分式的混合运算
分式的混合运算 (优质课)获奖课件
x＋2 x－1 x－4 (2)( 2 － 2 )÷ x x －2x x －4x＋4 x＋2 x－1 x ＝[ － ]· x（x－2） （x－2）2 x－4 （x＋2）（x－2）－（x－1）x x ＝ · 2 x（x－2） x－4 x2－4－x2＋x ＝ （x－2）2（x－4） 1 ＝ 2. （x－2）
点拨： 式与数有相同的混合运算顺序： 先乘方， 再乘除，然后加减． 例 6(教材例 8) 计算： 2m－4 5 (1)(m＋2＋ )· ； 2－m 3－m x＋2 x－1 x－4 (2)( 2 － )÷ x . x －2x x2－4x＋4
2m－4 5 解：(1)(m＋2＋ )· 2－m 3－m （m＋2）（2－m）＋5 2m－4 ＝ · 2－m 3－m 9－m2 2（m－2） ＝ · 2－m 3－m （3－m）（3＋m） －2（2－m） ＝ · 2－m 3－m ＝－2(m＋3)；
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图 ， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角 ， 它们的和是多少？
三、巩固练习 x2 1．(1) －x－1； x－1 2 2 x－1 (2)(1－ )÷ ； x＋1 x＋1 2ab 2bc (3) ＋ ； （a－b）（a－c） （a－b）（c－a） 1 1 xy (4)( ＋ )÷ 2 2. x－y x＋y x －y 2．教材第 142 页第 1，2 题．
四、课堂小结 1 ． 分式的混合运算法则是先算 ( ( 的． 2．一些题应用运算律、公式能简便运算． 五、布置作业 1．教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．
分式混合运算(习题及答案)
分式混合运算(习题及答案)混合运算（题）例1：混合运算：解：原式可以化简为：frac{4-x}{x-2} \div \frac{12}{x+2-x^2}$$frac{4-x}{x-2} \times \frac{x+2-x^2}{12}$$frac{-(x-4)}{(x-2)(x+4)}$$例2：先化简，然后在$-2\leq x\leq 2$的范围内选取一个合适的整数$x$代入求值．解：先化简原式：frac{x(x+1)}{(x-1)(1-x)} \div \frac{2x}{x+1}$$frac{x(x+1)}{(x-1)(x-1)} \times \frac{x+1}{2x}$$frac{1}{2}$$由于$-2\leq x\leq 2$，且$x$为整数，因此使原式有意义的$x$的值为$-2$，$-1$或$2$。
代入计算可得：当$x=2$时，原式为$-2$。
巩固练1.计算：1)$$\frac{x-y}{x+2y} \div \frac{1}{2x+4y}$$化简原式：frac{x-y}{x+2y} \times \frac{2x+4y}{1}$$frac{2(x-y)}{x+2y}$$2)$$\frac{\frac{a}{a-1}-1}{a^2-2a+1} \div \frac{1}{a+1}$$ 化简原式：frac{\frac{a}{a-1}-1}{(a-1)^2} \times (a+1)$$frac{a-2}{(a-1)^2}$$3)$$\frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \div \frac{a+b}{a+b}$$化简原式：frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \times \frac{a+b}{a+b}$$frac{2a-2ab}{(a-b)(a+b)} \times \frac{a+b}{1}$$frac{2(1-b)}{a-b}$$4)$$\frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y^2+y} \div\frac{1}{y(y+1)}$$化简原式：frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y(y+1)} \times \frac{y(y+1)}{1}$$ frac{(y-1)^2-8}{y(y+1)^2}$$5)$$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}\div \frac{1}{a-b}-1$$化简原式：frac{(a-b)^2}{b} \times \frac{a-b}{1}-1$$frac{(a-b)^3}{b}-1$$6)$$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \div \frac{x+2}{x-1}$$化简原式：frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \times \frac{x-1}{x+2}$$frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$$7)$$\frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2(x+1)}$$化简原式：frac{2(x+1)-1}{(x-1)^2(x+1)}$$frac{2x+1}{(x-1)^2(x+1)}$$8)$$\frac{3-x}{2(x-2)} \div \frac{5}{x-2}-\frac{5}{x-3}$$ 化简原式：frac{3-x}{2(x-2)} \times \frac{x-2}{5} - \frac{5}{x-3}$$ frac{(x-3)(x-1)}{2(x-2)5} - \frac{5}{x-3}$$frac{x^2-4x+7}{10(x-2)(x-3)}$$9)$$\frac{x-1}{x+1} \div \frac{x-3}{x-2} - \frac{5}{x^2-3x}$$化简原式：frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-3)} - \frac{5}{x(x-3)}$$frac{x^2-3x-2}{x(x-3)(x+1)(x-3)} - \frac{5(x+1)}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-3x-2-5x-5}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-8x-7}{x(x-3)(x+1)^2}$$10)$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x(x-1)}$$化简原式：frac{x-(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$$frac{1}{x(x+1)}$$11)$$\frac{2}{x+y} - \frac{1}{y-x} \times \frac{y^2-x^2}{11}$$化简原式：frac{2(y-x)}{(y-x)(x+y)} - \frac{y+x}{11(x+y)}$$frac{y-x-2}{11(x+y)}$$2.化简求值：1)先化简，再求值：$\frac{x^2+2x+1}{x+2x+2} \div \frac{1}{x+2}$，其中$x=3-1$。
分式的混合运算
授课学校： 授课教师：
分式的混合运算
分式混合运算的顺序与有理数混合运算 的顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加 减，如果有括号，就先算括号里的。
当除法写成乘法的形式时，灵活的应用乘 法交换律和结合律可起到简化运算的作用；
分式的乘除混合运算
例
计算：
2x 5x-3
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn m3n3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
(3) x 3 x(x 2)
分式的加减运算
1.通分，化成同分母； 2.最后结果化成最简分式或整式.
分式的混合计算
1.计算
(1)1 1 x x 1 x2 1
(1) x 1
(2)( x 2 x 1 ) x 4 x2 2x x2 4x 4 x
(2)
1 (x 2)2
(3) 1 1 m n m n
谢谢聆听，再见！
3 25x2 -9
x. 5x+3
解：
2x 5x-3
3 25x2 -9
x 5x+3
=
2x 5x-3
25x2 -9 3
x 5x+3
= 2x2 . 3
分式的乘除混合运算
1. 除 法 统 一 为 乘 法 （ 分 子 分 母 有 多 项式，要分解因式）； 2.约分，化成最简分式或整式.
八年级数学 15.2.2分式的混合运算
b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一 新课讲解
2
问题：如何计算
2m
n
1 m-n
-
m n
n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺 序，并独立完成.
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
一 能力提升
例4.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对 照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一 课堂练习
1.
计算
1
3x 2y
3x 2y
2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y
y) x
x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1
分式的混合运算
课题：分式的混合运算赵彬彬 学习目标：1、经历探索分式的加、减、乘、除混合运算的过程，掌握混合运算的方法。
2、明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算3、通过课堂知识学习，懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。
