(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型

c t c t
r t
n
g

即 :

n

g


r t g

3
此 即 卡 斯 - - 库 普 曼 斯 模 型 的 关 键 方 程 欧 拉 方 程 . C t C r t
由 于 C t A t c t
1
• • • • • • •
模型的假设
3、家庭： ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； ⑤不存在折旧； ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以 最大化一生效用。
1

t0 t
k 与 n
g k必 有 两 个 交 点.
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与 持 平 投 资 线 间 的 距 离时 , k 0 . 当 k处 于 黄 金 律 资 本 水 平 ( f ' k = n + g ) 时 , 稳 态 的 c 值 达 到 最 大 .

e
w t c t A t
L t H
dt 0
s期 家 庭 的 资 本 持 有 量 为 : K
s
H
e
Rs
K
0
H


s t0
e
R s R t
w t c t A t
Rs
L t H
相图
c
wenku.baidu.com c 0
E
k 0
k*
k
3.3
2. 小 于 黄 金 律 的 k值 .
相图
c=0时 的 k值
值得注意的是: k *值
k *由 f ' k * g 定 义 , 而 k黄 金 值 由 f ' k黄金


n g定 义 . 0,
由 于 f '' k
k的动态学
c
k 0
k t c t n g k t 5
k n
g
当 k 0时 , c f
k0
k. 根 据
0,
k 0
稻 田 条 件 lim f ' k f
, lim f ' k
k
k 0
2 来 构 建 拉 格 朗 日 函 数 :
t

t0
e
c t
1
1
dt +
n g t
k 0


t t0
e
R t
w t e
dt

t0
e
R t
c t e
n g t
dt
家 庭 选 择 每 一 时 点 上 的 c,对 单 个 c t 的 一 阶 条 件 是 : Be
k
当 c在 k 0线 的 上 方 时 , k下 降 , 当 c在 k 0线 下 方 时 ,k上 升 .
3.3
1. 如 图 所 示 : 右 图 被 k 0 和 c 0分 成 4个 区 域 . 左 上 区 域 :k 0, c 0, k 下 降 , c上 升 ; 左 下 区 域 :k 0, c 0, k 下 降 , c下 降 ; 右 下 区 域 : k 0, c 0, k 上 升 , c下 降 ; 右 上 区 域 : k 0, c 0, k 上 升 , c上 升 .
第三章
拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
这一堂课的内容安排
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 模型的假设； 家庭与厂商的行为； 经济动态学； 平衡增长路径； 贴现率下降的影响； 调整速度与鞍点路径的斜率。
1
模型的假设
• 1、哲学基础假设：代际利他主义。 • 2、厂商： • ①有大量的厂商，每一厂商的生产函数为Y=F(K, AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬 不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润 均归家庭。
4 和 5 得
k * .
3.3
c
相图
c 0
E
B
k = 0
F
D
k 0
k*
k
3.4
鞍点路径
c
事 实 上 , 对 于 k的 任 意 正 的 初 始 值 , 都 存 在 唯 一 的 c的 初 始 值 , 它 满 足 家 庭 的 跨 期 最 优 化 ,资 本 存 量 的 动 态 学 ,家 庭 预 期 约 束 ,和 k的 非 负 约 束 . 将 k 的 初 始 值 表 示 为 c的 初 始 值 的 函 数 ,即 得 鞍 点 路 径 . 对 于 k 的 任 意 初 始 值 , c的 初 始 值必等于鞍点路径上的值, 即 :c 0 = k 0
K , AL
A L
,即 : f
k kf ' k .

t时 的 每 单 位 有 效 劳 动 的 真 实 工 资 为 : w t f
k (t ) k t
f ' k (t ) .
一 个 工 人 在 t时 的 劳 动 收 入 为 : A t w t .
n 1
g
0可 保 证 一 生 效 用 不 发 散 .
2
家庭与厂商的行为
2.1 厂商的行为
F
资本的边际产品为 :
K , AL
K
,即 : f ' k .

t时 的 真 实 利 率 为 : r t f ' k ( t ) . F
有效劳动的边际产品为:
t

欧 拉 方 程 的 涵 义 :① 如 果 真 实 利 率 大 于 贴 现 率 ,则 每 工 人 平 均 消 费 上 升 ; ② 越 小,在 对 真 实 利 率 和 贴 现 率 作 出 反 应 时 ,消 费 的 变 化 越 大 .
3 经济的动态学 3.1 c的动态学
c
c0
由 于 r t f ' k t ,故 有 : c t c t f ' k t g
E
c 0
k = 0
k*
k
4
平衡增长路径(稳态)
• 1、仅仅在鞍点路径上，收敛才是可能的。但经 济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处于平 衡增长路径上的索洛经济的行为。 • 每单位有效劳动的平均资本、产出与消费均不 变；总资本存量、总产量和总消费以n+g的速率 增长；每工人平均产出、资本与消费以g的速率 增长。 • 由此得出结论：拉姆齐模型表明，索洛模型中 关于经济增长的驱动力的中心含义并不依赖于 储蓄率为常数的假定。即使储蓄率内生，劳动 的有效性仍然是增长的唯一可能源泉。
n g t
dt k 0

