概率统计分布模型

连续型分布----3.Eralng分布
e lt 基本公式：P(ht t ) (lt ) i! i 0
l 1 i
e lt P(ht t ) 1 (lt )i i! i 0
l 1
参数个数：l

数字特征：M 1

D
1
2l
参数估计： 1 m
应用举例
例1：在平均交通量为120辆/h的道路上，车辆到达符合泊 松分布，求30s内无车、有1辆、2辆、3辆、4辆及以上车 辆到达的概率。 例2：60辆汽车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路 段上有4辆及4辆以上车辆的概率。 例3：某信号灯交叉口周期T=96s，有效绿灯时间g=44s,在 有效绿灯时间内排队的车流以Q=900辆/h的流量通过交叉 口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯 交叉口上游车辆的到达率为λ =369辆/h，车辆的到达服从 泊松分布，求使到达的车辆不致两次排队的周期占周期总 数的最大百分率？
拟合优度检验时的注意事项
总频数应较大，即样本量应足够的大。 样本分组应连续 ，且样本分组数应不小于5。 检验时，应优先选用简单的概率统计分布模型去拟合。 计算理论频数后，应将理论频数小于5的组合并，直到 合并后的理论频数大于5为止 ，且此时应以合并后的组 数作为计算自由度的组数 。
主要道路上车辆的车头时距服从负指数分布，试求次
要道路上车辆的平均延误时间？
d
1

[e 1]
交通流中的开段和闭段
开段与闭段的含义：在对车辆行驶状态调查中，可以 观测到有些车辆间距可以允许行人或车辆横穿，而有 些车辆间距行人或车辆无法横穿。通常称能横穿的区
段为开段，不能横穿的区段则称之为闭段。
3600 h 开段所有车头时距平均值： 开 tc Q
1h内开段包括的全部时间：开 Qe T

Qtc 3600
3600 (tc ) Q
开段和闭段相关计算公式
闭段分布概率 ： 闭 P(ht tc ) 1 e tc 1 e P 1h内闭段总个数 ： Q(1 e n闭 闭段平均时距值 ： h 闭
1
Qtc 3600

Qtc 3600
)
[1 e tc tc e tc ] 1 e tc
1h内闭段包括的全部时间 ：
T闭 3600(1 e

Qtc 3600
Qt c e 3600

Qtc 3600
)
连续型分布----2.移位负指数分布
基本公式： (h t ) e (t ) P(h t ) 1 e (t ) P t t 参数个数：
D 1
数字特征：M 1

2
参数估计： 1 m
连续型分布----1.负指数分布
适用条件：描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的 多列车流的车头时距分布。 缺陷：车头时距越短出现的概率越大，但这种情形在不能 超车的单列车流中是不可能出现的。
应用举例
例1：在交通量为Q=600辆/小时的道路上，在观测断面处 的到达车辆数服从泊松分布，求车头时距在18-24秒之
假定tc为车辆或行人横穿车流的临界时间，那么开段就
是车头时距大于或等于tc 的区段，闭段就是车头时距
小于tc 的区段。
开段和闭段相关计算公式
开段分布概率： 开 P(ht tc ) e tc e P
Qtc 3600

Qtc 3600
n 1h内开段总个数： 开 Qe
例2：有一信号灯控制的交叉口停车线处，每周期 平均到达的车辆数为20辆，其中20%是左转车辆， 求该信号周期中没有左转车的概率？
应用举例
例3：某交叉口有左转专用信号相，通过调查分析， 车流符合二项分布，每一周期内平均到达20辆车， 有25%的车辆左转但无右转，试求： <1>到达三辆车中有一辆左转车的概率； <2>某一周期不使用左转信号相的概率？
P(ht 6) e
Q次 Q主 e
( 6 )
e
)

1200 ( 6 1.0 ) 3600
e


5 3
0.1889
5 3
( )
(1 )(1 e
( )
1200
e e 1200 269辆 / h 1200 1 3 1 1200 (1 ) (1 e ) (1 1.0) (1 e 3600 ) 3 3600
拟合优度检验的步骤
建立原假设H0
数据整理
分布形式
模型标定
2 选择适宜的统计量
2 确定统计量的临界值

i 1
g
fi 2 N Fi
显著性水平的确定；自由度DF的计算 DF g q 1 判断统计检验的结果
2 2 2 则接受； 2 则拒绝
应用一：计算无控交叉口次要道路的通行能力
1.某主干道优先次干道等让交叉口，主干道上的车流通
行能力为Q主 辆/小时，为连续行驶的交通流并假定车流的
车头时距分布服从移位的负指数分布，允许次要道路车辆 通过或插入的临界间隙为α 秒，当出现可插间隙时，次要 道路车流可以相继通过的随车时距为β 秒，试分析计算该 交叉口的理论通行能力（次要道路上排队不超过n辆）。
通过或插入的临界间隙为秒，当出现可插间隙时，次 要道路车流可以相继通过的随车时距为秒，试分析计 算该交叉口的理论通行能力（假定次要道路上排队车 辆最多不超过n辆）。
e Q次 Q主 1 e
应用举例
例4：某无信号控制交叉口，主要道路上的流量为Q辆/小 时，次要道路上车流横穿主要车流所需要的时间为秒，
离散型分布---- 3.负二项分布
基本公式： (0) p P(k ) k 1 (1 p) P(k 1) 0 p 1 P k
参数个数：p

p
数字特征：M (1 p) D (1 p) 2
p
m m2 参数估计： p 2 2 s s m
离散型分布---- 1.泊松分布
(t ) k t 基本公式：P(k ) e k!
参数个数：在计数间隔内平均到达的车辆数 m t 递推公式： P(k 1) m P(k ) k 1
数字特征：均值 M t 方差
D t
参数估计：样本均值作为参数的取值 适用条件：适用于密度不大，车辆间的相互影响微弱，其 它外界干扰因素基本上不存在的车流，即车流是随机的。
t

