： Q ＝ F QX ˆ ˆ ˆX ˆF
2 ˆ D ＝ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 Q
QXX ˆˆ N
1 BB
测量平差 LOGO
一般，设有函数向量 m,1 m个函数的精度，其协因数阵为 ：
T T
ˆ
T ˆ ˆ d F dX ，即用来计算 的权函数式为
0
1 BN BB
0
1 T BNBB B
ˆ L
1 T BNBB B
0
ˆ 与V和 x ˆ 与V、 L ˆ 与V的互协因数阵为零，说明 L ˆ 与V统 x
计不相关。
三、参数函数的精度评定
设参数函数为： ˆ）＝（X ˆ ，X ˆ， ˆ ˆ＝（X 1 2 X t） 为了求函数的的中误差，对上式求全微分得权函数式为：
A h1
H B h3
T
平差值方程为：
ˆ X ˆ h 1 1
HA
ˆ X ˆ X ˆ h 2 1 2 ˆ ˆ H h X 3 2 B
测量平差 LOGO
误差方程常数项计算：
l1 h1 X10 HA 0 0 l2 h2 X10 X 2 0 l3 h3 X2 HB 0
间接平差
介绍间接平差基本原理，求 平差值的方法、步骤， 各 类测量控制网观测方程和误 差方程的列立，以及精度评 定的方法。
测量平差 LOGO
第七章 间接平差
授课目的要求： 熟记间接平差的基础方程和法方程形式； 掌握按间接平差法求平差值的方法、步骤。 重 点、难 点: 间接平差法求平差值的方法、步骤 。
2 0 2 0 T 1 BB
测量平差 LOGO
例1、A、B为已知水准点， 高程为HA、HB，设为 无误差，各观测路线 A 长度分别为
1
P1
2 3 P2
4 B
S1 4km, S2 2km S3 2km, S4 4km
试求：P1点和P2点平差高程的协因数。 组成误差方程； 定权，得法方程；
各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列表如下：
条件平差各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵
Q L L V
1 T BNBB B Q
ˆ X
1 BN BB
ˆ L
1 T BNBB B
Q
N B
1 BB T
1 T BNBB B Q
ˆ X
V
1 N BB
0
1 T Q BNBB B
1 N BB B
令C＝4，P1＝4／4＝1； P2＝4／2＝2； P3＝4／4＝1
1 1 1 0 N BB 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 W 0 2 0 1 1 0 0
法方程为： 3
ˆ1 2l 2 0 2 x 2 3 x ˆ 2 2l 2 0
令：
Z LT
Q Qx ˆL QZZ ＝ Q VL Q ˆ LL
ˆ VT X
Q Lx ˆ Qx ˆx ˆ QVx ˆ QL ˆx ˆ QLV Qx ˆV QVV QL ˆV
ˆT L
Q LL ˆ Qx ˆ ˆL QVL ˆ QL ˆL ˆ
各向量协因 数阵
1 QXX N ˆˆ BB
测量平差 LOGO
例2 如下图水准网，（1）求未知点高程平差值及其协 因数；（2）求观测高差平差值的协因数。
解：（1）设C、D点高程为参数，即
ˆ X ˆ X 1
ˆ X 2
ˆ H
T
C
ˆ H D
T
参数近似值为： X X
0
0 1
X
0 T 2
H
顾及B
T
PV＝0
ˆ l T Pl l T PBx
ˆ l Pl B Pl x
T T
T
测量平差 LOGO
二、协因数阵与互协因数阵
已知
L＝EL 0 1 T ˆ＝N BB x B Pl
1 T ˆ l BNBB V Bx B PE l ˆ L V BN 1 BT Pl L0 L BB
2.7
2.4 1.4 2.5
B h4
测量平差 LOGO
LOGO
Q F ˆ ˆ＝F QX ˆX ˆF F N
1 BB
QXX ˆ X ˆ ˆ ˆ 是参数向量X 1
ˆ ... X ˆ X 2 t
T
的协因数阵，
ˆ
ˆ 的中误差为： X j
Xˆ 0 QXˆ
j
jX j
函数的协方差阵为： Dˆ ˆ
ˆ Q ˆ (F N F ) ˆ ˆ
1 BB
BT
QPBN
1 BB
BT E
T
1 T 1 T 1 T 1 T ＝BNbb B PBNBB B BNBB B BNBB B Q
1 T Q BNBB B
QL B P Q BN B P ˆL ˆ BN 1 1 T BN B PBNBB B BNBB B
ˆ d＝ ˆ X 1 ˆ dX 1 ˆ X ˆ X 0 2 X ˆ dX 2 ˆ X ˆ X 0 t X ˆ dX t
ˆ X 0 X
ˆ f dX ˆ f dX ˆ F T dX ˆ f1dX 1 2 2 t t
其中
f1 F ＝
ˆ1 误差方程为： v1 x
ˆ1 x ˆ2 l2 v2 x ˆ2 v3 x
0 0 1 0 1 1 3 2 2 0 2 3 0 1 0 1 0 0 l 2l 2 0 2 2l 2 1 0
1
0.4 QH ˆ QH ˆ 0.6 C D 0.6
（2）观测高差平差值的权函数式为 观测高差的协因数阵为：
Qhˆ F T QX ˆX ˆF
ˆ dX ˆ dh 1 1
ˆ dh 3
ˆ dX ˆ dX ˆ dh 2 1 2
ˆ dX 2
1 0 0.6 0.2 0.4 0.6 0.4 1 1 0 0.2 0.4 0.2 1 1 0.4 0.6 0 1 1 0.2 0.6 0 1 0.4
由协因数传播律可得Z的协因数阵：
测量平差 LOGO
1 T 1 T Qx ＝ N B P Q N ˆx ˆ BB BB B P
T
1 T 1 1 N BB B PBNBB N BB
1 T 1 T QVV＝ BN BB B P E Q BN BB B PE
＝BN
T
1 T QL B P Q BN BB B PE ˆ V BN
1 T 1 T BNBB B PBNBB B E
1 T BB 1 T BB 1 T BB
1 BB T
T
T
1 T 1 T 1 T BNBB B PBNBB B BNBB B 0
测量平差 LOGO