天津南开中学2020届高三第四次月考数学试卷
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则 ， ， ， ，
， ．
因为 ，
所以 ．
（2） ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，得 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ，
所以 ，
又二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3）设 ，
因为 ， ，
所以 ，
设 为直线 与平面 所成角，
，
，解得 （舍）或 ．
所以 ．
18.（1）由题设： ， ，解得 ， ，
（1）求恰有 个项目没有被这 名学生选择的概率；
（2）求“环保宣传”被这 名学生选择的人数 的分布列及其数学期望．
17.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）设 为线段 上的点，且直线 和平面 所成角的正弦值为 求 的值．
18.已知椭圆 的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 ．
函数 在 上为增函数，且 ， ．
故 在 上有唯一实数根 ，且 ．
当 时， ，当 时， ，
从而当 时， 取得最小值．
由 ，得 ，
即 ，
故 ．
综上，当 时， ，即 ．
（3）因为函数 有且只有三个不同的零点，
显然 是其零点，
所以函数 存在两个零点，
即 有两个不等的实根．
可转化为方程 在区间 上有两个不等的实根．
则 ，
则
故选B．
9. C【解析】当 时， ；当 时， ；
所以
当 时，分别作出 ， （ ）， （ ）的图象如图所示．
当 时， 有三个零点；由 ， ，所以 时 有四个零点；当 时，若 时， 有三个零点；当 时， 有四个零点，综上，当 或 时， 有四个零点，故选C.
第二部分
10.
11.
【解析】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
12.
【解析】由频率分布直方图可得第一组的频率是，第二组的频率是 ，第三组的频率是 ，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为 ．
13.
14.
【解析】设 ， ，可知 ，则
（当且仅当 ，即 ， 时等号成立）．
故 的最小值为 ．
15.
【解析】函数 ，若 有四个零点，则 有四个不等实根，则 的图象和直线 有四个交点．当 时， ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，又 .则作出函数 的大致图象如图所示．
其中恰有 个项目没有被这 名学生选择的基本事件个数 ，
所以恰有 个项目没有被这 名学生选择的概率
．
（2）“环保宣传”被这 名学生选择的人数 的所有可能取值有 ， ， ， ， ．
则 ，
，
，
，
．
所以 的分布列为
所以 ．
17.（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．
13.在平行四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于 ，则 的值是．
14.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为．
15.已知函数 函数 有四个零点，则实数 的取值范围是．
三、解答题（共5小题；共75分）
16.某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 名学生，每名学生必须且只能选择 项．
天津南开中学2020届高三第四次月考数学试卷
一、选择题（共9小题；共45分）
1.已知集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设 ， 为两个同高的几何体， ， 的体积不相等， ， 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知， 是 的
即函数 的图象与函数 的图象有两个交点．
因为 ，
所以由 ，解得 ，
故 在 上单调递增；
由 ，解得 ，故 在 上单调递减；
故函数 的图象与 的图象的交点分别在 ， 上，即 的两个根分别在区间 ， 上，设两个根分别为 ， （ ），
所以 的三个不同的零点分别是 ， ， ，且 ， ．
令 ，则 ．
由 解得 故 ， ．
令 ，则 ．
令 ，
则 ．
所以 在区间 上单调递增，
即 ．
所以 ，即 在区间 上单调递增，
即 ，
所以 ，即 ．
则当直线 夹在如图两切线 ， 之间时与 的图象有 个交点．当 时，设 与 相切的切点为 ， ．所以 ，解得 ．因为 ，所以 ，则 ．同理可得 ，则 ．
第三部分
16.（1）依题意，该校的甲、乙、丙、丁 名学生要从“文明交通”“社区服务”“环保宣传”和“中国传统文化宣讲”四个项目中必须且只能选择 项，不同的选择基本事件总数 ．
A. B. C. D.
6.已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物线的准线与双曲线交于 ， 两点，且 的面积为 （ 为原点），则双曲线的方程为
A. B. C. D.
7.设 ， 分别为具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为
A. B. C. D.不确定
（1）求椭圆 的方程；
（2）设与圆 相切的直线 交椭圆 于 ， 两点（ 为坐标原点），求 的最大值．
19.已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 ．
20.已知函数 ， ．
（1）求 的极值；
（2）证明：当 时， ；
（3）若函数 有且只有三个不同的零点，分别记为 ， ， ，设 且 的最大值是 ，证明： ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ．
（ ）当 轴时， ．
（ ）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由已知 ，得 ．
把 代入椭圆方程消去 ，整理得 ，
有 ， ．
得
当且仅当 ，即 时等号成立．
当 时， ，
综上所述 ．
19.（1）因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 在 上是减函数，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A. B. C. D.
