第十章__刚体的一般运动
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由
z
k0
( A E) p 0
2 2 p12 p2 p3 1
i0
j0
解得 由
3 p1 p2 p3 3 1 arccos ( trA 1) 2
O
i k
y
x
j
解得
120
3 n (i j k ), 120 3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
转动角有以下计算公式
1 arccos ( trA 1) 2
有限转动次序的一可交换性
z z y x z
绕 z 轴转900
y x
绕 x 轴转900
y
x
z
x
y z y z
y
x
x
绕 x 轴转900 绕 z 轴转900
例 题 1
矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
z
k0
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵； （2）有限转动轴的位置及转过的角度。
O O x
z´
vA
vA
y´ y
v P v A v r ω 1 rOA ω rAP
ω P
A
1li 2 Rj
x´
加速度
a P a A a r a A rAP ω v r
12lj 1 2 j Rk (1k 2 i ) (- 2 Rj )
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
p
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
或写作 ( A E ) p
(1)
0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p
2 1 2 2
(1)
0
2 3
p p p 1
2 1
a1 α rC
ω
a1 ω1 r C
C
vC
O´
C
a 2 ω vC
O
a2
A
B A
C*
l l 2 a1 r C cot 1 cos sin
2 1
1 2l a2 v C 2l1 12 sin sin
§10-2 自由刚体的运动
z x
y
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
纯滚动 y OC*上各点速度为0
z
x
OC*为瞬轴，ξ
vC vC ＝ AC rcos
r 2 h2 vC ＝常数 rh
z
y
x
＝ e ＝ 0 ＝ r
＝ e=常数
π ＝ － 2 ＝ r =常数
ω1
O
ω ＝ ω1＋ ω2
其中ω1和 ω2可以分别为牵连角速度 ωe或相对角速度ωr 。
结论与讨论
角速度与角加速度的关系－变矢量导数的应 用 绕相交轴转动时的角速度合成定理
ω ω1 ω2 ωe ωr
绕相交轴转动，并且为规则进动时的角加速度
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
O
x
O
2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。 有限转动轴位置和有限转动角
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
2 2 r h 2 α ＝ωe ω 2 tan v C 3 rh
4. 刚体上各点的速度与加速度
速 度
C*
90o
v ω r
ω
v
O
速度的大小由下式确定
Mh
r
v＝ω rsin( , r ) ω h
h为M点到瞬轴的垂直距离
C*
z
´
z´
ω P
vr
va ve= vO´
ω －刚体绕相对瞬轴转 动的角速度
vr － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的速度：
x´ O´ x
O
rP´
´
´
vO´ y´
y
vr ω rP
va－绝对速度：
va ve v r vO ω rP
C*
z
a2
aO´－基点的绝对加速 度，其余点的牵 连加速度； ω －刚体绕相对瞬轴转 动的角速度； P
= (t), = (t), = (t).
