第一章_管理运筹学——线性规划

例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用 长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
7.4 m
2.1m
1.5 m
2.9m
方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 余料 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
二、线性规划的图解法
1. 步骤
（1）作约束的图形——可行域
可行解的集合
①先作非负约束 ②再作资源约束
公共部分，即为可行域
x2
100 s.t.
80
60
4x1+5x2=200
40
3x1+10x2=300
9x1+4x2=360
例：煤电油例
Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
20
x1
0
20 40 60 80 100
x2
100
80
（2）作目标函数的等值线 ①给z不同的值，作相应直线，判断出z 增大时，直线的移动方向
如：令7 x1 +12x2=84
7 x1 +12x2=168
②将直线向增大方向移动，直至可行域 边界，交点X*即为最优解。
60
4x1+5x2=200
40
3x1+10x2=300
授课内容：
• 线性规划 • 图论与网络分析 • 网络计划 • 风险型决策 •排队论 • 博弈论
绪论
一、运筹学的产生与发展
• 产生于二战时期，运筹学（Operational Research) 直
译为“运作研究”。
• 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
结果分析
实施
第一章 线性规划 （Linear Programming，简称LP）
§1 线性规划的模型与图解法
一、LP问题及其数学模型
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、 油三种资源，有关单耗数据如表，试拟定使总收入 最大的生产计划。
资源 产品
甲
煤
9
电
4
油
3
单价
7
乙
资源限制
4
360
5
200
饲料 养分 A B C D 价格
M 0.5 0.2 0.3 0 300
N 0.1 0.3 0.4 0.2 200
每头 日需
10
5
8
7
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
资源限制 360 200 300
返回
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
…… s.t.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
二、学科性质
运用数学方法，为决策者进行最优决策提供科学依据 的一门应用科学。
三、运筹学的分支
•线性规划 •非线性规划 •图论与网络分析 •存储论 •决策论 •排队论 •对策论（博弈论）
… …
四、管理运筹学的工作程序
注意计算
机软件的 应用 —— Lindo、
WinQSB 等
明确问题 问题分类 建立数学模型 求解数学模型
管理运筹学
Operational Research
天津大学管理学院 郭均鹏
教师简介：
郭均鹏：博士，副教授， 硕士生导师。
主要研究领域： 运筹决策技术； 信息管理与企业信息化； 绩效考核与薪酬体系设计
联系方式：天津大学管理学院，300072 guojp@tju.edu.cn
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
10
300
12
产品 资源Βιβλιοθήκη Baidu
甲
乙
煤
9
4
电
4
5
油
3
10
单价
7
12
线性规划模型三要素：
（1）决策变量
设Su甲b产je品ct生T产o，x1，乙产品生产x2 （2意）为目标足“函”使数其满
Max Z=7 x1 +12x2 （3）约束条件
9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200
s.t.
3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
矩阵表示
Max Z = CX s.t. AX ≤ b
X ≥0
其中:
X= (x1,x2, …, xn) T 为决策变量 C=(c1,c2, …, cn) 称为价格系数
A=(aij)m×n
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) T 称为资源系数
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其 获取所需的A、B、C、D四种养分。有关数据 如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲 料中选择，试决定总花费最小的购买方案。 （列出模型）
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0
x1 , x2 0
(2) (3)
-2
2
1 O
-1 0 1
2
(3)
3 4 x1
最优解： x1 = 0， x2 = 1 最优目标值 z = 3
2. LP 解的几种情况
（1）唯一解
（2）多重最优解
（3）无可行解
（4）无有限最优解
注：出现（3）、（4）情况时，建模有问题
图解法的结论：
● 线性规划的可行域是凸集
极 点
凸集
不是凸集
● 线性规划的最优解若存在，必在可行域的在极点获得 ● 若在两个极点同时获得，则有无穷多最优解
三、 线性规划应用举例与软件求解
例1 （下料问题） 某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使 所用原料最省？
7x1+12x2=16820
7x1+12x2=84
0
9x1+4x2=360
20 40 60
X*=（20，24）， Z*=428
x1
80 100
课堂练习
图解法求解线性规划
(1) x2 (2)
min z 2x1 3 x2
4
x1 x2 4 (1)
3
st
2 x1 x2 x1 2 x2
2 2