4.函数 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
5.数列 满足： （ ， 且 ），若数列 是等比数列，则 的值等于
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】由 ，反之不成立，
所以 是 的充分不必要条件．
3. A
4. A
5. D
【解析】由 ，得 ．
由于数列 是等比数列，
所以 ，得 ．
6. D【解析】因为 ，
所以 ，
即 焦点为 ，
即 焦点为 ，
所以
又因为 的面积为 ，
时， ，
所以 ， ，
，得
由 得，
双曲线的方程为 ．
7. C【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为 ， ，焦距为 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ．所以
两式相减，得
所以 ．
（3）由（2）知 ，所以
所以
20.（1）函数的定义域为 ．
由已知可得 ．
当 时， ，故 在区间 上单调递增， 无极值．
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
的极大值为 ，无极小值．
（2）令 ，故只需证明 ，
8.已知函数 的图象过点 且在 上单调，把 的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 时， ，则
A. B. C. D.
9.已知函数 ， 在 上的最大值为 ，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
10.若 是复数， ，则 .
11.二项式 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中 项的系数是．
则
解得
又 ，由勾股定理可得： ，
即 ，
整理可得： ，
所以 ．
8. B【解析】函数 的图象过点 ．则 ，解得 ，由于 ，所以 ．则 ．
同时 的图象向右平移 个单位后与原来的图象重合，所以 ，
则 ，得
函数在 上单调，则 ，
解得 ，
所以 ，则 ．
函数的对称轴为 ．
即 ．
已知： 且 ， ．
当 时，对称轴 ，
， ．
因为 ，
所以 ．
（2） ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，得 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ，
所以 ，
又二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3）设 ，
因为 ， ，
所以 ，
设 为直线 与平面 所成角，
，
，解得 （舍）或 ．
所以 ．
18.（1）由题设： ， ，解得 ， ，
（1）求恰有 个项目没有被这 名学生选择的概率；
（2）求“环保宣传”被这 名学生选择的人数 的分布列及其数学期望．
17.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）设 为线段 上的点，且直线 和平面 所成角的正弦值为 求 的值．
18.已知椭圆 的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 ．
函数 在 上为增函数，且 ， ．
故 在 上有唯一实数根 ，且 ．
当 时， ，当 时， ，
从而当 时， 取得最小值．
由 ，得 ，
即 ，
故 ．
综上，当 时， ，即 ．
（3）因为函数 有且只有三个不同的零点，
显然 是其零点，
所以函数 存在两个零点，
即 有两个不等的实根．
可转化为方程 在区间 上有两个不等的实根．
则 ，
则
故选B．
9. C【解析】当 时， ；当 时， ；
所以
当 时，分别作出 ， （ ）， （ ）的图象如图所示．
当 时， 有三个零点；由 ， ，所以 时 有四个零点；当 时，若 时， 有三个零点；当 时， 有四个零点，综上，当 或 时， 有四个零点，故选C.
第二部分
10.
11.
【解析】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
12.
【解析】由频率分布直方图可得第一组的频率是，第二组的频率是 ，第三组的频率是 ，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为 ．
13.
14.
【解析】设 ， ，可知 ，则
（当且仅当 ，即 ， 时等号成立）．
故 的最小值为 ．
15.
【解析】函数 ，若 有四个零点，则 有四个不等实根，则 的图象和直线 有四个交点．当 时， ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，又 .则作出函数 的大致图象如图所示．
其中恰有 个项目没有被这 名学生选择的基本事件个数 ，
所以恰有 个项目没有被这 名学生选择的概率
．
（2）“环保宣传”被这 名学生选择的人数 的所有可能取值有 ， ， ， ， ．
则 ，
，
，
，
．
所以 的分布列为
所以 ．
17.（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．
13.在平行四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于 ，则 的值是．
14.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为．
15.已知函数 函数 有四个零点，则实数 的取值范围是．
三、解答题（共5小题；共75分）
16.某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 名学生，每名学生必须且只能选择 项．
天津南开中学2020届高三第四次月考数学试卷
一、选择题（共9小题；共45分）
1.已知集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设 ， 为两个同高的几何体， ， 的体积不相等， ， 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知， 是 的
即函数 的图象与函数 的图象有两个交点．
因为 ，
所以由 ，解得 ，
故 在 上单调递增；
由 ，解得 ，故 在 上单调递减；
故函数 的图象与 的图象的交点分别在 ， 上，即 的两个根分别在区间 ， 上，设两个根分别为 ， （ ），
所以 的三个不同的零点分别是 ， ， ，且 ， ．
令 ，则 ．
由 解得 故 ， ．
令 ，则 ．
令 ，
则 ．
所以 在区间 上单调递增，
即 ．
所以 ，即 在区间 上单调递增，
即 ，
所以 ，即 ．
则当直线 夹在如图两切线 ， 之间时与 的图象有 个交点．当 时，设 与 相切的切点为 ， ．所以 ，解得 ．因为 ，所以 ，则 ．同理可得 ，则 ．
第三部分
16.（1）依题意，该校的甲、乙、丙、丁 名学生要从“文明交通”“社区服务”“环保宣传”和“中国传统文化宣讲”四个项目中必须且只能选择 项，不同的选择基本事件总数 ．
A. B. C. D.
6.已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物线的准线与双曲线交于 ， 两点，且 的面积为 （ 为原点），则双曲线的方程为
A. B. C. D.
7.设 ， 分别为具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为
A. B. C. D.不确定
（1）求椭圆 的方程；
（2）设与圆 相切的直线 交椭圆 于 ， 两点（ 为坐标原点），求 的最大值．
19.已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 ．
20.已知函数 ， ．
（1）求 的极值；
（2）证明：当 时， ；
（3）若函数 有且只有三个不同的零点，分别记为 ， ， ，设 且 的最大值是 ，证明： ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ．
（ ）当 轴时， ．
（ ）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由已知 ，得 ．
把 代入椭圆方程消去 ，整理得 ，
有 ， ．
得
当且仅当 ，即 时等号成立．
当 时， ，
综上所述 ．
19.（1）因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 在 上是减函数，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A. B. C. D.
4.函数 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
5.数列 满足： （ ， 且 ），若数列 是等比数列，则 的值等于
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】由 ，反之不成立，
所以 是 的充分不必要条件．
3. A
4. A
5. D
【解析】由 ，得 ．
由于数列 是等比数列，
所以 ，得 ．
6. D【解析】因为 ，
所以 ，
即 焦点为 ，
即 焦点为 ，
所以
又因为 的面积为 ，
时， ，
所以 ， ，
，得
由 得，
双曲线的方程为 ．
7. C【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为 ， ，焦距为 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ．所以
两式相减，得
所以 ．
（3）由（2）知 ，所以
所以
20.（1）函数的定义域为 ．
由已知可得 ．
当 时， ，故 在区间 上单调递增， 无极值．
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
的极大值为 ，无极小值．
（2）令 ，故只需证明 ，
8.已知函数 的图象过点 且在 上单调，把 的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 时， ，则
A. B. C. D.
9.已知函数 ， 在 上的最大值为 ，若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
10.若 是复数， ，则 .
11.二项式 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中 项的系数是．
则
解得
又 ，由勾股定理可得： ，
即 ，
整理可得： ，
所以 ．
8. B【解析】函数 的图象过点 ．则 ，解得 ，由于 ，所以 ．则 ．
同时 的图象向右平移 个单位后与原来的图象重合，所以 ，
则 ，得
函数在 上单调，则 ，
解得 ，
所以 ，则 ．
函数的对称轴为 ．
即 ．
已知： 且 ， ．
当 时，对称轴 ，