二重积分的概念与性质二重积分的计算

所以
bd
b
d
f (x, y)d xd y ( f (x, y)d y)d x d x f (x, y)d y
ac
a
c
D
这是先对y后对x的累次积分计算二重积分的
方法
同法可得到先对x后对y 的积分方法.
cy d
b
f ( x, y)d x d y
a
D
db
d
b
c [a f ( x, y)d x]d y c d ya f ( x, y)d x
（ 表示D的面积)
上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.
例1 设D是圆域：
，证明
解 在D上， 由估值公
式(3)得
的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.
8.2 二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分.下面 从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.
去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区 域 D上都是可积的.
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的 代数和，即
8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n
个小块
从而有
即
d d xd y
假定函数
在f (有x界, y闭) 区域D上连续,且在D上
,
f ( x, y)d 表示以f (x,y)为顶,区域D为底的
D
曲顶柱体的体积V.
1.当D为矩形区域时,
b
dx
2(x) f ( x, y)d y
c
1( y)
a
1 ( x )
即二重积分可以化成先对变元x 积分，后对变元y 积分的
二次积分.也可化为先对变量y 积分，后对变量x 积分的
二次积分
先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量， 按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f (x,y)≥0，但是实际上，上 述结论并不受此限制.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确 定关于y积分限的方法是：
(i ,i ) Δσi
(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为
(4) 取极限 记
,若极限
存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.
1．二重积分的定义
定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数.
把区域 D 任意分割成n个小区域:
其
中 表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小
V f (x, y)d
D
注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 值与D的分法和 的取法无关.
时积分和有惟一确定的极限,极0限
(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 区域有关而和积分变量无关.
2.二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.
8.1 二重积分的概念与性质
8.1.1 二重积分的概念
引例1 曲顶柱体的体积.
若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D 的边界曲线为准 线，且母线平行于z轴的柱面， 它的顶是曲面z=f(x,y)， 设 f(x,y)≥0为D上的连续函数. 我们称这个柱体为曲顶柱体.
z f (x, y)
区域 上任取一点
,作和
若 为 的直径，记
,若极限
存在,则称为函数 在区域Df上(的x,定y积) 分,记
即 f ( x, y)d D
f (x, y)d
D
其中f (x,y) 称为被积函数,
分变量,
称为积分和.
称f为(被x积, y表)达d式, 称为面积元素, x 和y 称为d积
由以上定义知,曲顶柱体的体积
例2 计算积分
，其中D是正方形区域：
解
2.当区域D为
在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则
z f (x, y)
于是所求的体积
S(x)
a
b 2( x) f ( x, y)d y d x a 1 ( x )
x
b
b
dx
2(x) f ( x, y)d y
D
现在来求这个曲顶柱体的体积.
解 (1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块:
其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.
(2)近似 记 为 的直径 (即 表示 中任意两点间距 离的最大值)，在 中任取一 点 ,以 为高而底 为 的平顶柱体体积为
z f (x, y)
此为小曲顶柱体体积的近似值
3.二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则
体积.
表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的
(2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在 这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
,a,b,c,d 为常数),
c≤ y≤ d
a≤ x≤b
任取 x ,(用a过, b点) x且垂直于x 轴的平面截
曲顶柱体,则可得到一曲边梯形,其面积为
s( x) d f ( x, y)dy c
a x
b
f (x, y) 0
c
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:
b
bd
V a s( x)d x a (c f ( x, y)d y)d x
性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则
性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则
表示D的面积)
D2 D1
性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则
（ 表示D的面积)
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ，使
a
1 ( x )
1( x)
2(x)
同样，设区域D由 和 围1(成y,用) 不等式2(表y示) 为
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边
梯形.
若截面面积为S(y)，则
y
z f (x, y)
所给立体体积
c yd
因此
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx