现代信号处理_2013-07

Pm (1 m ) Pm 1
2
5. 按(16)式计算滤波器输 f m (n), g m (n) 出 6. 置m=m+1, 并重复步骤(2)-(5), 直到m=p
现代信号处理 6
3
Burg算法 - 算法步骤
最后，由Berg算法估计的滤波器系数 a j ( j 1,2,..., p )及Pp
( s ) E{e sx }

f ( x)e
sx
dx
(1b)
其中 f(x) 是随机变量 x 的概率密度函数。

高阶矩：对(1b)求k 阶导数，得
k k
k ( s ) E{x k e sx }
d k ( s ) mk E{x } (0 ) (即 k 则随机变量 x 的k 阶矩 阶原点矩 )定义为 s 0 ds k
现代信号处理 20
高阶谱估计
10
高阶谱估计
研究高阶谱的必要性 高阶统计量 高阶谱 高阶累积量和多谱的性质 三阶相关和双谱及其性质 累积量与多谱估计 基于高阶谱的相位谱估计 基于高阶谱的模型参数估计 多谱的应用
现代信号处理 21
研究高阶谱的必要性

关于模型参数估计问题
• 所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模 型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型 的参数，) • 与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引 入的噪声v(n).
v(n)
u(n)
H(z) (h(n))
x(n)
∑
y(n)
图1
现代信号处理 22
11
研究高阶谱的必要性

解决问题的方法
p
计算功率谱密度：
PBurg ( )
Pp
( p ) jk 1 ak e k 1 p 2
现代信号处理 7
上讲回顾
最大熵谱估计
MESE与AR的等价关系 证明 Levinson算法 证明 步骤 Burg算法 证明 步骤
最小方差谱估计
MVSE基本原理 算法推导、步骤 MV谱、ME谱与AR谱的关系 自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计
exp( j 2 ) exp( j 2 ) exp( j 2 ) A r (2) 1 2 M 2 (8) xx exp( ) exp( ) exp( ) ( ) A r M jM jM jM 1 2 M M xx
现代信号处理 4
2
Burg算法
m阶前、后向预测误差分别为 f m (n) f m 1 (n) m g m 1 (n 1)
* g m (n) g m 1 (n 1) m f m 1 (n)
(16a) (16b)
定义m阶前、后向预测误差的功率为
Pm
将(16)代入(17)，并令Pm对 m 的偏导数为零,得最佳 m
现代信号处理 14
7
Pisarenko谐波分解 - 算法步骤
1)求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设 p=M 2)对Rp进行特征分解,得特征值 1 ,..., M 1 及特征向量 V1 ,..., VM 1 将其排序并找出最小的特征值 M 1 及相应的 VM 1 3)将VM 1 代入(7)，形成 M 阶多项式并求该多项式的根， 得到x(n)的M 个频率 1 ,..., M 4)由(1)有 exp( j1 ) exp( j 2 ) exp( j M ) A1 rxx (1)
1 ak ( m )e
m 1
现代信号处理 10
5
上讲回顾
最大熵谱估计
MESE与AR的等价关系 证明 Levinson算法 证明 步骤 Burg算法 证明 步骤
最小方差谱估计
MVSE基本原理 算法推导、步骤 MV谱、ME谱与AR谱的关系
基于矩阵特征分解的谱估计
c3 m3 3m1m2 2m13 E[( x m1 ) 3 ]
2 c4 m4 3m2 4m1m3 12m12 m2 6m14 E[( x m1 ) 4 ]
(5)
....................
• 结论: － 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为 零时, 就是二、三阶相关(矩) －四阶以上的累积量不等于相应的中心矩
9
小结
现代信号处理 19
上讲回顾
最大熵谱估计
MESE与AR的等价关系 证明 Levinson算法 证明 步骤 Burg算法 证明 步骤
最小方差谱估计
MVSE基本原理 算法推导、步骤 MV谱、ME谱与AR谱的关系
基于矩阵特征分解的谱估计
自相关矩阵的特征分解 结论 基于子空间的频率估计与信号估计 方法
设已知有限数据序列x(n),n=0,1,…,N，则可按下列步 骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。 1. 置m=0, 计算初值
P0 x ( n )
n 0 N 2
f 0 (n) g0 (n) x(n)
2 . m=m+1,并按(18)计算反射系数 m (m) ( m 1) ( m 1) 3. 计算滤波器系数 a j a j m am j , ( j 1,..., m 1) 4. 计算预测误差功率
3
将三阶矩除以均方差的三次方 , 得偏态系数或偏态： c s x 33 (当m1 0时) 将四阶累积量除以均方差的四次方 4, 得峰态:
x
c4
4

