第二章 间接效用函数与支出函数

代入支出px得最小支出函数。记为： 代入支出px得最小支出函数。记为： px得最小支出函数
h e( p, u ) = p1 x1h ( p, u ) + p2 x2 ( p, u ) = e*
x2
2 x ∈ R+ : px = px∗} {
最小化支出问题
{x ∈ R
h x2 ( p, u)
2 +
, u ( x∗ ) ≥ u}
* * 把x1 和x2 代入u ( x1 , x2 ), 可得到:
y 0.5 y 0.5 v( p1 , p2 , y) = ( ) ( ) =2 2 p1 2 p2
若政府征收0.5元的所得税， 若政府征收0.5元的所得税，消费者收入降为 0.5元的所得税 1.5元 间接效用也从2降为1.5 1.5。 1.5元，间接效用也从2降为1.5。 现考虑政府对X 征收商品税0.25 0.25元 此时,p 现考虑政府对X1征收商品税0.25元，此时,p1 会从0.25涨到0.5 0.25涨到0.5元 会从0.25涨到0.5元。 问题1：商品税使政府能征到0.5元的税收吗? 问题 ：商品税使政府能征到0.5元的税收吗? 0.5元的税收吗 问题2 问题2：商品税对消费者的间接效用的影响有 多大？ 多大？
x∈R+
其中， 因此， 其中， x = x* ( p, y ) 因此，
∂v( p, y) / ∂y = ∂ max u ( x) / ∂y n
L( x, λ ) = u ( x) + λ ( y − p ⋅ x)
x∈R+
∂L( x* , λ * ) ∂u ( x* ) ⇒ = − λ * pi = 0, (i = 1, 2,L n) ∂xi ∂xi
第二章 间接效用函数与支出函数
§1.间接效用函数 间接效用函数
一、相对价格变化与收入变化对最优 消费量的影响
x2
y p2 p1 p2 y p1
p1' − p2 y p1'
−
x1
x2
y' p2 y p2
收入变化的影响
y p1
y' p1
x1
x2
• x2 • •
x0
x1
x1
价格和收入变化对最优消费量的影响
ρ −1
,
1
p1 ρ ρ x1 = x2 , u=(x 1 + x2 ) ρ p2 把 x1代入 u , 得 :
ρ ρ ρ ρ p1 ρ −1 p1 ρ −1 ρ ρ u = x2 + x2 = x2 + 1 p2 p2 p 2 , u ) h 1 0 x 2 ( p1 , p 2 , u )
•
A
•
•
B
p10 − 0 p2
1 p1 − 0 p2
价格变动的 替代效应
o
• •
•
x1
希克斯需求曲线
0 x1h ( p1 , p2 , u )
p1
p10
1 1
•
•
A’
• • C’
p
o
h 1
• • • •
1 1
1 ρ −1
令r =
ρ ρ −1
,可 得 到 :
− 1
ρ ρ −1 h p1 + 1 x2 = u p2
h e( p, u ) = p1 x1h ( p, u ) + p2 x2 ( p, u ) = e*
e ( p , u ) = m in ( p ⋅ x ) n
x∈ R
+
s .t. ∂ L = ∂ xi
u ( x ) ≥ u
L = p ⋅ x -λ p
i
[u
( x ) - u ∂ u ( x ∂ xi
⇒ L = x1 x2 + λ ( y − p1 x1 − p2 x2 )
∂L =0 ∂x1
∂L =0 ∂x2
∂L =0 ∂λ
因此，可得到 因此，可得到:
* x2 p1 p1 * = 即x2 = x1 * x1 p2 p2
y y * x = , x2 = 2 p1 2 p2
* 1
若p1=0.25， p2=1，y=2 。
x∈ R +
L (x , λ )= p ⋅ x + λ [u - u ( x ) ]
