最全面初一数学一元一次方程专题讲解(精华版)

3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程 知识点 1
定义 1：含有未知数的等式就叫做方程
.
2. 一元一次方程：只含有一个未知数
( 元 )x ，未知数 x 的指数都是 1( 次 ) ，这样的方程
叫做一元一次方程 . 例如： 1700+50x=1800 ， 2 （ x+1.5x ） =5 等都是一元一次方程 .
|m|
1、 如果 (m-1)x
+5=0 是一元一次方程，那么 m ＝＿＿＿．
2
2 、下列各式：① 3x+2y=1 ② m-3=6③ x/2+2/3=0.5 ④ x +1=2 ⑤ z/3-6=5z ⑥ (3x-3)/3=4 ⑦
5/x+2=1 ⑧ x+5 中，一元一次方程的个数是（
）
Ａ、 1 Ｂ、 2
Ｃ、 3 Ｄ、 4
|a|
＋ 3＝－ 6 是关于 x 的一元一次方程，则 a ＝＿＿； x ＝＿＿＿。

3、 若(a － 1)x
4、下列各式中是一元一次方程的是 。

( )
x 2
y 1 y 3 1
x
B 、
3x 2
A 、 1
2 y
3
4 x x 1 1 2 2 x 6
C 、
、 D 2
1 3
5、根据“ x 的 3 倍与 5 的和比 x 的 多 2”可列方程 。

( ) x 5
x
3
x 3
x 3
A 、 3 x 5
2 、 3( x 5）
5）
、 3 x 5 2 2 D 、 3( x 2
B C 2 x 2
6 3x 3
个 .
1 2 x 5
3
x 4
③ 2（ x+1 ） +3= 1 ④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.
x
6 、下列方程①
②
一元一次方程共有 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
知识点 2
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
.
注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值 ( 或几
个数值 ) ，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程
.
⑵ 方程的解的检验方法， 首先把未知数的值分别代入方程的左、 右两边计算它们的值， 其
次比较两边的值是否相等从而得出结论
1、若 x=1 是方程 k （ x-2 ） =2 的解，则 .
k= ． 2、已知 3 是关于 x 的方程 mx+1=0的根，那么
m=
3、一个一元一次方程的解为
2，请写出这个一元一次方程
.
2x 3
k x 3k
2
4、若关于 x 的一元一次方程 x 1, 则 k 的值是（
1的解
）
2
7
13
11
A ． ． 1 ． ． 0
B C
D 2
5、（ 2009 ·芜湖）已知方程 x -9x+m=0 的一个根是 1，则 m 的值
是。

3x 2
3× 1 -9 × 1+m=0，
解： 把 x=1 代入原方程，得 解得 m=6
答案： 6 程 2 x
kx 1 5x 2的解
为
6、方 -1 时， k 的值为 ( ) 。

A 、 10
B 、 -4
C 、-6
D 、-8 3x 4 0 与方程 3x 4k 18是同解方程，
则
7、如果方程。

k= k x 8、方程 2 3( x 1) 0 的解与关于 3k 2 2 x 的解互为倒数，求 x 的方程
k 的值。

2
3
2
2
9、已知 x=-1 是关于 x 的方程 8 x
4 x
kx 9 0 的一个解，求 3k
15k 9 5 的值。

2 1
(m m( x 4) 2(mx 3) 的解。

10、 y=1 是方程 y) 2 y 的解，求关于 x 的方程 3
11、（ 2004·青海）关于 x 的方程 ax-3=0 的根是 2，则 a=。

2
x -x-2=0 2
12、（ 2004·吉林）已知 m 是方
程
的一个根，则代数式 m
m 的值等于
.
等式的性质
等式的性质 等式的性质 3.1.2
(1) ：等式两边都加上 ( 或减去 ) 同个数 ( 或式子 ) ，结果仍相等 . (1) 用式子形式表示为：如果
a=b ，那么 a ±c=b ±c
(2) 等式的性质 (2) ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，等式
a b
c c
的性质 (2) 用式子形式表示为：如果 a=b ，那么 ac=bc; 如果 a=b(c ≠0) ，那么 =
1、列结论正确的是（
）
A ．若 x+3=y-7, 则 x+7=y-11;
B ．若 7y-6=5-2y, 则 7y+6=17-2y;
C ．若 0.25x=-4, 则 x=-1;
D ．若 7x=-7x, 则 7=-7.
2、列说法错误的是（
）.
x a y a
2
x 2 2 2
A ．若
=y , 则 -4x =-4y ;
, 则 B ．若 x=y;
1 4
3 ; 2
C ．若 - x=6, 则
D ．若 6=-x, 则 x=-6.
x=-
3、知等式 ax=ay, 下列变形不正确的是（ ） .
A ． x=y
B ． ax+1= ay+1
C ． ay=ax
D ． 3-ax=3-ay
4、列说法正确的是（
）
A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；
B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；
C ．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；
D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；
x 1 =1 变形，应得（
5、等式 2-
）
3
A ． 6-x+1=3
B ． 6-x-1=3
C ． 2-x+1=3
D ． 2-x-1=3
3.2 解一元一次方程（一）
五、解方程的一般步骤
1. 去分母 ( 方程两边同乘各分母的最小公倍数 )
2. 去括号 ( 按去括号法则和分配律 )
3. 移项 ( 把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号 )
4. 合并 ( 把方程化成 ax = b (a ≠0) 形式 ) b
5. 系数化为 1( 在方程两边都除以未知数的系数 a ，得到方程的解 x= ).
a
1、要解方程 最简便的方法应该首先（
）
4.5(x+0.7)=9x , Ａ、去括号
Ｂ、移项
Ｃ、方程两边同时乘以１０ Ｄ、方程两边同时除以 4.5
分析：由于９是 4.5 的２倍，所以选择Ｄ最简便．
5x 12(
3 1 ) 2
2(6 x 3 9)
2、解方程 8 x 8 解：去括号
８ x －２０ x ＋６ ＝８－４ x ＋６
移项 ８ x －２０ x ＋４ x ＝８＋６ －６
合并 －８ x ＝８
系数化为１
x ＝－１
2005
200.5 x 20.05, 那么 x 等于（
3、如果 ）
(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45 分析与解：移项，得 2 3 1
3{ 2 2 2005-200.5+20.05=x ，解得： x=1824.55. 答案为 A.
4、 [ (x-1)-3]-3}=3
1
解：去大括号，得 [ (x-1)-3]-2=3
2
1
去中括号，得 (x-1)-3-2=3
2 1 1
去小括号，得 x- -3-2=3
2 2 1 1
移项，得 x= +3+2+3
2 2
1 17
合并，得 x=
2 2
系数化为 1，得： x = 17
3 4 4 3 1 x 2 1
4
3 x
2
5、（ 2008 ·江苏）解方程：
8
1 x
2
1 4
3 x
2
解：去括号，得
6 1 4
移项、合并同类项，得 ，
-x=6 1 4
系数化为 1，得 x=-6
x
3 x 2 1
6
6、已知关于 x 的方程 a ( x 6) 无解，则 a 的值是（
）
± 1
不等于 1 的数
A.1
B.-1
C.
D.
解 ：去分母，得 2x+6a=3x-x+6 ，
即 0· x=6-6a
因为原方程无解，所以有
6-6a ≠ 0，
即 a ≠1，
2
( x 3
3
4
1) 0.4(x 0.2
1) 7、（ 2003 ·黄州）解方程：
4.
1
8、已知 y=1 是方程 2-
(m-y)=2y 3
的解，求关于 x 的方程 的解。

m(x-3)-2=m(2x-5) x 7 5
14
（ 2） 3 y 1 2 1 y 4 5 y 1
9、解方程（ 1）
0.1 x 1
0.3
0.7 0.1x 0.4
x 1 x 1 （ 3） x
2
x 1
（ 4）
3
4
1 6
3 5
3
7
（ 5） x
12 6
1
x 2 （ 6） 2x 1 3 8
10、 方程中有未知字母，根据方程的解，求未知字母
1 1
2 2 1 x
2
x 28 是方程 a 的解，求 a 的值 .
a a
（ 1） 已知 2 x
2
x 2时，代数
式
（ 2） 已知 5 x c 的值是 14，求 x
2 时代数式的值．
3.4 实际问题与一元一次方程
（ 1）用方程思想解决实际问题的一般步骤
1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
2. 设：设未知数 ( 可分直接设法，间接设法
3. 列：根据题意列方程．
4. 解：解出所列方程．
5. 检：检验所求的解是否符合题意． )
6. 答：写出答案 ( 有单位要注明答案 )
（ 2）有关常用应用类型题及各量之间的关系 1. 和、差、倍、分问题：
（ 1）倍数关系：通过关键词语 “是几倍，增加几倍， 增加到几倍， 增加百分之几， 来体现 .
增长率 ”
（ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余 ”来体现
.
2. 等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提 . 常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积 .
3. 调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
（1）有两个工程队，甲工程队有32 人，乙工程队有28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
7 人还余1 人，（2）某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组
若每组8 人还缺 6 人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？
4. 数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为 c （其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9，0 ≤b≤9，0 ≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n 表示，连续的偶数用2n+2 或2n—2 表示；奇数用2n+1 或2n—1 表示.
（1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？
（2）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小5，若此两位数的两个数字位置交换，得一新两位数，那么新两位数与原两位数大45，求新两位数与原两位数的积是多少？
5. 工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
工程问题有三个基本量：工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间；．一般情况下把全部工作量看作1．
（1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h 注满水池，乙单独开8h 注满,丙单独开24h 可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？
（2）某工程，甲单独完成续乙再做几天可以完成全部工程20 天，乙单独完成续
?
12 天，甲乙合干 6 天后，再由乙继续完成，
6. 行程问题：
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.
（2）基本类型有
①相遇问题；
②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.
水上（空中）问题．
此类问题主要涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速．基本关系为：顺水船速= 静水船速+水速；逆水船速=静水船速－水速．
（1）甲乙两个人在400 米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/ 秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？
（2）甲乙两站相距300km ，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往
甲站，每小时行80km ，已知慢车先行 1.5h，快车
7. 商品销售问题
有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/ 商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？
（1）某产品按原价提高
40%后打八折销售，每件商品赚270 元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？
（2）甲乙两件衣服的成本共500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，
9 折出售，这样
乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按
商店共获利157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
8. 储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率. 利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
9、增长率问题（降低率）
增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，
基本关系；
1、（2009·福州）某班学生为希望工程共捐款131 元，比每人平均 2 元还多35 元，设这个班的学生有x 人，根据题意列方程为。

