矢量分析与场论第4讲场

R2 x2 y2 z2 R2 02 02 ( R)2 2
或
x2 y2 z2 R2 4
2.数量场的等值面
例：求三维静电场的等位面。
解：设点电荷 Q位于圆点，静电位 u 可以写为：
u u(x, y, z) Q
4 R
为数性函数，其中
R x2 y2 z2
x
z
uC
oQ
y
等位面方程：
解：具体写为:
dx qx
dy qy
dz qz
4 r 3 4 r 3 4 r 3
等价于： dx dy , dy dz
x
yy
z
解方程： y C1x, z C2 y （C1, C2 为常数）
其 图 形 为 一 族 从 原 点 出 发 的 射 线 ， 称 电 力 线 （P27图2-6）。
3.矢量场的矢量线
上的任意一点 M (x, y, z)，矢径方程为：
r
xi
yj
zk
dr
dxi
dyj
dzk
z
dr//
A
r
导矢为点 M 处与矢量线相切
l
的矢量，它必定与该点处的场
o x
y
矢量 A平行共线。
3.矢量场的矢量线
A Axi Ay j Azk
dr
dxi
dyj
dzk
则矢量线满足的微分方程为：
例：求矢量场
A
x 2 i
y2
j (x
y ) zk
通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程（习题2第5题）。
解：矢量线应满足的微分方程为：
dx x2
dy y2
dz (x y)z
由
dx x2
dy y2
解得
1 y
1 x
c1
若 x y，由等比定理可得：
dx dy x2 y2
dz (x y)z
R2 x2 y2 z2 C 以圆点为中心的球面。
2.数量场的等值面
如果遇到一类柱面问题，即数量场 u与 无z 关，
可以写为 u u(x, y)，称为平面数量场。
在平面数量场中，具有相同数值的点，组成此 数量场的等值线，即 u(x, y) C。
比如地形图中的等高线，地面气象图上的等温 线、等压线等。
例2：求矢量场
A
xzi
yzj
(x2
y2 )k通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程。
解：矢量线应满足的微分方程为：
dx xz
dy yz
dz (x2
y2)
由 dx dy 解得
xz yz
y C1x
将矢量线微分方程写为：
xdx x2z
ydy y2z
dz (x2
y2)
3.矢量场的矢量线
3.矢量场的矢量线
例2：求矢量场
A
xzi
yzj
(x2
y2 )k通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程。
解：再以点 M (2,1,1) 的坐标代入，得出：
1 C1 2 , C2 6
则通过点 M (2,1,1) 的矢量线方程为：
y 1 x, 2
x2 y2 z2 6
3.矢量场的矢量线
x
y
(x y)z
由等比定理可得：
d ln x d ln y dz
x y
(x y)z
3.矢量场的矢量线
例：求矢量场
A
x 2 i
y2
j (x
y ) zk
通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程（习题2第5题）。
解 ： d ln xy dz ,
z
z c3xy
矢量线族方程为：
1 y
1 x
等值面：指数性函数 u 取相同值的点连接起来
构成的一个曲面，定义为：
u(x, y, z) C （ C 为常数）
比如温度场的等温面，电位场的等电位面等。
由隐函数存在定理可知，在函数 u 为单值，且
各连续偏导数 ux',uy',uz' 不全为零时，这种等值
面一定存在。
2.数量场的等值面 等值面的两个性质： （1）空间的每一点均属于一个等值面。
Homework 3
作业 P29 习题2：1，2，3，4
2.数量场的等值面
例：求二维静电场的等位面。
解：研究与 z 轴重合的无穷长带电直线，电荷线
密度为 ，则其电位表示为：
u ln( 1) c 4 r
z
u C
r x2 y2
o
y
这是一个平面数量场，等
x
位面是圆柱面，即：
r2 x2 y2 C
3.矢量场的矢量线
如果在空间中，任何点 M 都对应一个矢性函数
（P25图2-5）
3.矢量场的矢量线
例1：求解点电荷 q 的矢量线方程。
解：设点电荷位于坐标原点处，则电场强度为：
E
qr
4 r 3
q(xi yj
4 r 3
zk )
r x2 y2 z2
则电力线微分方程为：
dx dy dz Ex Ey Ez
3.矢量场的矢量线
例1：求解点电荷 q 的矢量线方程。
1.场的基本概念
根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。 数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，
电位场，密度场等。 矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，
电磁场等。 稳定场：物理量在各点处的对应值不随时间发
生变化（稳态场）。 不稳定场：物理量在各点处的对应值随时间发
生变化（瞬态场）。
dx dy dz Ax Ay Az
z
dr//
A
r
l
o x
y
在 A不为零的假设下，由微分存在定理可以知 道：当函数 Ax , Ay , Az 为单值、连续且有一阶的 偏导数时，矢量线总是存在，而且互不相交。
3.矢量场的矢量线 矢量面：由全体矢量线构成的曲面。
（P25图2-4）