在 m in p ⋅ x 处 ,有
L (x * , λ * )= p ⋅ x * + λ u - u ( x * ) 运用包络定理，可得到： 运用包络定理，可得到：
∂e( p,u) ∂L(x*, λ*) ∗ h = = xi = xi ( p,u) * ∂pi ∂pi
代入L(·)。因此： 因此： 将x*与λ*代入 与 代入 因此
∂v( p, y) ∂L( x* , λ * ) = = λ* ∂y ∂y
∂u ( x* ) 由于， 由于， > 0(u (⋅)严格递增), pi >> 0 ∂xi 因此， 因此， λ * > 0 ⇒ ∂v( p, y) > 0 ∂y
满足罗尔恒等式。 （4）满足罗尔恒等式。 如果间接效用函数 v( p, y ) 在点上( p∗ , y ∗ ) 是可导的且： 是可导的且： 一定存在 ∂ v ( p , y ) ≠ 0
s.t. p ⋅ x ≤ y
间接效用函数的存在对于说明政府水平的福 利影响有比较便利的条件， 利影响有比较便利的条件，如控制价格和收入 政策。 政策。
2.间接效用函数的性质 2.间接效用函数的性质
n （1）在价格和收入上 (R++ × R+预算集的定义域) 是连续的。 是连续的。
当价格和收入有微小变化时，最大化的效用 当价格和收入有微小变化时， 也会有微小的变化。因为如果u（ ）是连续的， 也会有微小的变化。因为如果 （x）是连续的， 则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。 则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。
二、间接效用函数
1.基本概念 基本概念 间接效用函数表示收入和价格两个变量下 消费者的最优消费时的效用， 消费者的最优消费时的效用，或最大化效用与 价格集和收入集之间的函数关系。 价格集和收入集之间的函数关系。
v( p, y) = max u( x) = x∗ ( p, y) n
x∈R+
x •
∗
u O
x ( p, u)
h 1
e2 p1
e* p1
e1 p1
x1
二、希克斯需求函数
希克斯的需求函一般记为： 希克斯的需求函一般记为： ( p , u ) h 即为达到既定的效用水平u， 即为达到既定的效用水平 ，选择的最小支出 时消费者对x的需求。 时消费者对 的需求。 的需求
希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。 希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。 一是某商品价格下降，效用增加， 一是某商品价格下降，效用增加，可假定把 消费者收入减少（负的补偿），使其效用水 消费者收入减少（负的补偿），使其效用水 ）， 平与以前一样。 平与以前一样。 二是某商品价格上升，效用减少， 二是某商品价格上升，效用减少，此时增加 消费者的收入，使其效用水平也不变。 消费者的收入，使其效用水平也不变。 这两种情况下， 这两种情况下，消费者的选择会发生何种变 化？
−1 ∂L ρ ρ ρ x1ρ −1 = 0 = p 1 − λ ( x1 + x 2 ) ∂ x1 −1 ∂L ρ ρ ρ ρ = p 2 − λ ( x1 + x 2 ) x 2 −1 = 0 ∂x2 1
∂L ρ = u − ( x1ρ + x 2 ) ρ = 0 ∂λ
1
p1 x1 ⇒ = p 2 x2
例：
m in ( p1 x1 + p 2 x 2 )
x1 , x 2
1
ρ 由 u ( x1 , x2 ) = ( x1ρ + x2 ) ρ , 0 ≠ ρ < 1),求支出函数.
