数理方程第三章

1
1
1
(1)k
z
1
k
2 z 1 4 k0
2
1 2
1 z 1
(1)k
k 0
(z 1)k 2k 2
0 z 1 2
例：在
z0 0 上把
f (z) 1
展开为洛朗级数
(z 1)(z 2)
解：
(z
1 1)( z
2)
z
1
2
1 z 1
有两个奇点 z=1, z=2
在z0=0 的邻域可在以下三个区域进行洛朗级数展开
( z 1)
z 1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
例：求幂级数
(z / 2)2k
解： z / 2 2 1 z 2
k 0
的收敛半径
R2
§3.3 泰勒级数展开
定理：设f(z)在以z0为圆心的
圆CR内解析，则对圆内的任意
f (z) ak (z z0)k
z点，f(z)可展开为
k 0
其中：
ak
wk uk i vk Fn
k 1
k 1
k 1
n
若
lim
n
wk
k 1
F
有限
称级数 wk k 1
收敛于F=u+vi
n
这时
lim
n
uk
k 1
u
n
lim
n
vk
k 1
v
也收敛
科西收敛判据： (级数收敛必要条件)
2、复变函数项级数
对于任意 >0,有N，使得n>N时 wk (z) w1(z) w2(z)
k
z0 )k
1
2
i
1
C'R2 ( z0 )k1
f ( )d
由复通区域cauch定理
CR1
(
f
(
z0
) )k
1
d
C
(
f
(
z0
) )k
1
d
f () d f () d
CR2 ( z0 )k1
C ( z0 )k1
R1 z
CR2 z0 R2
CR1
C
f
(z)
(z
k
z0 )k
1
称F(z)为 f(z)的解析沿拓
bB
2、解析沿拓唯一性概念
设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一 子区域b 中f(z) F(z)，则在整个区域B上必有 f(z) F(z)。
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a2(z z0)2 a1(z z0)1 a0 a1(z z0) a2(z z0)2
2
i
C
(
f
(
z0
) )k
1
d
上述洛朗级数展开唯一
或写为
f (z) ak (z z0)k
k
其中：
ak
1
2
i
C
(
f
(
z0
) )k 1
d
例：在z0=0邻域上把 f (z) sin z / z 展开
解： sin z (1)k z2k1
k0 (2k 1)!
f (z) sin z / z
1 z
如
z 1
zk lim 1 zn1 1
k0 n 1 z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
解：
k 0
(1)k z2k tz2
(1)k tk
t 1
k 0
ak (1)k ,
公比为 z2
k 0
R lim
ak
1
如
z
k
1
ak 1
(1)k z2k
k 0
1 1 z2
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析沿拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
1、 复数项级数
wk uk ivk k 0,1,2,
复数项级数和
wk uk ivk
k 1
k 1
k 1
前n 项和
n
n
n
Fn p Fn wn1 wn2 wn p
n p
wk k n1
k 1
各项都是z 的函数 对于B（或l 上）任意 z,给定 >0,有N，使 得n>N() 时
p 为任意正整数
n p
绝对收敛：
wk (z)
k n1
Leabharlann Baidu
wk
uk2 vk2
k 1
k 1
收敛
称为级数在B上一致收敛
此时，若每项连续， 则和连续
令 k = -(l+1)
l = -(k +1)
f (z) (z z0)k
k 0
1
2 i
CR1
(
f
(
z0
) ) k 1
d
1
(z
k
z0 )k
1
2
i
1
C'R2 ( z0 )k1
f ( )d
f (z) (z z0)k
k 0
1
2 i
CR1
(
f
(
z0
) ) k 1
d
1
(z
3、收敛圆与收敛半径
以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称 为收敛圆。R为收敛半径。注意幂级数在收敛圆内部
不仅绝对而且一致收敛
例：求幂级数 zk k 0 解： ak 1
的收敛半径
R lim ak a k
k 1
1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
事实上：
n zk 1 zn1
k 0
解：
z
1 2
1
1 (z 1)(z 1)
1 1 2 z 1
1 z 1
1
只有一个奇点 -1
z 1
在z0=1的邻域 z 1 2 可展开为泰勒级数
1 1 1
1
z 1 z 1 2 2 1 (z 1) / 2
1
(1)k
z
1
k
2 k0
2
z 1 2
z
1 2
1
1 1 2 z 1
1 z 1
z0 z0
k
R1 z
CR2 z0 R2
CR1
C
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2 i C'R1 z
2 i C'R2 z
1
z
1 z z0
k
0
z
z0 z0
k
1
f ( ) d
2 i C'R2 z
1
2 i
C 'R 2
k 0
( z0 )k
(z z0 )k1
(z z0)k
k 0
1
2 i
CR1
(
f
(
z0
) ) k 1
d
l 0
(z
z0 )(l1)
1
2
i
C'R2 ( z0 )l f ( )d
f (z) (z z0)k
k 0
1
2 i
CR1
(
f
(
z0
) ) k 1
d
l 0
(z
z0 )(l1)
1
2
i
C'R2 ( z0 )l f ( )d
解析函数，见p36页说明)
定理：设f(z)在圆环 R2<z-z0 < R1内单值解析，则对
圆环内的任意z点，f(z)可展开为
f (z) ak (z z0)k
R1 z
其中：
k
ak
1
2
i
C
(
f
(
z0
) )k 1
d
C为圆环内按逆时针方向饶 内圆一周的任意闭合曲线
CR2R2 z0
CR1
C
证：由复通区域cauch公式
1
(
(iz)k
(iz)k )
2i
2i k0 k! k0 k!
