运动稳定性_1a

状态变量表示成一阶微分方程组:
& x i f i ( x1 ,..., xn , t ) i 1,..., n
或写成:
& f ( x, t ) x x ¡ n , t I [ , )
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例1.
质点的运动微分方程
& & m& y F ( y, y , t)
令:
y¡
3
T & & & x ( x1 ,..., x6 )T ( y1 , y2 , y3 , y , y , y ) 1 2 3
1
x 1 1
1
1
22
定义1： 系统(1)的平衡解 xe是 (Lyapunov意义)稳定的, 如果: 对任意的 0 和 t0 J [r , ) , 存在 (t0 , ) 0 , 使得对所 有的 t t0 , 只要
xo xe (t0 , ) , 就有: x (t; xo , to ) xe .
m10 平衡点： 0 , 0
0 m , 20 0
0 0 m30
20
二、平衡状态的稳定性的定义
在状态空间上定义范数:
x 1 xi
i 1
2 2 x 2 x12 x2 ... xn
& & & mx cx kx F sin t
o
& & & x 2 x x h sin t
2 0
F (t )
方程有特解：
x
其中：
c / 2m, 02 m / k
x B sin(t )
h ( ) 4
2 0 2 2 2 2
其中：
1 (0,0)=2 (0,0)=0
(0,0)是该系统的唯一的平衡点. 它是吸引的, 但不稳定.
24
3. 只要有一束解不稳定, 则平衡点就是不稳定; 4. 稳定性中的扰动只是对初条件的扰动, 系统不受扰动,
即运动微分方程不变.
5. 范数的等价性保证了：如果系统关于一个范数稳定，则 系统对其他范数也是稳定的。
在 [t0 , t2 ]上有定义, 则任给一 0 , 可以找到 0 , 使得
当 x02 x01 时, 对任意 t [t0 , t2 ] , 都有:
x2 (t ) x1 (t ) fi (2) 若所有偏导数 连续, 则解 x (t ) x (t ; x0 , t0 ) 关于 x0 x j 也连续可微.
n
x

max x1 ,..., xn
有限维空间上的所有范数都是等价的. 以后就用 x 代表以上三个范数中的一种.
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各范数的等值面:
x 1 xi
i 1
2 2 x 2 x12 x2 ... xn
n
x
x 2 1

max x1 ,..., xn
1
x

1
系统的平衡点:
k 1,2,...
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例:
倒立摆:
倒立摆的运动方程:
& & & & ml 2 (mg my 0 )l sin
整理得:
& y g & & & ( 0 )sin 0 l l
mg

g 4 A cos 2t & & ( )sin 0 l l
f (t , x1 ) f (t , x2 ) L x1 x2
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定理2. (解对初值的连续依赖性与可微性定理) (1) 在解的存在性及惟一性定理的条件下,若微分方程
& f (t , x) x
的两个初条件的解:
x1 (t ) x1 (t , x01 , t0 ) x2 (t ) x2 (t , x02 , t0 )
T 角动量: m (m1 , m2 , m3 )
则运动方程(Euler动力学方程):
& ω m m
其中:
m ( I11 , I 22 , I 33 )
T
m1 m2 m3 T ω( , , ) I1 I 2 I 3

I 2 I3 & m2 m3 1 m I 2 I3 I 3 I1 & m3 m1 m2 I 3 I1 I1 I 2 & m1m2 m3 I1 I 2
B
方程的通解：
x Ae sin(dt ) B sin(t )
其中： A 和 由初始条件确定。
- t
d 02 2
显然，方程的特解
x B sin(t )
是稳定的。
6
记：
F B0 k
例: 非线性振动系统:
2 & & & x 2 x o x x3 F sin t
例：弹簧-质量振子自由振动的平衡点 例：弹簧-质量振子阻尼振动的平衡点
例：二阶系统
k
l0
st
& x 1 x2 2 & x k x1 2
m
o
25
x1
三、平衡状态的扰动方程
设扰动引起的初状态为 x 0 ，以 x 0 为初条件的解
x(t ) x(t; xo , to )
则
y (t ) x(t ) xe 称为扰动。
定义2： 系统(1)的平衡解 xe 是渐近稳定的, 如果:
xe 是稳定的, 并且:
t
lim x (t; xo , to ) xe
定义3： 系统(1)的平衡解 xe 是不稳定的, 如果: 存在 不论
0,
x0 xe
多么小, 也存在 t1 , 使得:
x (t1; xo , to ) xe
则运动方程可以写成如下形式:
& f ( x, t ) x
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二、 关于微分方程的解的一般性质的定理
定理1. (解的存在性及惟一性定理) 对于微分方程
& f (t , x) x
若 f (t , x) 在区域 W I 上连续, 且关于 x 满足Lipschitz条件,
则存在常数 a > 0, 使得在 [t0 a, t0 a ] 上对初条件 (t0 , x0 ) 有惟一解 x=x(t), 满足
x (t0 ) .x0
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在状态空间上定义范数:
x 1 xi
i 1
2 2 x 2 x12 x2 ... xn
n
x