解题思路：本题的相等关系是捐款总数相等，解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35 元表示出捐款总数（2x+35）元。

答案：2x+35=131
2、王老师去集贸市场买鸡蛋，小贩称好以后，王老师发现所买的10 斤鸡蛋好象比原来少了一些，于是王老师就把鸡蛋拾进了自己的篮子{ 已知篮子重一斤} 里又让小贩称了一下，结果是11 斤 1 两，于是王老师就让小贩找回自己一斤鸡蛋钱，你知道王老师是怎么知道小贩少给自己一
斤鸡蛋的吗？
分析：解决问题的关键因素——篮子：为什么不用篮子正好是10 斤，而用了篮子就是11 斤 1 两呢？这就是说小贩的称出了问题：一斤的篮子被称成了一斤一两。

从而可设小贩称的10 斤鸡蛋的实际质量是x 斤，由题意分析可知：所以x=10:11 ≈9.09{ 斤} 。

也就是说小
x:10=1:1.1,
贩称的10 斤鸡蛋实际上约有9.09 斤，所以王老师的做法是对的
例2、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30 座客车若干辆，但还有15 人无座位。

（1）设原计划租用30 座客车x 辆，试用含x 的代数式表示该校初三年级学生的总人数；
（2）现决定租用40 座客车，则可比原计划租30 座客车少一辆，且所租40 座客车中有一辆
没有坐满，只坐35 人。

请你求出该校初三年级学生的总人数。

分析：本题表示初三年级总人数有两种方案，用30 座客车的辆数表示总人数：30x+15
用40 座客车的辆数表示总人数：40（x－2）+35。

解：（1）该校初三年级学生的总人数为：30x+15
（2）由题意得：
＝40（x－2）+35
30x+15
解得：x＝6
＋15＝30×6＋15＝195（人）30x
答：初三年级总共195 人。

3. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅．经过测试：同时开放
2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供
1 个大餐厅、
2 个小餐厅，可供2280 名学生就餐．
1680 名学生就餐；同时开放
（1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由．
1 个小餐厅可供y 名学生就餐，这样的话，
分析：可以先设 2 个小餐厅就可供2y 个学生
个小餐厅可就餐，因此大餐厅就可共（1680-2y ）名学生就餐. 然后在根据开放个大餐厅、 1
2
以就餐的人数列出方程2（1680-2y ）+y=2280
解：（1）设1 个小餐厅可供
根据题意，得
y 名学生就餐，则 1 个大餐厅可供（1680-2y ）名学生就餐，2（1680-2y ）+y=2280
解得：y=360 （名）
所以1680-2y=960 （名）
答：（略）．
（2）因为960 5360 25520 5300 ，
所以如果同时开放7 个餐厅，能够供全校的5300 名学生就餐．
【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关键是求出这7 个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可.
4、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45 元；按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低
元？
35 元销售该工艺品12 件所获利润相等. 该工艺品每件的进价、标价分别是多少
分析：根据利润=售价- 进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售
该工艺品8 件与将标价降低35 元销售该工艺品12 件所获利润相等，就可以列出一元一次方程.
x 元, 标价是（45+x）元. 依题意，得
解：设该工艺品每件的进价是:
8 （45+x）×0.85-8x= （45+x-35 ）×12-12x
解得：x=155 （元）
所以45+x=200（元）
答：（略）.
【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：
商品售价=商品标价×折扣率
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价
商品利润
商品利润率= ×100%
商品进价
5、（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖
品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100 元，请帮我安排买10 支钢笔和15 本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
分析：这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性. 解答这类问题的关键是要从对话中捕捉
等量关系. 从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，同时还可以发现买10 支钢笔和15 本笔记本共消费（100-5 ）=95 元. 根据上述等量关系可以得到相应的方程.
解：设笔记本每本元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得
x
10（x+2）+15x=100-5
解得，x=3 （元）
所以x+2=5（元）
答：（略）
6、某工厂计划 26 小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件，用 24 小时，不但完成了任务，
而且还比原计划多生产了
60 件，问原计划生产多少零件？
7、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调
价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原来单价？
8、甲、已两个团体共 120 人去某风景区旅游。