1 ( (iz)k (iz)k )
2i k0 k! k0 k!
z
(1)k z2k1
k0 (2k 1)!
cos z 1 (eiz eiz ) (1)k z2k
2
k0 (2k)!
z
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
z z0 1
z0
1 z0
k
0
z
z0 z0
k
z z0
k 0
(z z0)k
( z0 )k1
z z0 CR1
CR
f (z) 1
f ( ) d
2 i CR1 z
1
2 i
C R1
k 0
(z z0 )k
( z0 )k 1
f
f
(3) (z)
2! z3
(k) (z) (1)k
(k 1)! zk
f (3) (1) 2!
f (k) (1) (1)k (k 1)!
ln z n2 i 1 (z 1) 1!(z 1)2 (1)k (k 1)!(z 1)k
1!
2!
k!
ln z n2 i 1 (z 1) 1!(z 1)2 (1)k (k 1)!(z 1)k
1 2
1 (1 z / 2)
1 2
(z
k 0
/ 2)k
k 0
zk 2k 1
zk 1
f
(z)
k 0
2k 1
k 0
z k1
（3） 2 z
f (z) 1 1 z 2 z 1
1 1 1
z 1 z 11/ z
1 (1/ z)k z k0
(1)k z2k
k0 (2k 1)!
z 0 z 0 z
例：在 1 z 上把 f (z) 1/(z2 1)展开为洛朗级数
解：
1 1 1
z2 1 z2 11/ z2
1 z
1 z2
k0
1 z2
k
1
k0 z 2k2
1 z
1 z2
1 z4
1 z6
例：在 z0 1 上把 f (z) 1/(z2 1) 展开为洛朗级数
a k k 1
lim k
ak 1 ak
(z z0)
(z z0) R
1 绝对收敛
1 发散
绝对收敛
(z z0) R
2、根值判别法
lim k
k
ak
(z z0)k
1
发散 绝对收敛
lim k
k
ak
(z z0)k
1
发散
R lim 1 a k k
k
(z z0) R 绝对收敛
(z z0) R 发散
f
( )d
(z z0 )k
k 0
1
2 i
1
CR1 ( z0 )k 1
f ( )d
而由cauch
公式
f (k ) (z) k!
2 i
l
(
f ( )
z)k 1
d
f (z) ak (z z0 )k k 0
ak
f (k) (z0 ) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
f
(
)d
R1 z
CR2 z0 R2
CR1
C
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2 i C'R1 z
2 i C'R2 z
(z
k 0
z0 )k
1
2
i
f () d CR' 1 ( z0 )k1
1
( z0 )l f ( )d
2 i C'R2 l0 (z z0 )l1
（1） z 1
f (z) 1 1 1 z 2(1 z / 2)
k 0
zk
1 2
k 0
(z
/
2)k
k 0
(1
1 2k 1
)zk
（2） 1 z 2
f (z) 1 1
z 2 z 1
1 1 1
z 1 z 11/ z
1 (1/ z)k z k0
1
z k1
k 0
z
1 2
ak (z z0)k k
a1 a2 2 a3 3
正幂部分收敛半径为R1 负幂部分，记
=1/( z-z0 ),级数
的收敛圆半径为 1/R2
即在 z-z0 = R2圆外收敛圆
1
ak (z z0)k ak (z z0)k ak (z z0)k
k
k0
k
在圆环 R2<z-z0 < R1收敛圆(且内绝对一致，从而是
CR2 z0 R2
CR1
C
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2 i C'R1 z
2 i C'R2 z
1
1
z z0 (z z0)
1
1
z z0 1 ( z0 ) /(z z0 )
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
1 z z0
k
0
z
1
1
z
展开
解：
1
1
z
1
z
z
2
zk
z 1
k 0
例：在z0=0邻域上把
f (z) 1 展开 1 z2
1
1 z2
z2k
z 1
k 0
例：在z0=1邻域上把 f (z) ln z 展开
解： f (z) ln z
f (1) ln 1 n2 i
f '(z) 1
z
f
'
'
(
z)
1! z2
f '(1) 1 f ''(1) 1
§3.2 幂级数
讨论幂
级数
ak (z z0)k a0 a1(z z0) a2(z z0)2
k 0
为以z0 为中心的幂级数
考虑
a0 a1 (z z0) a2 (z z0)2
1、比值判别法
令：
lim ak1 (z z0 )k1 k ak (z z0 )k R lim ak
1
2 i
C R1
(
f ( )
z0 )k 1
d
f (k ) (z0 ) k!
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z z0
z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f ( z) 1
f ( ) d
2 i CR1 z
1
1
1
1
z z0 (z z0 ) z0 1 (z z0 ) /( z0 )
1!
2!
k!
n2 i (z 1) 1(z 1)2 (1)k (z 1)k
2
k
( z 1 1)
§3.4 解析沿拓
1、解析沿拓概念
比较两个
函数：
zk 1 z z2
z 1
k 0
1
和
1 z
除 z=1 以外 两者在较小区域等同
设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在
含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)
解：
ak
f (k) (z0 ) 1 d kez
k!
k! dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1 z z2 zk
2!
k!
zk
k0 k!
R lim ak lim k
a k k 1
k
z
例：在z0=0邻域上把 f (z) sin z 和 f (z) cos z 展开
解： sin z 1 (eiz eiz )
f (z) 1
f ( ) d 1
f ( ) d
2 i C'R1 z
2 i C'R2 z
1
f ( ) d
2 i C'R1 z
(z z0)k
k 0
1
2 i
f () d CR1 ( z0 )k1
对于C‘R2
z z0 (z z0) 而 z0 z z0
R1 z