能利用事物之间的类比性解决问题。
提高学生的分析能力和运算能力。
重点：分式的四则混合运算。
难点：灵活运用运算法则进行分式混合运算。
教学过程： 一、知识复习：（出示ppt 课件）1、分式的基本性质：b b ha a h⋅=⋅2、分式的乘除（约分）：a c ac b d bd ⨯= a c a d a db d bc b c÷=⨯=3、分式的乘方：()nn n b b a a=4、同分母的分式加减法则：a c a cb b b±±=。
要求学生用语言叙述各个性质。
5、异分母分式加减法则：要先通分，即把各个分式的分子与分母都乘以适当的同一个非零多项式，化成同分母的分式，然后再加减．练一练：2223xy x y = 323()4a b -= 。
22122a a a a-⋅=+- 。
22211444m m m m m --÷=-+- 。
555x x x +=-- 。
32b a a b+= 。
二、新知学习（出示ppt 课件） 1、有理数的混合运算顺序。
有理数的混合运算顺序，对分式的混合运算同样适用。
即：先乘方，再乘除，最后加减。
有括号的先算括号内，再算括号外。
2、例题分析。
（1）224811()211a a a a a a a a -+-÷----+ （2）2224()()442x x x x x x x x--⋅--++（3）222214()2442a a a a a a a a a +---÷--+- （4）35(2)242x x x x +÷---- （5）221()4a a bb a b b ⋅-÷- 师生共同讨论：每个试题有几种运算？先算哪一步？每步的运算要注意什么？ 共同得出答案。
分式的混合运算
分式的混合运算一、知识回忆1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式除法法则：分式除以分式，把除式．．的分子、分母颠倒位置后，与被除式 .. 即：a cb d ⋅=； a cb d ÷= = . 2.分式的乘方：()n a b=nn a b .3.分式的加、减法法则：同分母的分式相加， ；异分母的分式相加， .即： = a b a b c c c ±±； = =a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±±.二、知识的运用（练习例题） 例1、计算（1）231649a b b a ⋅ （2）2222524ab a bc cd -÷（3）2222255343m n p q mnp pq mn q ⋅÷ （4）)2(216322b aa bc ab -⋅÷（5）22232()()2a b ab c cd d a ÷⋅- （6）3423232263()()ab a c c d b b--÷⋅(1)221642816282a a a a a a a ---÷⋅++++ （2）226(3)(2)(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-（3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-例3、计算 （1）231 33x x x --- （2）22142x x x +--（3）2232 2(2)m n m mn m n m n ----- （4）223693x xx x x x---++（5）233x x x --- （6）22222222a b b ab a b a b a b ++-+--.（1）22211()x y x y x y x y +÷-+- （2）2()224a a aa a a-÷-+-（3）74(3)3xx x x -+-÷- （4）265(2)22x x x x -÷----（5）2222124()244a a a a a a a a a a +----⋅÷--+ （6）2222421()(1)4441x x x x x x x +--+⋅---+-三、问题探究例5、先化简，再求值：（1）222111a a aa a ++---，其中1a =+. （2）53(2)224x x x x ---÷++，其中2x =．例6、根据下列条件求值（1）2221412211a aa a a a--⋅÷+-+-，其中a满足20a a-=.（2）已知:2:3x y=，求2222()()x y x y xx yxy x y--÷[+]÷的值.（3）已知2317x xx++=，求4221x xx++的值.例7、先化简22122()121x x x xx x x x----÷+++，再给x取一个值，求这个代数式的值.例8、若等式4815(1)(5)A B xx x x x-+=+-+-成立，求实数A、B的值.四、（附加题）1.如图，△ABC 中，∠BAC =120°，D 是BC 边的中点，且AD ⊥AC.求证：AC =12AB.2.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°， BD 平分∠ABC 交AC 于D. 求证：AB + CD =BC.CC。
分式的混合运算
分式的混合运算
对于分式混合运算,一般应按运算顺序,有括号先做括号内的运算,若利用乘法对加法的分配律,则可简化运算。
分式混合运算法则
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。