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚体
在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
pe p
T 0
(0)
e p
T 1
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
i0 i1 i0 j1 i0 k1 T A e0 e1 j0 i1 j0 j1 j0 k1 k0 i1 k0 j1 k0 k1
刚体定点运动的工程实例与基本概念
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O轴的
夹角;
－章动角： O与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
´
z´ 广义坐标为：
x´ O´ x
O
´
´
y´ y
q =(xO´, yO´, zO´, ,,)
运动方程为：
xO' f1 (t ) ,
yO' f 2 (t ) , z O' f 3 (t )
f 4 (t ) , f 2 (t ) , f 3 (t )
vO´－基点的绝对速度， 其余点的牵连速度
假设从 t 到 t+t 的 t 时间间隔内定点 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过， 这时转动角速度为 ´；当t →0时，转 动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为 t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。
C* C
O
´
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一 瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
dr v dt
v v
dω α dt
v v r r
O r
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例 题 2
高度为h、底半径为r的 圆锥体，以顶点O为定点 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的vC为 常数。 求：圆锥体的角速度和角 加速度. 解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动 牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
vO oo sin vO oo 1
1 const sin
ω
O
ω1 r C
A
C
vC
O´
C
vC ω rC
B A
C*
vC rC sin 2 2l1
dω α ω1 ω dt
1 sin( 90 ) cot
21 2 i lj Rk
2 1 2 2
§10-3 刚体绕相交轴转动时的角速度合成定理
刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动 可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相 交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴的 角速度等于分别绕二相交轴转动角速 度的矢量和,合矢量的所在位置即为瞬 轴位置。
C*
ω
ω2
第10章 刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体绕定点运动
自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成
结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
绕相交轴转动，但不是规则进动时的角加速度
α ＝α e＋α r＋ωe ωr
定点运动刚体上任意点的速度与加速度
a1 ae=aO´
ω
O´
－刚体绕相对瞬轴转
动时的角加速度；
ar － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的加速度：
rP´ aO´
x
O
y
ar＝ a1+ a2＝ × rP´ + ω ×vr aa－绝对加速度： aa＝ ae ＋ar＝ aO´+ a1+ a2＝ aO´+ × rP´ + ω ×vr
加速度
dv dω dr a＝ r ω α r ω v dt dt dt
a a1 a2
C*
90o
a1=a×r
—— 转动加速度
M
h
ω
O
a2
a2=ω × v ——向轴加速度
a1=αrsin (α ,r)=ω h΄ a2= ω vsin (ω ,v)=ω2 h΄
r
v a1
刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点 的平移和相对于基点的定点转动。
´
z
z´
基点： O´点 定系： O x y z
x´ O´
´
平移系： O´ ´ ´ ´ 结体系： O´x´y´z ´
绝对运动－ 一般运动 牵连运动－ 基点O´的平移
x
O
´
y´
y
相对运动－ 绕O´点的定点 运动
空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度： N＝3＋3＝6 z
规则进动
＝ e＋ r＝ ＋
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω ＝0 dt
v
e
ωe＝ω
dω α ＝ωe ω dt
