最新 有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q 从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．

（1）与、两点相等的点所对应的数是________．

（2）两动点、Q相遇时所用时间为________秒；此时两动点所对应的数是________．（3）动点P所对应的数是时，此时动点Q所对应的数是________．

（4）当动点P运动秒钟时，动点P与动点Q之的距离是________单位长度．

（5）经过________秒钟，两动点P、Q在数轴上相距个单位长度．

【答案】（1）30

（2）20；40

（3）52

（4）25

（5）12或28

【解析】【解答】（1）AB的中点C所对应的数为：；（2）设两动点相遇时间为t秒，(2+3)t=80-(-20) 解得：t=20(秒)

80-2t=80-2×20=40,或-20+3×20=40

∴此时两动点所对应的点为40；（3）22-(-20)=42, 80-42÷3×2=52

∴动点所对应的数是时，此时Q所对应的数为52；（4）∵20秒相遇，∴(2+3) ×25-[80-(-20)]=25（5）P、Q两点相距40个单位长度，分两种情况

AB=80-(-20)=100

①相遇前，(100-40) ÷(3+2)=60÷5=12(秒)

②相遇后，(100+40)÷(2+3)=140÷5 =28(秒)

∴经过12或28秒钟，两动点、在数轴上相距个单位长度．

【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用

公式计算;（2）设两动点相遇时间为t秒，P、Q两点运动的路程之和为总路程，列方程求解即可；用80-2t即可求得此时两动点对应的数；（3）先求出动点P对应的点是22时运动的时间，再根据Q和P运动时间相等计算Q点运动路程，进而求得点Q对应的数；（4）根据题意P、Q两点25秒运动的路程和减去总路程就是PQ两点间的距离；（5）根据题意，分两种情况进行解答，即: ①相遇前相距40个单位长度，②相遇后相距40个单位长度，分别列方程求解即可.

2．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动.

（1）求的值.

（2）当时，求点的运动时间的值.

（3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若

，求的长.

【答案】（1）解：因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式

所以

所以m=-40，n=30.

（2）解：因为A、B所对应的数分别为-40和30，

所以AB=70,AO=40,BO=30，

当点P在O的左侧时：

则PA+PO=AO=40，

因为PB-（PA+PO）=10, PB=AB-AP=70-4t

所以70-4t-40=10

所以t=5.

当点P在O的右侧时:

因为PB

所以PB-（PA+PO）<0,不合题意，舍去

（3）解：①如图1,当点P在点Q左侧时，

因为AP=4t,BQ=2t,AB=70

所以PQ=AB-（AP+BQ）=70-6t

又因为PQ= AB=35

所以70-6t=35

所以t= ,AP= = ,

②如图2，当点P在点Q右侧时，

因为AP=4t，BQ=2t，AB=70，

所以PQ=（AP+BQ）-AB=6t-70，

又因为PQ= AB=35

所以6t-70=35

所以t=

所以AP= =70.

【解析】【分析】（1）根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；（2）分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时.

3．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.

（1）直接写出A、B两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.

（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.

【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16

（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：

①当点P在线段AB上时，

∵AP＝ PB，

∴x+12＝（4﹣x），

解得x＝﹣8；

②当点P在线段BA的延长线上时，

∵AP＝ PB，

∴﹣12﹣x＝（4﹣x），

解得x＝﹣20.

综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20

（3）解：分两种情况：

①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，

此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，

∵OP＝4OQ，

∴12﹣5t＝4（4﹣2t），

解得t＝，符合题意；

②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，

此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，

∵OP＝4OQ，

∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），

∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，

解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.

综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒

【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据

AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.

4．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式6x3y－2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b

（1）直接写出：a＝________，b＝________

（2）数轴上点P对应的数为x，若PA＋PB＝20，求x的值

（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度

【答案】（1）﹣2；5

（2）解：①当点P在点A左边，由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴

②当点P在点A右边，在点B左边，由PA+PB=20得: x ﹣（﹣2 ）+(5﹣x)=20,

∴，不成立

③当点P在点B右边，由PA+PB=20得:x ﹣（﹣2 ）+(x﹣5), ∴ .

∴或11.5

（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，

由运动知，AM＝t，BN＝2t，

① 当点N到达点A之前时，

Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，

t＋1＋2t＝5＋2，

所以，t＝2秒，

Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，

t＋2t﹣1＝5＋2，

所以，t＝秒，

② 当点N到达点A之后时，

Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，

t﹣[2t﹣（5＋2）]＝1，

所以，t＝6秒；

Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，

[2t﹣（5＋2）]﹣t＝1，

所以，t＝8秒；

即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.