矢量管：当矢量面为封闭曲线时，就构成一个 管型曲面。
例2：求矢量场
A
xzi
yzj
(x2
y2 )k通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程。
解：利用等比定理，有：
d(x2 y2)
dz
2( x2 y 2 ) z ( x2 y 2 )
由此解得
x2 y2 z 2 C2
矢量线方程为： y C1x, x2 y 2 z 2 C2
表示一族以圆点为中心的同心圆。
2.数量场的等值面
在空间中，数性函数 u是点 M的函数，即：
u u(M )
则称 u 是空间的一个数量场。
z
• u(x, y, z)
当坐标系选定后，进一步写出： o
y
u u(x, y, z)
x
一个数量场可以用一个数性函数 u 来表示。通 常假定数性函数 u是单值、连续且有一阶连续的
偏导数。
2.数量场的等值面
,
dx dy dz , xy z
z c2 (x y)
3.矢量场的矢量线
例：求矢量场
A
x 2 i
y2
j (x
y ) zk
通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程（习题2第5题）。
解：矢量线族方程为：
[1 y
1 x
c1, z
c2 (x
y)]
由 M (2,1,1) 代入得 c1 1/ 2, c2 1
c1 ,
z c3xy
由 M (2,1,1) 代入得
c1 1/ 2, c3 1/ 2
故
[ 1 1 1 , z xy ]
y x2
2
4.平行平面场 平行平面场是一种常见的具有一定几何特点的 场，分为平行平面数量场和平行平面矢量场。
平行平面矢量场的几何特点：
场中的所有矢量都平行于某一个平面 ；
在垂直于 的任意直线的所有点上，对应矢
量
A
的大小和方向都相同。
平行平面矢量场可简化为平面矢量场来研究。
4.平行平面场
例3: 无限长的均匀带电直导线 l ，其上电荷线
密度为 q，则在 l 周围空间产生的电场中，其电
场的强度
E(M
)
所构成的矢量场，便是一个与
l
相
互垂直的平行平面矢量场。
E
q是此空间的一个矢量场。
z
A(x, y, z)
当坐标系选定后，进一步写出：
A A( x, y, z)
o x
y
A Ax (x, y, z)i Ay (x, y, z) j Az (x, y, z)k
其中
Ax , Ay , Az为矢量
A
的三个坐标函数，通常假
定它们是单值、连续且有一阶连续偏导数。
3.矢量场的矢量线 矢量线：简称矢线，指在曲线上的每一点处，
曲线都和对应于该点的矢量 A相切。
矢量线非常直观的表示矢量场的分布。 物理学上，Farady从长期的实验现象中得出明 晰的磁力线概念。
比如：静电场中的电力线；磁场中的磁力线， 流速场中的流线等。
3.矢量场的矢量线
矢量线的计算：假设 l是一条矢量线，则对其
u(x, y, z) u(x0 , y0 , z0 ) C
（2）不同的等值面不相交。即空间中的每一 点只属于一个等值面。
2.数量场的等值面
例：求 u R2 x2 y2 z2 通过点 M0(0,0, R / 2) 的等值面。
解：数量场 u所在的区域为一个以圆点为中心，
半径为 的R球形区域：
着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空 间确定了该物理量的一个场。
1.场的基本概念
物 理 场 （ Physical field ） ： 某 种 特 殊 的 “ 物 质”，如静电场、静磁场、电磁场等。
Maxwell是第一个明确使用“场”的科学家。 发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量
的空间函数。 “场”有2个显著特点： （1）场是物理的客观存在； （2）场可以随时间和空间发生变化。
z
2r 2
r
OM
xi
yj
r r
o
y
通常也叫做点电荷产生的
x
平面静电场。
4.平行平面场 平行平面数量场的几何特点：在垂直于场中的 某一条直线上 l 的所有平面上，数量 u 的分布情 况都相同。 平行平面数量场可简化为平面数量场来研究。
例如无限长的均匀带电直导线 l ，其电位构成
的数量场，就是一个平行平面数量场。
x2 y2 z2 R2
等值面为： R2 x2 y2 z2 c 或 x2 y2 z2 R2 c2
等值面是以圆点为中心的一族同心球面。
2.数量场的等值面
例：求 u R2 x2 y2 z2 通过点 M0(0,0, R / 2) 的等值面。 解：则过点 M0 (0,0, R / 2) 的等值面，为其中的一 个球面：
第二章 场论
第4讲 场
主要内容
1. 场的基本概念 2. 数量场的等值面 3. 矢量场的矢量线 4. 平行平面场
教材：第2章 第1节
1.场的基本概念
数学场（Mathematical field）：为了描述某一 物理对象的特定性质或特定状态而在特定空间 域中定义的一个或一组多元函数。
场：一个物理量是时间和空间的函数。 如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应
故
[ 1 1 1 , z (x y)]
y x2
3.矢量场的矢量线
例：求矢量场
A
x 2 i
y2
j (x
y ) zk
通过
点 M (2,1,1) 的矢量线方程（习题2第5题）。
解：矢量线应满足的微分方程为：
dx x2
dy y2
dz (x y)z
也可以变为： d ln x d ln y dz