D 1
密度函数： (t ) 1 e (t ) p(t ) F (t ) e (t ) ( ) e (t ) F 数字特征： 1 M

2
参数估计： 1 s
ms
连续型分布----2.移位负指数分布
概率统计分布模型
信号灯配时:一个周期内到达的车辆数 行人交通管制:大于行人穿越时间的车头时距频率 无控交叉口次要道路通行能力:主要车流的车头时 距的分布。 交通实体的到达具有随机性，有两种方法描述：
1. 离散型分布：描述给定时间或距离内到达的车辆数
的变化。 2. 连续型分布：描述车辆到达时间间隔的统计特性。
连续型分布----1.负指数分布
基本公式： P(h t ) e t t
P(ht t ) 1 e t
参数个数：一个
概率密度函数：F (t ) P(h t ) 1 e t t
p(t ) F ' (t ) e t ( ) e t
e ( ) Q次 Q主 (1 )(1 e )
• 2.某不设信号管制的交叉口，次要道路上车流为能横穿 主要道路车流，车辆通过主要车流的最小ht为6s，次要 道路饱和车流的平均ht为3s，主要道路Q为1200辆/h。 求:(1) ht为6s或更大的概率？次要道路可能通过的车 辆数？(2)若最小ht为1.0s，那么ht大于等于6s的概率是 多少？次要道路可能通过的车辆又为多少？
离散型分布---- 2.二项分布
基本公式： P(k ) C k ( t ) k (1 t ) nk n n n 参数个数： p t , n
n
k 递推公式： P(k ) Cn p k (1 p) n k
数字特征： M np D np(1 p)
1200 ( 6 1) 3600
1200 ( 6 1.0 ) 3600
Q次 Q主
e 1 1 e 1 [ ] 1200 [0.5 ] 255辆 / h 1200 1200 1 2 1 1 3 3600 3600
应用二：计算信号交叉口左转车流通行能力
m2 l 2 s
模型简化：
e t l 1时, P(ht t ) (t )i e t i! i 0
11
e 2t l 2 时, P(ht t ) (2t ) [1 2t ]e 2t i! i 0
21 i
适用条件：适用于描述不能超车的单列车流的车
头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。
缺陷：车头时距越接近，其出现的可能性越大。P(t)一般时距分布图 Nhomakorabeat
（1）车头时距分布的概率密度曲线一般是先升后降。 （2）为了克服移位的负指数分布的局限性，可以采用更通 用的连续型分布模型，如M3分布、爱尔朗分布、Wei bull分 布、Pearson III型分布、对数正态分布、复合指数分布等。
适用条件：该模型适用于波动性很大的车流。
应用举例
某一信号灯控制的交叉路口，绿灯时间约有80% 的车辆可以直接通过，而有20%的车辆产生延误。 现有观测资料若干，试计算5辆车中可直接通过4 辆车的概率？不发生延误的车辆是多少？
离散型分布---- 4.拟合优度检验
拟合优度检验概述
对于实际观测到的交通流数据，到底属于何种概
率分布模型，事先是不知道的，但可以假定其服
从某种分布，然后来检验其是否服从该分布。
检验就是将理论分布与实际分布作比较，进行数
据拟合，这就需要有一套评价拟合质量的方法。
2 在交通工程中，常用的是 检验法。
离散型分布---- 5.拟合优度检验
2检验所能解决的两类问题
某随机变量（车辆到达数）是否服从某种完全给定的概 率统计分布模型（模型及参数）。 某随机变量（车辆到达数）是否服从某种形式的概率统 计分布模型。给定了分布类型（如泊松分布），但没有 给出对应的参数值，而应自行通过样本数据去估计出该 分布的参数值。
P(ht 6) e
6
e

1200 6 3600
e 2 0.1353
1200 6 3600
e e e 2 Q次 Q主 1200 1200 257 1200 3 1 e 1 e 1 1 e 3600

间的数量占总车头时距数量的比例？
例2：某交通流属泊松分布，已知交通量为1200辆/小时，
试求车头时距t≥5s的概率；车头时距t>5s的出现的次数； 车头时距t≥5s的车头间隔的平均值？
应用举例
例3：某主干道优先次干道等让交叉口，主干道上的车流 通行能力为Q主辆/小时，为连续行驶的交通流并假定
车流的车头时距服从负指数分布，允许次要道路车辆
m m2 m s2 参数估计: p n p m s2 m
适用条件：二项分布适用于描述比较拥挤，车辆自由行
驶机会不多的车流。
应用举例
例1：在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔 观测到达车辆数，得到的结果如下表示，试用二 项分布拟合之。
到达数xi 频数fi <3 0 3 3 4 0 5 8 6 10 7 11 8 10 9 11 10 9 11 1 12 1 > 0