【解析】【解答】（1）∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，

∴a=-2，b=5，

故答案为：-2，5；

【分析】（1）根据多项式的相关概念即可得出a,b的值；

（2）分①当点P在点A左边，②当点P在点A右边，③当点P在点B右边，三种情况，根据 PA+PB=20 列出方程，求解并检验即可；

（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，故AM＝t，BN＝2t，分① 当点N 到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M 时，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，几种情况，分别列出方程，求解即可.

5．把具有某种规律的一列数：1,－2,3,－4,5,－6，...，排列成下面的阵形：

........

探索下列事件：

（1）第10行的第1个数是什么数？

（2）数字2019前面是负号还是正号?在第几行?第几列?

【答案】（1）解：∵第1行第1个数1=（-1）2×（02+1）；

第2行第1个数-2=（-1）3×（12+1）；

第3行第1个数5=（-1）4×（22+1）；

第4行第1个数-10=（-1）5×（32+1）；

…

∴第10行第1个数为（-1）11×（92+1）=-82，

（2）解：由以上数列可知，绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负，

∴2019前面是正号；

∵第45行第1个数为（-1）46×（442+1）=1937，

第46行第1个数为（-1）47×（452+1）=-2026，

且2019-1937+1=83，

∴2019在第45行，第83列

【解析】【分析】（1）由每行的第一个数可知，第n行第一个数为（-1）n+1×[（n-1）2+1]，据此可得；（2）根据题意知绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负；求出第45行第1个数为1937，第46行第1个数为-2026知2021在第45行，再由每行中每个数的绝对值依次加1可得列数．

6．阅读材料：

我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为

表示数轴上与对应点之间的距离．

例1：已知，求的值．

解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为-2和2，即的值为-2和2．

例2：已知，求的值．

解：在数轴上与的距离为2的点的对应数为3和-1，即的值为3和-1．

仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．

（1）

（2）

（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写

出最小值；如果没有，请说明理由．

【答案】（1）解：，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即的值为-3和3

（2）解：，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即的值为-6和2；

（3）解：有最小值，最小值为3，

理由是：

∵理解为：在数轴上表示到3和6的距离之和，

∴当在3与6之间的线段上（即）时：

即的值有最小值，最小值为．

【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出的值即可；（3）根据题意得出原式最小时的范围，并求出最小值即可．

7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．

⑴发现问题：代数式的最小值是多少？

⑵探究问题：如图，点分别表示的是，．

∵的几何意义是线段与的长度之和

∴当点在线段上时， ;当点点在点的左侧或点的右侧时

∴的最小值是3．

⑶解决问题：

①. 的最小值是 ________ ；

②.利用上述思想方法解不等式：

________

③.当为何值时，代数式的最小值是2________．

【答案】6；设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则，的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P

不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或．故答案为：或．；设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB 的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴∴或，即

或；故答案为：或 .

【解析】【解答】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x ，

∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，

表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，

∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，且线段AB的长度为6，

∴的最小值为6.

故答案为：6.

【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．

8．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 .

（1）点对应的数为________，点对应的数为________；

（2）若，试求为多少时，两点的距离为；

（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11

（2）解：∵，且 ,

∴，

①

即

解得：

②

即

解得： ,

（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：

设，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

②当点H在点B的右侧时，如图：

∵，

而

∴

∴，

故答案为：或

【解析】【解答】（1）∵，

∴，，

∴，，

故答案为：；；

【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；

9．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．

（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；

（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,

①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；

②求BE与CF的数量关系；

（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．

【答案】（1）16；6；2

（2）解：∵点F是AE的中点，∴AF=EF，

设AF=EF=x,∴CF=8﹣x，

∴BE=16﹣2x=2（8﹣x），

∴BE=2CF.

故答案为① 16-2x，② BE=2CF.