分式运算法则
1、约分
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
2、公因式的提取方法
系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
3、最简分式
一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
乘法同分母分式的加减法法则进行计算。
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
4、除法
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
5、乘方
分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分。
分式混合运算30道题
分式混合运算30道题一、基础型1. 计算：(1)/(x)+(2)/(x)这就好比你有1个小饼干，再加上2个同样的小饼干，不过这里的小饼干是(1)/(x)这种形状的哦。
那总共就是(1 + 2)/(x)=(3)/(x)。
2. 计算：(3)/(x - 1)-(1)/(x - 1)这里就像是你有3个某种特别的糖果（(3)/(x - 1)），然后拿走1个同样的糖果（(1)/(x - 1)），那还剩下(3-1)/(x - 1)=(2)/(x - 1)。
3. 计算：(2)/(x)×(x)/(4)你看啊，上面的x和下面的x就像两个好朋友见面可以抵消，然后就剩下(2)/(4)=(1)/(2)。
4. 计算：(4)/(x)÷(2)/(x)这就好比4个小怪兽（(4)/(x)）要分成每组2个小怪兽（(2)/(x)），那能分成几组呢？答案就是4÷2 = 2，所以结果是2。
5. 计算：(1)/(x+1)+(1)/(x - 1)这里就像是把两种不同盒子（x + 1和x - 1）里的东西加起来。
先通分，变成(x - 1)/((x + 1)(x - 1))+(x + 1)/((x + 1)(x - 1))=(x - 1+x + 1)/((x + 1)(x - 1))=(2x)/((x + 1)(x - 1))。
6. 计算：(3)/(x^2)-(1)/(x)先把(1)/(x)变成(x)/(x^2)，这样就可以相减啦。
就像把不同大小的积木变得一样大再比较。
结果就是(3 - x)/(x^2)。
7. 计算：(2)/(x^2+2x)+(1)/(x)先把x^2+2x分解成x(x + 2)，然后把(1)/(x)变成(x+2)/(x(x + 2))，再和(2)/(x(x + 2))相加，得到(2+x + 2)/(x(x + 2))=(x+4)/(x(x + 2))。
8. 计算：(4)/(x - 2)-(8)/(x^2 - 4)把x^2 - 4分解成(x + 2)(x - 2)，把(4)/(x - 2)变成(4(x + 2))/((x + 2)(x - 2))，然后相减就是(4(x + 2)-8)/((x + 2)(x - 2))=(4x+8 - 8)/((x + 2)(x - 2))=(4x)/((x + 2)(x - 2))。
分式的混合运算练习题及答案
分式的混合运算练习题及答案分式的混合运算练习题及答案分式是数学中常见的一种数形式，它由分子和分母组成，分子表示被分割的部分，分母表示总共的部分。
在实际生活中，我们经常会遇到需要进行分式的混合运算的情况，比如在购物时计算折扣、在烹饪中调整食材的比例等等。
下面我将给大家提供一些分式的混合运算练习题及答案，希望对大家的数学学习有所帮助。
1. 小明有1/4千克的苹果，他打算分给5个朋友，每人分多少千克？解答：将1/4千克除以5，即1/4 ÷ 5 = 1/4 × 1/5 = 1/20千克。
所以每人分到的苹果重量为1/20千克。
2. 一桶果汁有3/5升，小红喝了1/4升后，还剩下多少升？解答：将3/5升减去1/4升，即3/5 - 1/4 = 12/20 - 5/20 = 7/20升。
所以还剩下7/20升果汁。
3. 小明用1/2小时走完了全程，他一共用了多少分钟？解答：将1/2小时转换成分钟，即1/2 × 60 = 30分钟。
所以小明一共用了30分钟。
4. 一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，行驶了1/4小时后停下来休息，此时汽车行驶了多少公里？解答：将每小时80公里的速度乘以1/4小时，即80 × 1/4 = 20公里。
所以汽车行驶了20公里。
5. 一张长方形的纸片的长是2/3米，宽是1/4米，求纸片的面积。
解答：将长和宽相乘，即2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6平方米。
所以纸片的面积为1/6平方米。
通过以上的练习题，我们可以看到分式的混合运算并不复杂，只需要将题目中的分式进行相应的运算即可得到答案。
在进行分式的混合运算时，我们需要注意分式的基本运算规则，比如分数的加减乘除运算规则，以及分数的化简等等。
熟练掌握这些规则，我们就能够轻松地解决分式的混合运算问题。
当然，在实际生活中，我们还会遇到更加复杂的分式混合运算问题，比如多个分式的加减乘除运算，或者分式与整数的混合运算等等。