t0
e
R t
w t e
n g t
dt
1
2.2
K 0 lim s H
s t0
家庭的最大化问题
:
R t
以 极 限 形 式 重 写 预 算 约 束 初 始 资 本 +储 蓄 现 值
t
c t
e
R t
e
n g t
,
对两边取对数 :
ln B t ln c t ln R t
n
g t
2.3
家庭行为
求 上 式 两 边 对 t的 导 数 :- - c t c t r t
1
为 t时 家 庭 即 期 总 效 用 , 为 贴 现 率 .
1
, 0 , n 1
g
0
1

C u '' C u 'C
模型的假设


定 义 为 u 的 相 对 风 险 回 避 系 数 , 与 C 无 关 .
反 映 了 家 庭 在 不 同 时 期 转 换 消 费 的 愿 望 . 越 小 ,随
L 0e H
1
nt
1
1
dt
A 0
L 0 H

t0
e
t
e
1 g t
c t
1
e dt
nt
2.2
U A 0
t0 1
家庭的最大化问题
L 0 H

t0
e
n 1
g t
c t
1
着 消 费 上 升 , 边 际 效 用 下 降 越 慢 , u ' 0 , u '' 0 , u ''' 0 . 家 庭 越 愿 意 消 费 随 时 间 变 动. 可 以 证 明,任 意 两 时 点 之 间 消 费 的 替 代 弹 性 为 为 1 . 即期效用函数的另三个特点 : 不 管 的 值 为 何 , 消 费 的 边 际 效 用 恒 为 正 u ' 0 ; 当 1时 ,该 效 用 函 数 可 简 化 为 lnC;

4
当 c 0时 , f ' k t g , k * 为 常 数 ,令 k k * . 当 k k *时, 当 k k *时, c< 0 c> 0
c0
k*
c0
k
3.2
k等 于 实 际 投 资 减 持 平 投 资. k t f
dt
于 是 , 预 算 约 束 可 简 写 为 : lim e
s
K
s
H
0
含义 :家庭资产持有量的现值极限不能为负. 即 : lim e
s Rs
e
n g s
k s 0
2.2
2 C
家庭的最大化问题
1
再看目标函数

t
1
1

A t c t 1
2.2
1 定 义 R t
家庭的最大化问题
先看家庭的预算约束

t 0
r t d ,
R t
含 义 : 在 0 期 投 资 的 1单 位 产 品 在 t 期 产 生 e 反 之 , t 期 1单 位 产 品 在 0 期 的 价 值 为 : e 家庭的预算约束为 :
R t
1
dt
B 其中 :

e
t
c t
1
1 L 0 H
dt
2
B A 0
1
,
n 1
g
0
2.3
以 最 大 化 一 生 效 用. 预算约束 L B
家庭行为
我 们 用 目 标 函 数 1 和
家 庭 的 问 题 是 , 在 预 算 约 束 下 选 择 c t 的 路 径
单 位 的 产 品,
.

t0
e
R t
C t
L t H
dt
K 0 H


t
t t0
e
R t
A t w t
L t H
dt
对 上 式 用 有 效 劳 动 进 行 正 规 化 ,并 化 简 :
t0
e
R t
c t e
nt

A 0
1
e
1 g t
c t
1
1
将 上 式 和 L t =L 0 e 代 入 家 庭 目 标 函 数 : U

t0
e
t
C
t
1
L t H e
1
t
dt c t
1

t0
e
A 0
1
1 g t
因 此 ,当 且 仅 当 g n g时 , k * < k黄 金 成 立 . 注:
g n g 等 价 于 n 1
g
0,
这正是保证一生效用 不 发 散 的 条 件 .故 k * 必 然 小 于 k黄金 .
3.
c的 初 始 值 .
给 定 c和 k的 初 始 值 , c和 k 应 如 何 随 时 间 变 动 才能满足家庭的最优化条件. 给 定 k 0 值 , 设 k 0 k *, 如 果 c 0 开 始 于 高 于 F 点 的 地 方 , 则 k 必 然 最 终 为 负 .以 使 到满足. 如 果 c 0开 始 于 低 于 F点 的 地 方 ,则 k必 然 最 终 超过黄金律水平. 这两条路径都是不可能的. 如 果 c 0 开 始 于 F ,则 k收 敛 于 k *,r收 敛 于 f 这是唯一可能的路径.
模型的假设
L t H
⑦家庭效用函数的形式为 : U e u C t dt
C t 为 t时 每 一 家 庭 的 消 费 , u 为 即 期 效 用 函 数 , u C t L t H 即期效用函数的形式为: u C t C t