（3）解：①当0＜t≤6时，P对应数：-6+3t，Q对应数-4+2t，

，

解得：t=1或3；

②当6＜t≤8时，P对应数， Q对应数-4+2t，

，

解得：或；

故答案为t=1或3或或

【解析】【解答】（1）数轴上A、B两点对应的数分别是-4、12，

∴AB=16，

∵CE=8，CF=1，∴EF=7，

∵点F是AE的中点，∴AF=EF=7，

,∴AC=AF﹣CF=6，BE=AB﹣AE=16﹣7×2=2，

故答案为16，6，2；

【分析】(1)由数轴上A、B两点对应的数分別是-4、12，可得AB的长;由CE＝8，CF＝1，可得EF的长，由点F是AE的中点，可得AF的长，用AB的长减去2倍的EF的长即为BE 的长；(2)设AF＝FE＝x，则CF＝8-x，用含x的式子表示出BE，即可得出答案(3)分①当0＜t≤6时；②当6＜t≤8时，两种情况讨论计算即可得解

10．阅读理解：

若A，B，C为数轴上的三点，且点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点。

例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点。

知识运用：

（1）如图2，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．

①在点M和点N中间，数________所表示的点是【M，N】的好点；

②在数轴上，数________和数________所表示的点都是【N，M】的好点。

（2）如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，到达点A时停止，则经过几秒后，P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）2；0；-8

（2）解：由题意设PB=4t，AB=40+20=60，则PA=60-4t，

点P走完所用的时间为60÷4=15(秒)

分四种情况：

①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5，P是【A，B】的好点；

②当PB=2PA时，即4t=2(60-4t)，t=10，P是【B，A】的好点；

③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5，B是【A，P】的好点；

④当AB=2AP时，即60=2(60-4t)，t=7.5，A是【B，P】的好点，

即当经过5秒或7.5秒或10秒时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点。

【解析】【解答】解：（1）①设设所求的数为x，由题意得：

x-（-2）=2（4-x）

解之：x=2；

②在数轴上，数0和数-8所表示的点都是【N，M】的好点。

故答案为：2，0，-8

【分析】（1）①设所求的数为x，再根据好点定义，列出关于x的方程，解方程求出x 的值；②根据好点的定义可以得到结论。

（2）由已知条件用含t的代数式表示出PB，AB，PA的长，再求出点P走完所用的时间，然后分情况讨论：①当PA=2PB时；②当PB=2PA时；③当AB=2PB时；④当AB=2AP 时，由此分别建立关于t的方程，解方程求出t的值即可。

11．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推

（1）阴影部分的面积是多少？

（2）受此启发，你能求出1+ 的值吗？

【答案】（1）解：部分①的面积为：，

部分②的面积为：，

…

以此类推，部分的面积，

∴阴影部分面积为或；

（2）解：由图可得，原式=1+1? ＝2? ＝1 ．

【解析】【分析】（1）由图可得，部分①的面积为：，部分②的面积为：

，…，部分的面积; ，据此规律解答即可．（2）由图可得，1+ + + +…+ 的值，即为两个正方形的面积减去一个部分⑦的面积．

12．已知式子M＝(a＋5)x3＋7x2－2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.

（1）a＝________，b＝________．A，B两点之间的距离＝________；

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2019次时，求点P所对应的有理数；

（3）在(2)的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．

【答案】（1）-5；7；12

（2）依题意得：?5?1＋2?3＋4?5＋6?7＋…＋2014?2015+2016-2017+2018-2019，

＝?5＋1009?2019，

＝?1015．

答：点P所对应的有理数的值为?1013；

（3）解：设点P对应的有理数的值为p，

①当点P在点A的左侧时：PA＝?5?p，PB＝7?p，

依题意得：

7?p＝3（?5?p），

解得：p＝?11；

②当点P在点A和点B之间时：PA＝p?（?5）＝p＋5，PB＝7?p，

依题意得：7?p＝3（p＋5），

解得：p＝?2；

③当点P在点B的右侧时：PA＝p?（?5）＝p＋5，PB＝p?7，

依题意得：p?7＝3（p＋5），

解得：x＝?11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去．

综上所述，点P所对应的有理数分别是?11和?2．

【解析】【解析】解：（1）∵式子M＝（a＋5）x3＋7x2?2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，

∴a＋5＝0，b＝7，

则a＝?5，

∴A、B两点之间的距离＝|?5-7|＝12．

故答案是：?5；7；12．

【分析】（1）根据多项式的项及次数的定义得到a＋5＝0，由此求得a、b的值，然后根据数轴上任意两点间的距离，等于这两点所表示的数的差的绝对值即可求线段AB的值；（2）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可；（3）设点P对应的有理数的值为p，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点A、B之间、点P在点B的右侧三种情况，根据根据数轴上任意两点间的距离，等于这两点所表示的数的差的绝对值表示出PA,PB的长度，进而根据点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍分别列出方程，求解即可．