分式混合运算
分式混合运算分式混合运算是一种算术技能，可以让学生解决复杂的算术问题。
它包括两种基本类型的算术运算：小数和分数。
本文将探讨什么是分式混合运算，它的基本原理，以及如何在学习和教学中使用分式混合运算。
什么是分式混合运算分式混合运算是指使用小数和分式（或者其他类型的分数）进行算术运算，包括加减乘除和乘幂。
在教学或学习过程中，学生需要学习如何运用这种技能，以解决复杂的算术问题。
运用这种技能，学生可以学习如何解决复杂的算术题目，这可能会有助于提高他们的思维能力，也可能会帮助他们更好地理解数学概念。
基本原理在分式混合运算的过程中，学生需要学习和理解多种算术概念，这些概念可能需要一些时间才能加以掌握，如基数，指数和小数点等。
此外，学生还需要学习一些数学术语，如除法，约分，线性等，以及一些基本的分式，如混合分式，分子分母，以及分数的加减乘除运算。
如何使用分式混合运算要使用分式混合运算，学生需要学习如何计算小数和分数之间的关系，如何计算不同分数的乘法，以及如何计算混合数字的除法。
此外，学生还需要学习如何使用指数来计算某些数字的乘方，如平方和立方。
学生还可以学习如何使用线性方程来解决算术问题，这是一种非常有用的技能，可用于解决很多具体的数学问题。
在学习和教学中使用当学生学习分式混合运算时，他们应该结合实际例子，比如说电费计算，日常消费等等，来理解分式混合运算的概念。
教师可以在课堂上设计分析性的问题来帮助学生解决算术问题，也可以使用实际的例子来提高学生的理解力。
此外，教师还可以使用软件程序，如电子框架或图形化模式，来帮助学生理解分式混合运算的概念，使学生对这些难以理解的概念有更好的理解。
结论分式混合运算是一种有用的数学技能，可以帮助学生学习如何解决复杂的算术问题。
在学习和教学分式混合运算时，学生需要学习基本的算术概念和数学术语，以及如何使用指数和线性方程来解决算术问题。
教师可以利用实际的例子和软件程序来指导学生的学习，使学生更好地理解并掌握分式混合运算技能。
《分式的混合运算》教案
《分式的混合运算》教案c acd bd= 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被a d ad b c bc== 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．nn ab = 42x yx y x -÷①教师引导学生分析题目中包含的运算类型式与数有相同的混合运算顺序是：先乘方，再乘除，最后加减③详细书写计算过程，并说明每一步计算的依据42x yx y x -÷42x x x y y-211x x-21=1x x x - )()11x +- 1a a b b -÷-14a ab b b-- 22244()=()()a a a ab b a b b a b ----24=()ab ab b a b -224a aa -- 224a aa ⎤-⎥-⎥⎦)()24a a a--注意到除法变乘法后，最简公分母可以和分子进行约分，因此联想到利用乘法分配律简化计算.221224a a aa a +--⎫-⎪--⎭ 22212424a a a a aa a a ------- )()()22144a a a aa-----244a aa-+-22232y x x y +2124a a ⎛÷ -⎝综合训练一、选择题1.在-3x 2,4x -y ,x+y ,x 2+1π,78,5b 3a 中,是分式的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.若分式2aba+b 中的a ,b 的值同时扩大到原来的10倍,则分式的值( ) A.是原来的20倍 B.是原来的10倍C.是原来的110 D .不变 3.计算-22+(-2)2-(-12)-1=( ) A.2B.-2C.6D.104.能使分式x 2-x x 2-1的值为0的x 的值是( ) A.x=0B.x=1C.x=0或x=1D.x=0或x=±1 5.化简:xx -y −yx+y ,结果正确的是( ) A.1 B.x 2+y 2x 2-y 2 C.x -yx+yD.x 2+y 26.如果a-b=2√3,那么式子(a 2+b 22a-b)·aa -b 的值为( )A.√3B.2√3C.3√3D.4√37.若关于x 的分式方程2x -mx+1=3的解是正数,则m 的取值范围是( ) A.m>3 B.m<3 C.m>-3D.m<-38.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是()A.700x =500x+10B.700x=500x-10C.700x-10=500xD.700x=500x+10二、填空题9.人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m,将数0.000 007 7用科学记数法表示为.10.如果实数x满足x2+2x-3=0,那么(x2x+1+2)÷1x+1的值为.11.若关于x的方程x-1x-5=m10-2x无解,则m的值是.12.甲、乙工程队分别承接了160 m,200 m的管道铺设任务,已知乙工程队比甲工程队每天多铺设5 m,甲、乙工程队完成铺设任务的时间相同,问甲工程队每天铺设多少米?设甲工程队每天铺设x m,根据题意可列出方程.三、解答题13.