三角形内心充要条件的证明

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三角形内心充要条件的表述如下：

在如下三角形ABC中，则O为ABC

∆内心的充要条件是：

⋅+⋅+⋅=

a OA

b OB

c OC

图示1(r为内接圆半径)

下面证明：

➢充分性：

充分性表述成，若O为ABC

∆所在平面内的点，当满足条件：⋅+⋅+⋅=时，O即为ABC

a OA

b OB

c OC

∆的内心。

证明：

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0 ()()0 ()0 ()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ⋅+⋅+⋅=⇒

⋅+⋅++⋅+=⇒

++⋅+⋅+⋅=⇒

++⋅=-⋅+⋅ 11

()

()

(|b c

OA BA CA

a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA

OA a b c c b bc BA OA a b c BA ⇒=

⋅+⋅++++⇒

=

⋅⋅+⋅⋅++++⇒

=

⋅+++⇒

=

⋅++这一步最为关键)

|||

CA

CA +

||BA BA 即为BA 方向的单位向量，||

CA

CA 即为CA 方向单位向量，所以||||BA CA

BA CA +

即为以BA 和CA 构成角的角平分线。

(原因如下图所示：

1||BA e BA =

，2||CA

e CA =，12e e e =+，向量12e e +即为以1e 和2e 为边构成的平行四边形的对角线，由于1e 和2e 为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12e e +即e 为以1e 和2e 构成角的角平分线)

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图示2

由上面的分析，我们可以得到：

()

(*)

||||

bc

OA e a b c

BA CA e BA CA λλ==++=+

为常数,且

即OA 在A ∠所在角平分线上，同理可证，OB 、OC 在在B ∠和C ∠所在角平分线上，即O 为ABC ∆内角平分线的交点，即为内心的定义，充分性的证明完毕。

➢ 必要性： 分析：由上面充分性的证明中的(*)表达式可知，只要由内心的定义

证明常数bc

a b c

λ=++即可。

证明：

图示3

在图示3中，e 的长度为：

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1|| 2||cos

2cos

22

A A

e e ∠∠=⋅=⋅ 在图示1中，OA 的长度为：

|| sin

2

r

OA A =

∠

将||OA 用||e 来表示，有：

sin

||2 sin ||2cos 2

|| ||(1)

sin r A OA r A A e r

OA e A

∠=

=∠∠⇒=⋅∠

由O 为ABC ∆的内心，则OA 在A ∠所在角平分线上，因此有：

(

)()||||BA CA BA CA

OA e c b BA CA λλλ=⋅+=⋅+=⋅

对上式两边取模长，并由(1)可得：

|||()|||

||||

||sin ||

BA CA

OA e BA CA OA r

A e λλλ=⋅+=⋅⇒

=

=

∠ 由ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++可得：

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1

sin ()

2

111

222

1

()2

sin ABC AOC BOC AOB S bc A S S S b r a r c r

a b c r

r bc

A a b c

∆∆∆∆=⋅∠=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅++⋅⇒=

∠++正弦定理

即：

(

)()||||BA CA bc BA CA

OA a b c c b BA CA λ=⋅+=⋅+++

按照前面充分性的证明过程逆推：

()()

()() bc BA CA bc BO OA CO OA

OA a b c c b a b c c b b c BO OA CO OA a b c a b c b c b c

OA BO CO OA

a b c a b c a b c ++=

⋅+=⋅+++++=⋅++⋅+++++⇒

+=

⋅+⋅+⋅++++++ b c b c

OA OA BO CO

a b c a b c a b c a b c

OA BO CO

a b c a b c a b c a OA b BO c CO ⇒

+-

⋅=⋅+⋅++++++⇒

⋅=⋅+⋅++++++⇒⋅=⋅+⋅ 0

a OA

b OB

c OC ⇒⋅+⋅+⋅=

必要性证明完毕。