2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量与立体几何课时练理

2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量与立体几

何课时练 理

时间：45分钟

基础组

1.[2016·枣强中学猜题]若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为

u ＝(－2,2，－4)，则( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l ⊂α

D ．l 与α斜交

答案 B

解析 因为直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)与平面α的法向量u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选B.

2．[2016·衡水中学期中]正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →

＝1

2

MC 1→

，

N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为( )

A.216a

B.66a

C.

156a D.153

a 答案 A

解析 MN →＝MA →

＋AB →＋BN →

＝－1

3

AC 1→＋AB →＋BN →

＝－13(AB →＋AD →＋AA 1→)＋AB →＋12AA 1→

＝23AB →＋16AA 1→－1

3AD →， ∴|MN →|＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫23

AB →＋16AA 1→－13AD →2

＝

2136a 2＝21

6

a . 3．[2016·武邑中学期中]平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交但不垂直

C ．垂直

D ．重合

答案C

解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．

4．[2016·衡水中学期末]如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝

CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )

A.

5 5

B.

5

3

C.

25

5

D.

3

5

答案A

解析设CB＝1，则CA＝CC1＝2，

故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，

则BC1

→

＝(0,2，－1)，AB1

→

＝(－2,2,1)，

cos〈BC1

→

，AB1

→

〉＝

BC1

→

·AB1

→

|BC1

→

|·|AB1

→

|

＝

3

35

＝

5

5

，

即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

5

5

.故选A.

5.[2016·冀州中学猜题]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C 的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为( )

A. 2

B.

2

2

C.

1

2

D．2

答案B

解析 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，

1，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，EF →

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12，12

DD 1→

＝(0,0,1)为底面的一个法向量，

cos 〈EF →

，DD 1→

〉＝

EF →·DD 1

→|EF →

||DD 1→

|

＝1

3＝3

3

， 所以EF 和平面ABCD 所成角θ的正弦值为 sin θ＝

33，∴tan θ＝sin θcos θ＝22

.故选B. 6．[2016·武邑中学仿真]过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

答案 B

解析 建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB ＝PA ＝1，知A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1) 由题意得，AD ⊥平面ABP ，设E 为PD 的中点， 连接AE ，则AE ⊥PD ，

∴AD →

＝(0,1,0)，AE →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1

2，12分别是平面ABP 、平面CDP 的法向量，而〈AD →，AE →

〉＝45°，

∴平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为45°.

7．[2016·衡水中学模拟]若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．

答案

411

33 解析 设l 与α所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝

|n ·a ||n ||a |＝|－8－3＋3|16＋1＋1×4＋9＋9

＝411

33. 8．[2016·冀州中学期中]已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是________．

答案 4

3

解析 如图建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A 1(2,0,4)，A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)， AD 1→

＝(－2,0,4)，AB 1→

＝(0,2,4)，AA 1→

＝(0,0,4)，

设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·AD 1→＝0，n ·AB 1

→＝0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

－2x ＋4z ＝0，

2y ＋4z ＝0，

解得x ＝2z 且y ＝－2z ， 不妨设n ＝(2，－2,1)， 设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d .