化简:(1)x2-y2x+y-2(x+y);(2)(1x2-2x -1x2-4x+4)÷2x2-2x.14.先化简(xx-5-x5-x)÷2xx2-25,再从不等式组{-x-2≤3,2x<12的解集中,选取一个你认为符合题意的x的值代入求值.15.解分式方程:(1)2x-3=12x;(2)xx-2+6x+2=1.16.某五金商店准备从某机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元,且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同.(1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元?(2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个,购进两种零件的总数量不超过95个,该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元,每个乙种零件的销售价格为15元,则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后,可使销售两种零件的总利润(利润=售价-进价)超过371元,通过计算求出该五金商店本次从该机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案?请你设计出来.综合训练一、选择题1.B-3x2,x+y,x2+1π,78为整式,而4x-y,5b3a是分式.2.B原分式中的a,b的值同时扩大到原来的10倍,得2×10a×10b10a+10b =10×2aba+b.3.A4.A5.B原式=x2+xy-xy+y2x2-y2=x2+y2x2-y2.故选B.6.A原式=(a2+b22a -2ab2a)·aa-b=(a-b)22a·aa-b=a-b2.当a-b=2√3时,a-b2=2√32=√3.7.D已知分式方程去分母,得2x-m=3x+3,解得x=-m-3.因为已知方程的解为正数,所以-m-3>0,且-m-3≠-1,解得m<-3.8.B甲种水杯的单价为x元,则乙种水杯的单价为(x-10)元,由题意可得700x =500x-10,故选B.二、填空题9.7.7×10-6小数点向右移动6位得到7.7,故0.000 007 7=7.7×10-6.10.5(x2x+1+2)÷1x+1=(x2x+1+2)(x+1)=x2+2(x+1)=x2+2x+2.由x2+2x-3=0,得x2+2x=3.∴原式=3+2=5.11.-8去分母,得2(x-1)=-m.将x=5代入2(x-1)=-m,解得m=-8.12.160x =200x+5甲工程队每天铺设x m,则乙工程队每天铺设(x+5)m,由题意得160x=200x+5.三、解答题13.解(1)原式=(x+y)(x-y)x+y-2(x+y)=x-y-2x-2y=-x-3y.(2)原式=[1x(x-2)-1(x-2)2]·x(x-2)2=1x(x-2)·x(x-2)2−1(x-2)2·x(x-2)2=12−x2(x-2)=x-22(x-2)−x2(x-2)=12-x.14.解原式=2xx-5·(x+5)(x-5)2x=x+5.解不等式组,得-5≤x<6.选取的数字不为5,-5,0即可(答案不唯一).如选x=1,则原式=6.15.解(1)去分母,得4x=x-3,解得x=-1.经检验,x=-1是原分式方程的解.(2)去分母,得x(x+2)+6(x-2)=(x-2)(x+2),解得x=1.检验:当x=1时,(x-2)·(x+2)≠0,所以x=1是原方程的解.16.解(1)设每个乙种零件的进价为x元,则每个甲种零件的进价为(x-2)元.由题意,得80x-2=100x,解得x=10.检验:当x=10时,x(x-2)≠0,故x=10是原分式方程的解.10-2=8(元).故每个甲种零件的进价为8元,每个乙种零件的进价为10元.(2)设购进乙种零件y个,则购进甲种零件(3y-5)个,由题意,得{3y-5+y≤95,(12-8)(3y-5)+(15-10)y>371,解得23<y≤25.由y为整数,知y=24或25.故共有如下2种方案,方案一:购进甲种零件67个,乙种零件24个;方案二:购进甲种零件70个,乙种零件25个.。
分式四则混合运算
第6讲 分式的四则混合运算模块一：分式的加减分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种．分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为：a c a cb b b ±±=；ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 【注意】：(1)分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适当约分．(2)如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成分母为1的分式，先通分，再进行加减运算． 模块二：分式的混合运算含有分式的乘除、乘方、加减的多种运算叫做分式的混合运算．分式的混合运算顺序：先乘方，在乘除，然后加减．有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算．同级运算，从左往右依次计算．模块三：先化简再求值一般情况，我们只需要先化简到最简，然后再将数值带入即可。
