函数求导法则

4 2
解： 利用（uv）' u 'v uv '
f (x) (x2 )sin x x2 (sin x) 2x sin x x2 cos x
f ( ) 2 sin ( )2 cos 2 2 2 2 (8 )
wenku.baidu.com
4 4 44
4 4 32 32
2020/11/1f8 ( ) 2 sin ( )2 cos
2 2 22
2
(3)
u v
uv u v v2
证:
设
f
(x)
u(x) v(x)
,
则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim
h0
h
h 0
u(x h) u(x) v(x h) v(x)
h
lim
h0
u(x
h) h
u(x) v(x)
v(x
v(x u(x)
h)v(x)
h) h
初等函数求导问题
2020/11/18
一、四则运算求导法则
定理1. 函数u u(x)及v v(x)都在点x可导 u(x) 及 v(x) 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x) v(x)] u(x) v(x)
(2) [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
(x)
0,
y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y x0 x
lim y0
§3-2&3函数的求导法则
2020/11/18
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
解决求导问题的思路:
( 构造性定义 )
本节内容
( C ) 0
(sin x ) cos x ( ln x ) 1
x
证明中利用了 两个重要极限
求导法则
其他基本初等 函数求导公式
(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
hlim0u(
x
h) h
u(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
y 2 cos 2x 2 ln 2 • 4x 2ln 2 1• 2ex 2e2x
2 cos2 x sin2 x
2020/11/18
C 0
x • x1
ax ax • ln a ex ex
1
x y
2020/11/18
[f
1
1( y)]
例4. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 cos y 0 , 则
则
y ( π , π ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin 2 y
类似可求得
利用
arccos
x
π
arcsin
x
2
2020/11/18
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
x) x
cos x sin 2 x
5x 2
csc
x
cot
x
ln
3
ln
5•
3x 5x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
2020/11/18
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
sin cos
x x
cos 2 x cos 2
(sin
sin 2 x
x) x
cos x sin cos 2 x
sec 2 x
x
(cos x)
(
3 5
)
x
ln 3 • 5
3 5
x
ln 3• 3x
• 5x
(csc x)
ln 5 • 5x • 3x
1 sin
x
(sin sin 2
故结论成立.
推论: 1) (C u ) C u ( C为常数 )
2) (uvw) uvw uvw uvw
3)
2020/11/18
( loga
x )
ln ln
x a
1 x ln
a
例1 求 y 3 2 x 4ln 2x cos 的导数
x
解：利用（ u
y ( 3 2 x
( 3) (2
4 v）' u'v' x 4 ln 2x cos )
4
x ) 4(ln 2 ln x)
ln
3 x
?
ln 3 ln x
(cos )
1 x
x
4
3( 1 ) 2 1 4 1 0 3 1 4
x2
2x x
x2
xx
例2 设f(x)=x2sinx, 求 f ( ), f .
1
推论3)
(loga y)
1
1
y ln a
y ln a 2sin x cosx
特别当 a e 时, ( ex ) ex
22x 2• 2x •ex e2x
思考题: y sin 2x 2x ex 2,求y 22 x 2•2ex e2 x
y 2sin x cosx 4x 2•2ex e2 x 4x 2•2ex e2 x
h0
h
lim [u(x h) v(x h)] [u(x) v(x)]
h0
h
lim u(x h) u(x) lim v(x h) v(x)
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(u v w) u v w
2020/11/18
v(x)
u
(
x
h)vu(x()xu) v(ux((x)vxv)2)((vxxu())x(x)
v(
h)
x)
故结论成立.
推论h:
2020/11/18
v(
x
Ch)v( x)
v
C v2
v
( C为常数 )
例3. 求证
证: (tan x)
(
3 5
x x
)
?
3x •5x 5x •3x 5x 2
(3)
u(x) v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v2 ( x)
(v(x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和
例题 .
2020/11/18
(1) (u v) u v
证: 设 f (x) u(x) v(x) , 则
f (x) lim f (x h) f (x)