dω α ＝ω ω dt
r
v ω r
α ωe ω
＝ e＋ r＝ ＋
例 题 4
图示机构中，摇臂OA以等角速度ω1绕铅垂轴转 动，半径为R的圆盘以等角速度ω2相对于摇臂转 动。 OA＝l 。 求：1、圆盘的角速度和角加速度； 2、圆盘上P点的速度和加速度。 解：基点：A 定系：O x y z
z
ω1
O O x rOA
ω2
z´
P
A
ω1 vA
平移系：A x´y´z´
圆盘的运动：跟随基点A的 y´ y 平移和绕基点A的转动 应用矢量向一点平移理论，将 角速度矢量ω1向基点A平移,得到：
x´
v A ω1 rOA 1k lj 1li
解：圆盘的角速度和角加速度 角速度 z z´ rOA x´
ωLeabharlann Baidu
ω1 vA
ω ω1 ω2 1k 2 i
角加速度
O O x
ω2
A
y´ y
α ω1 ω2 12 j
解：P点的速度和加速度 z
速 度
vr
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
a1的方向垂直于α 和r所组成的平面，指向 α 的转动方向； a2同时垂直于 v 和 瞬轴，恒指向瞬轴。
例 题 3
半径为r的圆盘绕 轴作纯滚动，角速度为ω1= 常数；OO´轴的长度为 l 。求：A、B、C 三点的 速度和加速度。
ω
O
ω1
C
A
O´
B A
C*
解：圆盘作纯滚动，与地面接触点A速度为0，A点为除定点以 外的另一个固定点。因此，通过OA的直线O C* 即为瞬轴。
解：由图示转动关系有
i0
j0
e0 A e1
i0 0 1 0 i j0 0 0 1 j k 1 0 0 k 0
O
i k
y
x
j
0 1 0 A 0 0 1 1 0 0
z
k0
( A E) p 0
2 2 p12 p2 p3 1
i0
j0
解得 由
3 p1 p2 p3 3 1 arccos ( trA 1) 2
O
i k
y
x
j
解得
120
3 n (i j k ), 120 3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
转动角有以下计算公式
1 arccos ( trA 1) 2
有限转动次序的一可交换性
z z y x z
绕 z 轴转900
y x
绕 x 轴转900
y
x
z
x
y z y z
y
x
x
绕 x 轴转900 绕 z 轴转900
例 题 1
矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
z
k0
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵； （2）有限转动轴的位置及转过的角度。
O O x
z´
vA
vA
y´ y
v P v A v r ω 1 rOA ω rAP
ω P
A
1li 2 Rj
x´
加速度
a P a A a r a A rAP ω v r
12lj 1 2 j Rk (1k 2 i ) (- 2 Rj )
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
p
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
或写作 ( A E ) p
(1)
0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p
2 1 2 2
(1)
0
2 3
p p p 1
2 1
a1 α rC
ω
a1 ω1 r C
C
vC
O´
C
a 2 ω vC
O
a2
A
B A
C*
l l 2 a1 r C cot 1 cos sin
2 1
1 2l a2 v C 2l1 12 sin sin
§10-2 自由刚体的运动
z x
y
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
纯滚动 y OC*上各点速度为0
z
x
OC*为瞬轴，ξ
vC vC ＝ AC rcos
r 2 h2 vC ＝常数 rh
z
y
x
＝ e ＝ 0 ＝ r
＝ e=常数
π ＝ － 2 ＝ r =常数
ω1
O
ω ＝ ω1＋ ω2
其中ω1和 ω2可以分别为牵连角速度 ωe或相对角速度ωr 。
结论与讨论
角速度与角加速度的关系－变矢量导数的应 用 绕相交轴转动时的角速度合成定理
ω ω1 ω2 ωe ωr
绕相交轴转动，并且为规则进动时的角加速度
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
O
x
O
2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。 有限转动轴位置和有限转动角
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
2 2 r h 2 α ＝ωe ω 2 tan v C 3 rh
4. 刚体上各点的速度与加速度
速 度
C*
90o
v ω r
ω
v
O
速度的大小由下式确定
Mh
r
v＝ω rsin( , r ) ω h
h为M点到瞬轴的垂直距离
C*
z
´
z´
ω P
vr
va ve= vO´
ω －刚体绕相对瞬轴转 动的角速度
vr － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的速度：
x´ O´ x
O
rP´
´
´
vO´ y´
y
vr ω rP
va－绝对速度：
va ve v r vO ω rP
C*
z
a2
aO´－基点的绝对加速 度，其余点的牵 连加速度； ω －刚体绕相对瞬轴转 动的角速度； P
= (t), = (t), = (t).
