医学统计学 几种离散型变量的分布及其应用

n=8
阳性数X
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=10
阳性数X
图 6-2. =0.4 时，不同 n 值下的二项分布图
二、二项分布的应用 (一)总体率的区间估计 1. 查表法 2. 正态近似法
1. 查表法 对于n 50的小样本资料，直接 查附表6百分率的95%或99%可信区间表，
n
称为二项系数。总有：
x0
P(
X
)

1
。
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例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有 效率为0.70。今用该药治疗该疾病患者10 人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人 有效的概率。
本 例 n=10 ， π=0.70 ， X=6 ， 7 ， 8 。 按 公 式 （6-1）计算相应的概率为
在一般情形下，总体率π往往并不知道。此 时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的 估计值，则 的p 估计为:
S p p(1 p) / n
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π=0.5时，分布是对称的，见图6-1；
图 6-1. =0.5 时，不同 n 值下的二项分布
当 0.5时，分布是偏态的，但随着n的增
大，分布趋于对称。当n 时，只要π不
太靠近0或1，二项分布则接近正态分布， 见图6-2。
P(X)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
0
1
2
3
n=2
阳性数X
P(X)
0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
12345
n=5
阳性数X
P(X)
0.3
0.3
0.2
0.2
P(X)
0.1
0.1
0
012345678
即可得到其总体率的可信区间。
例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶 腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况， 发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇 女受孕率的95%可信区间。
本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在n=13
（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为19～75，
即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%，
第六章
几种离散型变量的 分布及其应用
Distribution and Application of Discrete Variable
Binomial distribution Poisson distribution
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随机变量有连续型和离散型之分，相应 的概率分布就可分为连续型分布和离散型 分布。
接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感 染或非感染等。
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若从阳性率（死亡率、感染率等）
为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出现阳性数为X的概率分布即呈二项
分布，记为X～B(n，π).
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二项分布有两个参数：
总体率
样本含量 n
记作：X～B(n，π)
P(6) 10! 0.706 (1 0.70)106 0.20012 6!(10 6)!
P(7) 10! 0.707 (1 0.70)107 0.26683
7!(1源自文库 7)!
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347
8!(10 8)!
在上面的例6-1中，对这10名非传染 性疾病患者的治疗，可看作10次独立 的重复试验，其疗效分为有效与无效， 且每一名患者治疗有效的概率
（π=0.70）是恒定的。这样，10人 中发生有效的人数X～B(10，0.70)。
(二) 二项分布的性质
1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重 复试验中，出现“阳性”次数X的
总体均数为 n
总体方差为 2 n (1 )
总体标准差为 n (1 )

若以率表示，则样本率p的
总体均数为 p
总体方差为

2 p

(1 )
n
总体标准差为
p
(1 )
n
样本率的标准差也称为率的标准误，可用 来描述样本率的抽样误差，率的标准误越 小，则率的抽样误差就越小。
Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性” 概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，
1，2，…，n的一种概率分布。
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在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的 情形较为常见。
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分 为有效或无效；
在动物的致死性试验中，动物的死亡或 生存；
有关连续型分布如正态分布、t分布和F 分布等在前面的章节中已作了介绍。
本章主要介绍在医学中较为常用的离散 型分布，即二项分布、Poisson分布。
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第一节 二项分布
二项分布（binomial distribution）是指在只
会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性” 之一的n次独立重复试验（常常称为n重
在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下 式求出：
P(X )
n! X (1 )nX
X !(n X )!
X 0,1, 2,, n
P( X ) 实 际 上 就 是 二 项 函 数 (1 )n 展 开 式 中 的 通 项 ， 式 中 的
n! X!(n
X
)!
75%）。
附表6只列出
X

n2的部分。当X

n 2
时，可先按
“阴性”数n-X查得总体阴性1率的 可信区间
QL～QU，再用下面的公式转换成所需的阳性1率
的
可信区间。 PL=1-QU， PU=1-QL
2. 正态近似法 根据数理统计学的中心极限 定理可得，当n较大、π不接近0也不接近1 时，二项分布B(n，π)近似正态分布
一、二项分布的适用条件和性质
(一) 二项分布的适用条件 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果
之一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于1； 2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的
概率π固定不变；
3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
N(n,n (1 )) ，而相应的样本率p的分布也近 似 N( , p2) 正态分布。为此，当n较大、 p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时， 可利用样本率p的分布近似正态分布来估计 总体率的可信区间。