但有时需要利用整体思想，把某个式子看作整体，再将这个式子整体代入到化简后的式子中求值。
模块一：分式的加减例1、(1)如果3y x =−+，且x y ≠，那么代数式22x y x y y x +−−的值为（ ） A ．3B ．3−C ．13D ．13− (2)若1a x −+1b x +＝231x x −−，那么a ＝_____，b ＝_____． 例2、已知23723(1)(1)11x x A B x x x x −+=++−+−+，其中A 、B 为常数，求42A B −的值．例3、我们知道，假分数可以化为带分数．例如：83=2+23=2．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：2111x x x x −+−，这样的分式就是假分式；23211x x x ++，这样的分式就是真分式 ．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：11x x −+=121x x +−+（）=1-2211x x x ++；=2111x x −++=1111x x x +−++=111x x −++． （1）将分式12x x −+化为带分式；（2）若分式211x x −+的值为整数，求x 的整数值．例4、计算： 2411111111x x x x +++−+++模块二：分式的混合运算例5、22521132x x x x x x x x −+++−÷−+−例6、先化简，再求值，221211111x x x x x x ⎛⎫−+−+÷ ⎪+−+⎝⎭，其中x =2．例7、已知2210250x xy y −+=，且0xy ≠，求代数式22232393x x x x y x y x y −÷+−−的值．例8、化简1111(1)(1)(2)(2)(3)(2019)(2020)x x x x x x x x +++++++++++模块三：先化简再求值 例9、(1)如果x ﹣3y ＝0，那么代数式222()x y x x y y ⎛⎫+−÷− ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．12 D ．3(2)已知20a b −=，求代数式222216313969b a b a b a b a ab b +⎛⎫−+÷ ⎪+−−+⎝⎭的值．例10、(1)已知a b −=，求代数式22()2a b a b a a b +−⋅−的值.(2)已知2340m m +−=，求代数式253(2)22m m m m m−+−÷−−的值.例11、若223a b −=，则22766a ab b ab b a−−+−的值为（ ） A. 13 B.14− C. 13− D.14课后作业1、如果2220x x +−=，那么代数式214422x x x x x x −+⋅−−+的值为（ ） A ．2− B ．1− C ．1 D ．22、先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫−÷⎪+−⎝⎭，其中2x =．3、已知2 3721553x A B x x x x +=++−+−，求,A B 的值4、阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：11x x −+，21x x −这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：86222223333+==+=，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：()1将分式11x x −+，422311x x x +−+化为带分式． ()2当x 取什么整数值时，分式212x x −+的值也为整数？5、已知115x y−=，则2322x xy y x xy y −+++的值。
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15.2 分式的运算
第5课时 分式的加减——分 式的混合运算
分式的混合运算 分式混合运算的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
甲、乙两人两次在同一家粮店购买粮食（两次单 价不相同）．甲每次购粮100千克，乙每次用100元购 粮．假定甲、乙两人第一次购买粮食的单价为每千克 x元，第二次购买粮食的单价为每千克y元．若规定， 谁两次购买粮食的单价低，谁购粮方式就合算，请你 判断甲、乙两人购粮方式哪一个合算些，并说明理 由．
(1)
x
;
x2 x1 x2
知1－讲
(2)a a2 2 3 3a aa a3(a2a3)2;(3)(x1 4x1 4)x22 16.
导引：对于(1)先计算除法，再计算减法；对于(2) 先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法； 对于(3)把除法转化为乘法后，可运用分配 律计算，也可以先将括号内的分式通分， 再把分式除法转化为乘法进行计算．
B.
