物理题目中的数学归纳法

物理学的中数学归纳法

1．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水落到盘子而听到声音时后一滴恰好离开水龙头，测出从听到第一滴水击盘声到第n 次听到水击盘声的总时间为t ，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h ，即可算出重力加速度.设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1s ，声速为340m/s ，则（D ）

A ．水龙头距人耳的距离至少为34m

B ．水龙头距盘子的距离至少为34m

C ．重力加速度的计算式为g=22

2t hn

D ．重力加速度的计算式为g=22

)1(2t n h -

解析：此题目相对简单，几乎没有数学归纳的意思，但能向学生说明数学归纳无处不在，树水归纳的意识。此可做一变化：若空中还有一个（或几个）水滴，再求重力加速度。 归纳：

1——0

2——Δt

3——2Δt

……

n ——（n-1）Δt=t

Δt=

1

-n t h=2)(21t g ∆得（D ）

2．（05江苏）一个质量为M 的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m 的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V ，则此时狗相对于地面的速度为V +u (其中u 为狗相对于雪橇的速度，V +u 为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V 为正值，u 为负值)。设狗总以速度v 追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v 的大小为5m /s ，u 的大小为4m /s ，M =30kg ，m =10kg .

（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。

（供使用但不一定用到的对数值：lg 2=0.301，lg 3=0.477)

此题完全可以一次次往下算，不见得非要走捷径

解法（二）：一次次算

设雪橇运动的方向为正方向。狗第i 次跳下雪橇后，雪橇的速度为V i ,狗的速度为V i +u ；狗第i 次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V 1′，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：MV 1+m （V 1+u ）=0

V 1=－s m m M mu /1=+ 第一次跳上雪橇：MV 1+mv=（M+m ）V 1′

第二次跳下雪橇：（M+m ）V 1′=MV 2+m （V 2+u ）

V 2=

=3m/s 第二次跳上雪橇：

=3.5m/s

第三次跳下雪橇：

第三次跳上雪橇：（M+m）V3=

V3′==185/4m/s=4.625m/s

第四次跳下雪橇：（M+m）V3′=MV4+m（V4+u）

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.

解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V1′满足

可解得

将代入，得V1′=2m/s

（2）解法（一）

设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为V n－1，则狗第（n －1）次跳上雪橇后的速度V n-1′满足

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V n满足

解得

狗追不上雪橇的条件是V n≥v

可化为

最后可求得

代入数据，得

狗最多能跳上雪橇3次

雪橇最终的速度大小为V4=5.625m/s

（08四川）一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离

地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。

在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质

点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡

板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

25．（20分）

解法三：一次次计算，得到结果

设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和

支持力，小物块向下运动的加速度为a ，依牛顿第二定律得

ma mg mg =-θμθcos sin ① 得：2/24s m a =

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a ’， 依牛顿第二定律有

a m mg mg '=-θμθcos sin ② 得：2/26s m a ='

m s 21=

小物块第一次下滑到最低点时

12

12as v = 得 s m v /41=

③ 小物块第一次沿斜面向上运动的最距离为

m a v s 234

22

12='=

小物块第二次下滑到最低点时

22

22as v = 得s m v /634

2=

④ 小物块第二次沿斜面向上运动的最距离为

m a v s 298

22

2

3='=

小物块第三次下滑到最低点时

3232as v = 得s m v /38

3=

⑤ 小物块第三次沿斜面向上运动的最距离为

m a v s 22716

22

34='=

小物块第四次下滑到最低点时

4242as v = 得s m v /69

84= ⑥ 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

)(v m mv I --= ⑦

总冲量为 4321I I I I I +++= ⑧

代入数据：I s N ⋅+++

⨯⨯=)698386344(09.02 得 )63(4.0+

=I N ·s ⑨

解法一：动能定理求速度，然后数学归纳

设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v 。

由功能关系得

θθμsin cos 212h mg mv mgh += v=4m/s ① 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

)(v m mv I --= ②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h ’，则

θ

θμsin cos 212h mg h mg mv '+'= ③ 同理，有

θ

θμsin cos 212h mg v m h mg '+'=' ④ )(v m v m I '--'=' ⑤

式中，v ’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I ’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得

kI I =' ⑥