风景区规定超过 80 人的团体可购买团体票，已
80 人，两团体决定合起来买
知每张团体比个人票优惠
20%，而甲、已两团体人数均不足
团体票，共优惠了 480 元，则团体票每张多少张？
9、（ 2004 ·陕西）足球比赛的记分规则为：胜一场得 3 分。

平一场得 1 分，输一场得 0 分，一
支足球队在某个赛季中共需比赛
14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场， 得 17 分，请问：
（ 1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （ 2）这支球队打满 14 场比赛，最高能得多少分？ （ 3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满
场比赛，得分不低于 29 分， 就可以达到
14 预期的目标， 请你分析一下， 在后面的 6 场比赛中， 目标？
这支球队至少要胜几场，才能达到预期 本章综合练习
1、在梯形面积公式 S= 1 （ a+b ） h 中，如果 a=5cm,b=3cm,S=16cm 2
, 那么 h=（
2
）
A ． 2cm
B ． 5cm
C ． 4cm
D ． 1cm
2、若关于 x 的方程 3(x-1)+a=b(x+1) 是一元一次方程，则（
） .
A ． a,b 为任意有理数
B ． a ≠0
C ． b ≠0
D ． b ≠ 3
2x 1 3、方程
=4x+5 的解是（
） .
2 3
B ． x=3 或 x= 2
3
A ． x=-3 或 x=-
2 3
C ． x=-
D ． x=-3
k( x 5
3) k( x 2) 4
4、若关于 的方程 与方程 8-2x=3x-2 的解相同， 则 k 的值为 x 10-
3 x
( )
A.0
B.2
C.3
D.4
3x a 5x a 5、当 时，方程
1的解
是
a=
x=0.
2
4
2
2
4
mx 6、若（ 1-3x ） + =0, ，则 6+m=
.
7、 a+b=0，可得 ；由 a-b=0, 可得 a= ; 由 ab=1, 可得 a=
a= 8、若 2a 与
1 a 互为相反数，则 a 等于 9、 y 1 是方程
2
3 m y
2 y 的解，则 m
2
x 3
10、方程 4 ，则 x
2 ∣m ∣
+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值
是
11、已知方程 (m+1)x
( a b) h 中，已知
2
12、在等式 S S 800, a=30, h 20 ，则 b
13、甲、乙两人在相距 10 千米的 A 、B 两地相向而行，甲每小时走 x 千米，乙每小 时走 2x 千米，两人同时出发 1.5 小时后相遇，列方程可得
14、将 1000 元人民币存入银行 2 年，年利息为 5﹪，到期后， 扣除 20﹪的利息税， 可得取回本息和为
元。

15、某品牌的电视机降价 10﹪后每台售价为 2430 元，则这种彩电的原价为每台
元。

16、解方程
5 x 24x
4
3
（1）2(t 3) 1 5(2 3t) （2）
2 x 3110x
6
1x 1x 2
（3）1x 2
（4）
25
x 30.4 x
0.3 12
3
3
2
1
2
（5）[ (x- )-3]-2=4x
1（6）
0.5
17、
18、（9分）已知 2 7 x，若① 2 y2 ，求x 的值；②当x 取何值时，
y16x, y2y1
y1与y2 小3 ；③当x 取何值时，y1与y2 互为相反数？
19、（7分）某车间有技术工人85 人，平均每天每人可加工甲种部件16 个或乙种部
件10 个。

两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人
才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
20、（7分）某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件，用24 小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60 件，问原计划生产多少零件？
21、（7分）甲、乙两种商品的单价之和为100 元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？
22、（7分）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 2 倍，如果把个位上的数与
十位上的数对调得到的数比原数小36，求原来的两位数.
23、（7分）某区中学生足球联赛共赛8 轮（即每队均需赛8场），胜一场得3分，平一场得 1 分，负一场得0 分。

在这次足球联赛中，小平安队踢平的场数是所负场
数的 2 倍，共得17 分，试问该队胜了几场？
24、（10 分）某列车通过250 米长的隧道用25 秒，通过210 米长的隧道用23 秒。

（1）求这列火车的车长和速度。

（2）若该列车比另一列长
150 米。

时速为72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?
25、（10分）“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4 元，“神州行”不缴月租费，每通话 1 分钟，付话费0.6 元，
（1）一个月通话多少分钟，两种移动通信费用相同？
（2）怎样选择哪种移动通信合算？。