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚体
在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
pe p
T 0
(0)
e p
T 1
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
i0 i1 i0 j1 i0 k1 T A e0 e1 j0 i1 j0 j1 j0 k1 k0 i1 k0 j1 k0 k1
刚体定点运动的工程实例与基本概念
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O轴的
夹角;
－章动角： O与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
´
z´ 广义坐标为：
x´ O´ x
O
´
´
y´ y
q =(xO´, yO´, zO´, ,,)
运动方程为：
xO' f1 (t ) ,
yO' f 2 (t ) , z O' f 3 (t )
f 4 (t ) , f 2 (t ) , f 3 (t )
vO´－基点的绝对速度， 其余点的牵连速度
假设从 t 到 t+t 的 t 时间间隔内定点 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过， 这时转动角速度为 ´；当t →0时，转 动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为 t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。
C* C
O
´
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一 瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
dr v dt
v v
dω α dt
v v r r
O r
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例 题 2
高度为h、底半径为r的 圆锥体，以顶点O为定点 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的vC为 常数。 求：圆锥体的角速度和角 加速度. 解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动 牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
vO oo sin vO oo 1
1 const sin
ω
O
ω1 r C
A
C
vC
O´
C
vC ω rC
B A
C*
vC rC sin 2 2l1
dω α ω1 ω dt
1 sin( 90 ) cot
21 2 i lj Rk
2 1 2 2
§10-3 刚体绕相交轴转动时的角速度合成定理
刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动 可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相 交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴的 角速度等于分别绕二相交轴转动角速 度的矢量和,合矢量的所在位置即为瞬 轴位置。
C*
ω
ω2
第10章 刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体绕定点运动
自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成
结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
绕相交轴转动，但不是规则进动时的角加速度
α ＝α e＋α r＋ωe ωr
定点运动刚体上任意点的速度与加速度
a1 ae=aO´
ω
O´
－刚体绕相对瞬轴转
动时的角加速度；
ar － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的加速度：
rP´ aO´
x
O
y
ar＝ a1+ a2＝ × rP´ + ω ×vr aa－绝对加速度： aa＝ ae ＋ar＝ aO´+ a1+ a2＝ aO´+ × rP´ + ω ×vr
加速度
dv dω dr a＝ r ω α r ω v dt dt dt
a a1 a2
C*
90o
a1=a×r
—— 转动加速度
M
h
ω
O
a2
a2=ω × v ——向轴加速度
a1=αrsin (α ,r)=ω h΄ a2= ω vsin (ω ,v)=ω2 h΄
r
v a1
刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点 的平移和相对于基点的定点转动。
´
z
z´
基点： O´点 定系： O x y z
x´ O´
´
平移系： O´ ´ ´ ´ 结体系： O´x´y´z ´
绝对运动－ 一般运动 牵连运动－ 基点O´的平移
x
O
´
y´
y
相对运动－ 绕O´点的定点 运动
空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度： N＝3＋3＝6 z
规则进动
＝ e＋ r＝ ＋
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω ＝0 dt
v
e
ωe＝ω
dω α ＝ωe ω dt
dω α ＝ω ω dt
r
v ω r
α ωe ω
＝ e＋ r＝ ＋
例 题 4
图示机构中，摇臂OA以等角速度ω1绕铅垂轴转 动，半径为R的圆盘以等角速度ω2相对于摇臂转 动。 OA＝l 。 求：1、圆盘的角速度和角加速度； 2、圆盘上P点的速度和加速度。 解：基点：A 定系：O x y z
z
ω1
O O x rOA
ω2
z´
P
A
ω1 vA
平移系：A x´y´z´
圆盘的运动：跟随基点A的 y´ y 平移和绕基点A的转动 应用矢量向一点平移理论，将 角速度矢量ω1向基点A平移,得到：
x´
v A ω1 rOA 1k lj 1li
解：圆盘的角速度和角加速度 角速度 z z´ rOA x´
ωLeabharlann Baidu
ω1 vA
ω ω1 ω2 1k 2 i
角加速度
O O x
ω2
A
y´ y
α ω1 ω2 12 j
解：P点的速度和加速度 z
速 度
vr
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
a1的方向垂直于α 和r所组成的平面，指向 α 的转动方向； a2同时垂直于 v 和 瞬轴，恒指向瞬轴。
例 题 3
半径为r的圆盘绕 轴作纯滚动，角速度为ω1= 常数；OO´轴的长度为 l 。求：A、B、C 三点的 速度和加速度。
ω
O
ω1
C
A
O´
B A
C*
解：圆盘作纯滚动，与地面接触点A速度为0，A点为除定点以 外的另一个固定点。因此，通过OA的直线O C* 即为瞬轴。
解：由图示转动关系有
i0
j0
e0 A e1
i0 0 1 0 i j0 0 0 1 j k 1 0 0 k 0
O
i k
y
x
j
0 1 0 A 0 0 1 1 0 0