2 2a b
1 ab
D. a a
ab ab
知1－练
1
3
计算
1
x2
1
(
x
1)
的结果是（
）
A. x 2
x1
B. x 2
x1
C. x 2
x1
D. 1
x1
4
(中考·泰安)
计算
2
21
x1(x2
) 1 x1
的结果
是（ ）
A. 2
B. 2
x1
C. 2
x1
D. －2
（来自《典中点》）
知识点 2 分式的混合运算的应用
D.－a－2(a≠±2)
知2－练
3 (2015·安徽)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下 列结论： ①若c≠0，则 1 1 1 ; ②若a＝3，则b＋c＝9；③ ab 若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相 等，则a＋b＋c＝8. 其中正确的是__________(把所有正确结论的序号都选 上)．
（来自《典中点》）
必做：
1.完成教材P142练习T2，完成教材P146 习题 15.2T6
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知识点 1 分式的混合运算
知1－讲
1.分式的混合运算：
分式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，再
加减；若有括号，先算括号里面的；同级运算按从 左到右的顺序进行计算．
（来自《点拨》）
知1－讲
要点精析：
(1)注意运算顺序和解题步骤，把好符号关．
(2)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律 来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式
的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算
律简化运算．
(3)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单．
(4)运算结果是最简分式或整式．
ห้องสมุดไป่ตู้
2．易错警示：在分式除法运算中套用乘法分配律而出现
错误．
（来自《点拨》）
知1－讲
【例1】 计算：(2a)2 1 ab. b ab b 4
解：(2a)2 1 ab b ab b 4
（来自《典中点》）
1.分式混合运算的步骤：先乘方，再乘除，最后加减， 有括号先算括号里面的．
2.分式混合运算常出现的错误：(1)运算顺序易错；(2)符 号变换易错；(3)错用分配律，只有乘法才有分配律； (4)忽视分数线的括号作用；(5)运算的结果不是最简分 式或整式．
（来自《典中点》）
3.有关分式化简求值的方法：一般是先运用分式运算 法则把分式化简为最简分式或整式，然后将已知的 数值代入求值．技巧：(1)如果所给的字母的取值比 较复杂或是以条件等式的形式给出时，一般考虑用 整体代入法；(2)当给的是几个量的比值时，采用设 参数法或倒数法．
4a2 1 a 4
b2
ab b b
4a2 4a 4a2 4a(ab) b2(ab)b2b2(ab)b2(ab)
4a2 4a2 4ab b2(a b)
4ab b2(a
b)
4a ab b2
.
（来自教材）
知1－讲
式与数有相同的混合运算顺序：先乘 方，再乘除，然后加减.
【例2】
计算：
x22x1 x21
x4x4x. 22
（来自《点拨》）
知1－讲
在进行分式的混合运算时，应先算乘 方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号里面的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 写出第15.2.2节中问题3和问题4的计算结果.
2 (2015·益阳) 下列等式成立的是（ ）
A. 1 2 3
a b ab
ab
a
C. ab b2 a b
（来自《点拨》）
解：(1)原 式 =(x1)2 x1 x x2 (x1)(x1) x2
x 1 x x1x 1 ; x 2 x 2 x2 x2
知1－讲
(2)原 式 =a a((a a 3 3))aa 3(a4 a3 2)2aa 33a4a33a33a;
(3 )原 式 = ( 11)(x4 )(x 4 ) x 4x4 2
a2 (a1)(a1)
a1. a1
当a-2=0,即a=2时，原式=3.
知2－讲
（来自《点拨》）
知2－练
1
(甘肃白银)先化简，再求值：(1 其中 x 3 .
1 ) x1
x x2 1
2
2
(2014·杭州)若
41
(a2
)W1, 4 2a
则W＝(
)
A.a＋2(a≠－2)
B.－a＋2(a≠2)
C.a－2(a≠2)
知2－讲
【例3】〈四川资阳〉先化简，再求值：(a 1 )(a2 3 ),
a2
a2
其中，a满足a－2＝0.
导引：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法 则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简 结果，将a的值代入计算即可求出值．
（来自《点拨》）
解：原 式 =a(a2)1a243
a2
a2
(a1)2 a2