max x1 ,..., xn
有限维空间上的所有范数都是等价的. 以后就用 x 代表以上三个范数中的一种.
f (t , x) 关于 x 满足Lipschitz条件：存在常数 L > 0
1
当 o 时, 主共振: 小激励产生常规振动.
近似解析解:
x Asin(t ) O( )
8
幅-频响应曲线
2 & & & x 2 x o x x3 F sin t
1
x Asin(t ) O( )
运动稳定性基础
公共邮箱： 密 码： yundongwendingxing@126.com ydwdxbuaa
1
Hale Waihona Puke Baidu
主要参考书目
1. 高为炳，运动稳定性基础，高等教育出版社，北京， 1987。
2. 舒仲周，张继业，曹登庆，运动稳定性，中国铁道
出版社，北京，2001 。 3. 廖晓昕，稳定性的理论方法和应用，华中理工大学 出版社，武汉，1999 。 4. 王照林，运动稳定性及其应用，高等教育出版社，
A
2 6
A
5 3
1
5 3 4

2 1 0
6
4
0
ω0
具有硬弹簧的机械系统(>0)
ω0
具有软弹簧的机械系统(<0) 9

问题：如何从数学上定义稳定性？
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§2
运动微分方程 关于解的一般性质
一、系统的运动微分方程
T 记: x [ x1 ,..., xn ] 为状态变量, 系统的运动方程可以通过
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§3 平衡状态及其稳定性的定义
一、平衡状态
系统:
& f (t , x) x
(1)
若 x x e const 为系统的解, 则该解称为系统的平衡点. 代入运动微分方程

0 f (t , x e )
(2)
通过解方程(2)可以得到系统(1)的平衡点 xe .
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例: 单摆
& & 2 sin 0
若 f ( x, t , μ) 关于所有变量解析, 则 x x (t ; x0 , t0 , μ) 关于 解析;
若 f ( x, t , μ) 关于( x, μ) 连续可微, 则 x x (t ; x0 , t0 , μ) 关于 连续 可微; 系统的稳定性是微分方程自变量区间为有限时解对初值的 连续依赖性在自变量区间变为无穷时的扩展.
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注:
1. 注意稳定与有界的区别;
2.
渐近稳定的前提是稳定;
例: 二阶系统
5 x12 ( x2 x1 ) x2 1 1 ( x1 , x2 ) 2 x 2 2 2 2 ( x x )[1 ( x x 1 2 1 2) ] 2 x 2 ( x2 2 x1 ) x 2 2 ( x1 , x2 ) 2 2 2 2 2 ( x x )[1 ( x x 1 2 1 2) ]
y0 A cos 2t
引入状态变量:
x1 x & x 2 x1e k xe x2 e 0
系统的平衡点:
k 1,2,...
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例: 刚体的自由转动方程
记角速度:
ω (1 , 2 , 3 )T
北京，1992。
5. 黄琳，稳定性与鲁棒性的理论基础，科学出版社，
北京，2003 。
2
第一章 运动稳定性的基本概念
3
§1 运动稳定性及其实际意义
稳定性: 一般指现象能否保持下去, 能否抗干扰. 17世纪中叶, 太阳系的稳定性: 随时间无限增加, 行星无限 接近太阳或远离它, 或保持稳定状态中.
一、运动稳定性概念的来源：静止(平衡)的稳定性
Torricelli(1644): 重力场中物体在重心取最低时才保持稳定.
Lagrange(1788): 当保守系统处于势能的严格极小状态时,
系统处于稳定平衡. 对运动稳定性的系统研究始于Lagrange. Lyapunov(1892)奠定运动稳定性理论的基础.
4
例：有阻受迫线性振动系统
c
m
k
l0 st
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定理3. (解对参数的连续依赖性与可微性定理)
& f ( x, t , μ) x
设 f ( x, t , μ) 关于所有的变量连续, 且对每个确定的, f 关于 x 满足Lipschitz条件. 则: 满足初条件 x (t0 ) x0 的惟一解 x x (t ; x0 , t0 , μ) 关于 连续;
由于 x(t ) y (t ) xe 为系统的解，代入 (1)：
& y (t ) f (y (t ) xe )
方程(2)称为平衡状态 x e 的扰动方程，记为：
(2)
& y (t ) g(y, t )
且
g (0, t ) 0
系统(1)的平衡点的稳定性 扰动方程(2)的零解的稳定性 26
引入状态变量:
g l
2
x1 x & x 2


& x2 x 1 & 2 x & x sin x 1 2 x1e k xe x2 e 0