ρ s .t . u − ( x1ρ + x 2 )1/ ρ
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
1
1
ρ L = ( x1 , x2 , λ ) = p1 x1 + p2 x2 + λ[u − ( x1ρ + x2 ) ρ ]
x ( p , p ,u) x ( p , p , u)
0 1
0 2
h 1
1 1
0 2
x1
三、谢泼特引理
如果u(·)是连续且严格递增的，则当 如果 是连续且严格递增的，则当p>>0时， 是连续且严格递增的 时 对于p可微 可微， 支出函数 e( p, u) 在点 e( p0 , u 0 ) 对于 可微，且
∗
]
) = 0
− λ
∂ L = − u ( x ∗ ) - u = 0 ∂ λ p i ∂ u ( x ∗ ) ∂ xi = ∂ u ( x ∗ ) ∂ x j p j
求出的最小解称为希克斯需求函数。记为： 求出的最小解称为希克斯需求函数。记为：
xi = xih ( p , u ), i = 1, 2, ...n
y , y = 2(收入不变) （1）x = 2 p1
* 1
* x1 = 2 。说明政府开征 0.25涨到0.5元后 涨到0.5元后， p1从0.25涨到0.5元后， 商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1 X1， 商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1， 政府的税收也是0.5 0.5元 政府的税收也是0.5元。
两式相除，就可以得到罗尔恒等式。 两式相除，就可以得到罗尔恒等式。
3.间接效用函数的应用: 3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响 间接效用函数的应用 设效用函数为: 设效用函数为 u ( x1 , x2 ) = x1 x2 最大化问题为: max x1 x2 最大化问题为
s.t. p1 x1 + p2 x2 ≤ y
∂e( p0,u0 ) ∗ h 0 0 xi = xi ( p ,u ) = , (i =1,2,L, n) ∂pi
含义：已知支出函数，可通过该函数对价格求 含义：已知支出函数， 偏导，推导出希克斯需求函数。 偏导，推导出希克斯需求函数。
证明： 证明：
由 于 e ( p , u ) = m in ( p ⋅ x ), u ( x ) ≥ u n
(2) p1 = 0.5, 代入 v( p1 , p2 , y ), 新的间接效用函数为:
y 2 % (2) v ( p1 , p2 , y ) = = = 1.41 < 1.5 0.5 0.5 0.5 % % 2( p1 ) ( p2 ) 2(0.5) ⋅1
可见，开征商品税对消费者的间接效用的负 可见， 面作用大于开征所得税。 面作用大于开征所得税。 原因： 原因：一是价格提高减少了消费者的实际购 买力；二是改变了商品的相对价格。 买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得 税只产生第一方面的影响。 税只产生第一方面的影响。
证明： 证明：v(tp, ty) = max u( x), s.t. tp⋅ x ≤ y n
⇔ max u ( x), s.t. p⋅ x ≤ y n
x∈R+ x∈R+
在收入上y是严格递增的，而在价格p （3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上 则是严格递减的。 则是严格递减的。 v(tp, ty) = max u ( x), s.t. tp⋅ x ≤ y n
§2.支出函数 支出函数
一、支出函数的定义
支出函数：这是个支出最小化问题， 支出函数：这是个支出最小化问题，选择合适 使得满足约束条件。 的x使得满足约束条件。 如果在价格为p时为满足特定效用水平 所必需 如果在价格为 时为满足特定效用水平u所必需 时为满足特定效用水平 的最低花费为e(p,u),则： 的最低花费为 ,
∂y
∂v ( p , y ) x j ( p, y ) = − ∂p j
∂v ( p , y ) , j = 1, 2, L , n ∂y
这个证明要用到包络定理。 这个证明要用到包络定理。
由 m ax u = f ( p , y ) s .t px ≤ y 得 ， L ( x , λ ) = u ( x ) + λ( y - p x ) ∂v( p, y) ∂L ( x∗, λ ∗ ) = = λ ∗ |x = x ( p , y ) ∂y ∂y ∂v( p, y) ∂L ( x∗, λ ∗ ) = |x = x ( p , y ) = − λ ∗ ⋅ x ∂p ∂p
（2）它对于价格和收入是零次齐次的，即价 它对于价格和收入是零次齐次的， 格和收入的同比例变化并不影响效用水平。 格和收入的同比例变化并不影响效用水平。 需要证明，对于所有的t>0，都有： 需要证明，对于所有的 ，都有：
v ( p , y ) = v (tp , ty ), 即 v (tp , ty ) = tv ( p , y )