二阶常系数线性微分方程
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3. f ( x) A1 cos x A2 sin x
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
a2 4b , 2
特征根的三种不同情况讨论：
(1) 特征方程有两个不同的实根 1 与 2 ,
a2 4b 0,
有
1 a
a2 4b , 2
2 a
a2 4b . 2
方程有两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
y C e P( x)d x e P( x)d x Q( x) e P( x)d xd x
齐次方程通解
非齐次方程特解
对二阶常系数微分方程y ay by f ( x)，它的通解：
y(x)
Y
y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
§9.3 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线系数齐次线性方程
形如
d2 y dx 2
P( x) dy Q( x) y dx
f (x)
称为二阶线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶齐次线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶非齐次线性微分方程．
a
二、二阶常系数非齐次线性方程
形如
y ay by f ( x)
(9 30)
的方程, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 a , b 为已知常数, f ( x) 0 . 通常称方程(9-25)
y ay by 0为方程 (9 30) 对应的齐次方程 .
常见的几种 f ( x) 形式： 1. f ( x) Pn( x) 2. f ( x) Pn( x)ex
例如，
定理9.1 设 y1( x), y2( x) 是方程 (9 25) 的两个线性 无关的解, 则 y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) (9 26) 是方程 (9 25) 的通解, 其中C1 , C2 为任意常数. 例如,
且 y2 sin x tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
1 i , 2 i ( 0),
a2 4b 0, 通过直接验证可知，
y1 ex cos x , y2 ex sin x ,
是方程的两个线性无关的特解, 得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x).
(9 29)
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 , 2
y C1e1x C2e2 x
两个相等的实根 1 2
y (C1 C2 x)e1x
一对共轭复根 1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y y 2 y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 0 其特征根 1 1, 2 2 为两个相异实根, 所以
所给方程的通解为 y( x) C1ex C2e2x
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 y 2 y y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 1 0 其特征根 1 为二重实根,
所以所给方程的通解为 y( x) (C1 C2 x)ex
其中C1,C2 为任意常数.
例3 试确定常数 a , 使方程 y ay 0 的解都是以 2π 为周期的函数. 解 方程的特征方程为
2 a 0
于是容易得到: 当a 0 时, 方程的通解为 y( x) C1e ax C2e ax
当a 0时, 方程的通解为
y( x) C1x C2
以上通解均不是周期函数,
故 a 0, 并有 a i 时,
方程的通解为 y( x) C1 cos ax C2 sin ax,
要使方程的解均以2π 为周期, 只要 2π 2π, 即得 a 1.
因此该方程的通解为
(2) 特征方程有两个相同的实根 1 2 ,
a2 4b 0,
有
1
2
b, 2
得一个解为 y1 e1x , 验证得 y2 xe1x为另一特解,
由于 y2 x 常数, y1
则 y1 , y2 线性无关,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e1x
(9 28)
(3) 特征方程有一对共轭复根：
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
a2 4b , 2
特征根的三种不同情况讨论：
(1) 特征方程有两个不同的实根 1 与 2 ,
a2 4b 0,
有
1 a
a2 4b , 2
2 a
a2 4b . 2
方程有两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
y C e P( x)d x e P( x)d x Q( x) e P( x)d xd x
齐次方程通解
非齐次方程特解
对二阶常系数微分方程y ay by f ( x)，它的通解：
y(x)
Y
y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
§9.3 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线系数齐次线性方程
形如
d2 y dx 2
P( x) dy Q( x) y dx
f (x)
称为二阶线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶齐次线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶非齐次线性微分方程．
a
二、二阶常系数非齐次线性方程
形如
y ay by f ( x)
(9 30)
的方程, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 a , b 为已知常数, f ( x) 0 . 通常称方程(9-25)
y ay by 0为方程 (9 30) 对应的齐次方程 .
常见的几种 f ( x) 形式： 1. f ( x) Pn( x) 2. f ( x) Pn( x)ex
例如，
定理9.1 设 y1( x), y2( x) 是方程 (9 25) 的两个线性 无关的解, 则 y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) (9 26) 是方程 (9 25) 的通解, 其中C1 , C2 为任意常数. 例如,
且 y2 sin x tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
1 i , 2 i ( 0),
a2 4b 0, 通过直接验证可知，
y1 ex cos x , y2 ex sin x ,
是方程的两个线性无关的特解, 得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x).
(9 29)
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 , 2
y C1e1x C2e2 x
两个相等的实根 1 2
y (C1 C2 x)e1x
一对共轭复根 1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y y 2 y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 0 其特征根 1 1, 2 2 为两个相异实根, 所以
所给方程的通解为 y( x) C1ex C2e2x
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 y 2 y y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 1 0 其特征根 1 为二重实根,
所以所给方程的通解为 y( x) (C1 C2 x)ex
其中C1,C2 为任意常数.
例3 试确定常数 a , 使方程 y ay 0 的解都是以 2π 为周期的函数. 解 方程的特征方程为
2 a 0
于是容易得到: 当a 0 时, 方程的通解为 y( x) C1e ax C2e ax
当a 0时, 方程的通解为
y( x) C1x C2
以上通解均不是周期函数,
故 a 0, 并有 a i 时,
方程的通解为 y( x) C1 cos ax C2 sin ax,
要使方程的解均以2π 为周期, 只要 2π 2π, 即得 a 1.
因此该方程的通解为
(2) 特征方程有两个相同的实根 1 2 ,
a2 4b 0,
有
1
2
b, 2
得一个解为 y1 e1x , 验证得 y2 xe1x为另一特解,
由于 y2 x 常数, y1
则 y1 , y2 线性无关,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e1x
(9 28)
(3) 特征方程有一对共轭复根：