2 m4 3m2

4

m4 3 4

4

4
m4
3(当m1 0时)
结论：正态分布的偏态、峰态均为零。 c1 m, c2 2 , ck 0(k 3)
事实说明:要准确地刻画随机信号, 仅使用相关函数 (二阶统计量)是不够的 相关函数(二阶)： 刻画信号的粗糙像 高阶统计量： 刻画信号的细节 • 从观测数据中提取相位信息 • 信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力 因此，必须用高阶谱(高阶统计量)来分析信号
现代信号处理 23
高阶统计量
三阶和更高阶的统计量统称高阶统计量 特征函数：随机变量 x 的特征函数定义为
现代信号处理
(第七讲） 李飞 lifei@njupt.edu.cn
2013年2月-5月
现代信号处理 1
第三章
随机信号的功率谱估计
李飞
2013.4.17
现代信号处理 2
1
上讲回顾
经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计 最大熵谱估计 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
现代信号处理 26
13
高阶统计量

高斯随机变量的高阶矩与累积量
[1,3,5,..., (k 1)] k , k为偶数 mk E[ x k ] k为奇数 0 ，
高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯 随机变量的k 阶矩(或零均值的k 阶中心矩)为 可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩 2 。 高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累 积量为零, 它不提供新的信息。即 c1 m, c2 2 , ck 0(k 3) 若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩, 则累积 量就是它们高阶矩的差，故有如下累积量的物理意义。
现代信号处理 3
上讲回顾
最大熵谱估计
MESE与AR的等价关系 Levinson算法 Burg算法 证明 步骤
最小方差谱估计
MVSE基本原理 MV谱、ME谱与AR谱的关系 自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计
基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
现代信号处理 8
4
最小方差谱估计
算法推导
- 基本原理
利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差滤波器系数为 1 R p e( i ) a MV H 1 e ( i )R p e( i ) 相应的最小方差为 MV
1 1 e ( i )R p e( i )
(1)
• 自相关矩阵的特征分解为
R p AieieiH wI
i 1
M
(4)
p 1 i 1
R p i Vi V w Vi ViH
i 1 M H i
M
(i w ) Vi ViH
i 1
现代信号处理 12
i M 1

p 1
w Vi ViH
自相关矩阵的特征分解 结论 基于子空间的频率估计与信号估计 方法
现代信号处理 11
高阶谱估计
自相关矩阵的 特征分解 - 基本结论
• 设信号x(n)由M个复正弦加白噪声组成, Ai、 i 分别是第 i 个复正弦的功率和频率, 则x(n)的自相关函数为
2 rxx (k ) Ai exp( j i k ) w (k ) , ( w w ) i 1 M
d k (s) ds k
( 2)
特征函数为随机变量的矩生成函数(矩母函数)，又称 为第一特征函数。
现代信号处理 24
12
高阶统计量

累积量生成函数
或
(v ) ln (v )
(3a )
( s ) ln ( s )
(3b)
称为累积量生成函数(第二特征函数或累积量母函数)

高阶累积量：随机变量x 的k 阶累积量定义为

1 p 2 2 f m ( n) g m ( n) 2 nm


(17)
m
n m 1
f
m
p
m
* ( n) g m 1 ( n 1) 2 * m 1
n m 1
[ f
p
( n) g
(n 1) ]
2
, m 1,2,..., p
(18)
现代信号处理 5
Burg算法
现代信号处理 27
高阶统计量
累积量的物理意义 累积量衡量任意随机变量偏离正态(高斯)分布的程度

一阶累积量---数学期望: 描述了概率分布的中心 二阶累积量---方差：描述了概率分布的离散程度 三阶累积量---三阶矩：描述了概率分布的不对称 程度
现代信号处理 28
14
高阶统计量

偏态与峰态
现代信号处理 29
ck d k ( s ) ds k
s 0
(4)
即累量生成函数的k 阶导数在原点的值
现代信号处理 25
高阶统计量

k • 关系: (注意：k 阶中心矩定义为 x E( x ) )
高阶矩与高阶累积量的关系
c1 m1 E[ x] c2 m2 m12 E[( x m1 ) 2 ]
M
5)再由(1)得：r (0) Ai w
i 1
(9)
故可求得:
现代信号处理 15
w Ai rxx (0)
i 1
M
(10)
MUSIC方法 - 基本思路
e H ( )[
K M 1
Vk VkH ]e( ) [
p 1
K M 1
e
p 1
H
( )Vk ]
(5)
6
含噪信号的特征值
现代信号处理 13
注：图中P即式(5)中M，N即式(5)中p+1
基于矩阵特征分解的谱估计

自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计
- PHD方法 (Pisarenko Harmonic Decomposition) - MUSIC方法 (Multiple Signal Classification)
H
从而，估计的最小方差谱为
PMV ( )
1 1 e ( )R p e( )
H
现代信号处理 9
最小方差谱估计
p
- MV谱与ME谱或 AR谱的关系
MV谱与AR谱之间的一个重要关系：
1 PM V ( )
其中
PAR ( )
k

k 0
1 PA R ( )
2 j m
k2
2
(13)
ˆ P MUSIC ( )
1
k M 1

p 1
k e H (i ) Vk
2
P>=M
ˆ 式(13)在 i 处应为零，从而理论上有 P MUSIC (i )
该峰值对应的就是正弦信号的频率,分辨率优于AR模型法
现代信号处理 16
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
现代信号处理 17
现代信号处理 18