隐函数和参数方程求导法演示课件.ppt

对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对 数，再求导。
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例4. 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数 ln y x ln a a[ln b ln x ] b[ln x ln a ]
b 两边对 x 求导 y ln a a b y bxx
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又如, y
( x 1)( x 2) ( x 3)( x 4)
dy dy dt dy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
dt
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例1.
x arcsin t ，求 y ln(1 t 2 )
dy dx
；
解： dy y(t) dx x(t)
2t
1 t2 1
1 t2
2t 1
1 t2 t2
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例2.
设由方程
x t2
t2 y
2t
sin
y
1
(0 1) 确定
函数 y y( x)，求 dy ; dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx d t 2t 2
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
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如
dy dx
x y
a(t sin t),
a(1 cos t).
sin t
2
1 cos t
求 y.
sin t cos t
22 2sin2 t
cot t 2
2
d 2 y d dy dx
dx2
( ) dt dx dt
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例5 不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角
§3 隐函数和参数方程求导法
❖ 隐函数求导 ❖ 参数方程求导 ❖ 导数的简单应用
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一. 隐函数求导
定义: 由方程 F ( x, y) 0 所确定的函数 y y( x)称 为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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例 1. Kepler equation : y x sin y 0；
2. 求 x2 y2 R2(R 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M0( x0 , y0 ) 的切线方程；
3. 求 y (sin x)cos x (sin x 0) 的导数.
注意： 1. 两端求导时，始终 y y( x);
2. 求导式充分简化表达式。
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说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u
1 y vlnu uv
y
u
y uv ( v ln u uv ) u
y uv ln u v vuv1 u
两边取对数
( ln u ) u u
ln y 1ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 111
x 1 x 2 x 3 x 4
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隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
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例5. x y y x ,求由方程确定的隐函数 y 的导数； 解: 两边取对数， y ln x x ln y
若参数方程
x y
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
由复合函数及反函数的求导法则得。
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x
y
(t), (t).
代表平面上一条曲线，设
x
(t) 的反函数为
t 1( x), 并且设它满足反函数求导法则(严格单调，连续)
于是 y 看做复合函数 y (t),t 1( x),则有
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例4.
x y
(t),求 (t)
d2y dx2
;
解： dy (t) dx (t)
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
((tt
) )
d dt
((tt ))
dt dx
1 (t
)
(
t
)
(t) (t 2(t)
)
(t
)
(
t
)
(t) (t 3 (t )
)
(
t
)
注意 : 已知
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻 t0 的运动方向;
(2)炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
解: (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
再求导 yln x y ln y x y
x
y
y y( x ln y y) . x( y ln x x)
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arctan y
例6. 求由方程 e
x
1所确定的隐函数
x2 y2
y y(x)的二阶导数。
解:
将方程化为：
x2
y2
arctan y
ex
两端对 x 求导 2x 2 yy x yy 2 x2 y2 x2 y2
arctan y
ex
1
1 ( y)2
xy x2
y
x
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x2
y2
xy x2
y
x yy xy y
(1)
y x y x y
再对(1)式两端关于 x 求导： 1 y2 yy xy
将
y
x x
y y
代入上式有：
y
2( (
x x
2 y2 y)3
)
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二. 参数函数求导法则
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
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例3.
x y
f (t) f (e3t
，其中
1)
f
可导，且
f (0)
0，求
dy ； dx t0
解：
dy dx
f (e3t 1) e3t 3 f (t)
dy 3 f (0) dx t0 f (0)
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