2019年上海高中自主招生数学 专题12 高斯函数(学案)
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专题12 高斯函数（学案）
对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识：
1. R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2. 高斯函数[]x y =的性质和图像
（1）[]x y =的图像在x y =的图像的下方。
（2）[]x y =的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段，这组平行线段呈阶梯形。
函数[]x y =是一个不减（非单调）的非周期的函数，其图像如图12-1所示。
3. 设()[]x x x f -=，其图像如图12-2所示
基本结论：
设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：
（1）[][]1+≤≤x x x .
（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.
（3）[][]x n x n +≤+.
（4）[][][]⎩
⎨
⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.
（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .
（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.
二、例题分析：
例题1 若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161
的值。
例题2 []x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
例题3 已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x
n x 。
例题4 解方程4)
12(3534+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x .
三、专题训练
专题练习
1. 已知n 为正整数，2221
31
21
1n S n ++++= ，求[]n S 的值。
2. 乘积1991100210011000⨯⨯⨯⨯ 中含有多少个11的因子？
3. 证明：对于任意实数x ，有[][]x x x 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++。
4. 求方程[]21213-=+x x 的所有根的和。
5. 已知0>x ，[][])(2x x x x -=，求代数式x
x 1-的值。
6. 解方程：[]33=-x x 。
7. 计算：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+310103193的末尾两位数字。
8. 求∑=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=5021503503305n n S 的值。
9. 求方程1001!10!3!21=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x 的正整数解。
10. 解方程：[]0514042=+-x x 。
专题作业
1. 解方程：[][]0642=---x x 。
2. 求1991！中末尾零的个数。
3. 已知n 是正整数，计算[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++13212n 的值。