几种特殊力做功的归纳总结

几种特殊力做功的归纳总结

李毅 吴玉泰（黑龙江省大庆实验中学黑龙江大庆163316）

原载《中学物理》2013年12月

利用功能关系解决力学问题，是学生应该掌握的最基本的方法之一，也是解决涉及过程复杂问题的有效途径，而利用这种方法能够准确找出力做功的多少是解决此类问题的关键.因此学生能够准确、快速计算功就显得非常重要．然而，这需要学生熟悉关于各种力求功的方法，尤其是特殊力的做功问题.在这里我们进行归纳总结，以作参考． 1恒力功的计算

（1）若拉力F 在某运动过程中为恒力，用功的计算公式直接计算，即W = Fs cos θ计算力F 做功时，特别应弄清是哪个力对物体做了功，位移、是物体在运动过程中对地的位移；

（2）若拉力F 在某运动过程中为恒力，作用在绳上，使物体运动了一段距离，则力做功的位移、应该是作用点的位移．

例1如图1所示，某人用恒力F 通过滑轮把放在水平而

上的物体向右拉动的距离为L ，力的方向始终与水平方向成θ

角，求拉力F 对物体做的功．

A ．Fs cos θ

B ．Fs (1 + cos θ)

C ．2Fs

D ．2 Fs cos θ

解法一：注意恒力功公式中F 与s 的同一性，s 应是F 的作用点发生的位移，作用点的位移如图1中的BB ′．因ΔBB ′C 为等腰三角形，有BB ′ = 2s cos(θ/2)

所以力F 做功为 W = F ·BB ′·cos(θ/2) = 2Fs cos 2(θ/2) = Fs (1 + cos θ) 所以选B ．

解法二：由功能转化关系知，人做功就是人通过绳子对木块做功，消耗的都是人的体能，根据功的标量性，人做的功等效为两段绳子对木块做的功，因而有W = Fs + Fs cos θ， 解法三：人做的功就是滑轮与木块间的细杆对木块做的功，细杆对木块的水平分力为F (1+cos θ)，其对木块做功为W = Fs (1 + cos θ)．

2可以转化的变力做功问题

2.1滑动摩擦力的计算方法

滑动摩擦力总是与物体的相对运动方向相反而常做负功，而且摩擦力做功的特点是做功的多少不仅与初末位置有关，还与具体的运动路径也有关系，因此训一算摩擦力做功时，摩擦力的功是力与路程的乘积，即W = Fs （在此s 为某过程中物体的运动路程）．同时注意摩擦力做功与摩擦生热的区别．

例2如图2所示，AB 为1 /4圆弧轨道，半径为R = 0.8m ，

BC 是水平轨道，长s =3m ，BC 处的摩擦系数为μ =1/15，

今有质量m =1 kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚

好停止．求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功． 解析：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的

阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G = mgR 、f BC = μmg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求．根据动能定理可知，W 外 = 0，所以mgR – μmgs – W AB = 0，即W AB = mgR – μmgs = 6J ．

在此种类型问题基础上进行扩展：当某力满足大小不变，方向总与运动方向相同（或相反）时，可用分段研究．再求代数和的方法计算整个运动过程的功，

即此类变力功也是力与图

1 图2

运动路程的乘积，即W = Fs ．

2.2弹簧弹力功的计算方法

在这里弹力特指轻质弹簧的弹力（在弹性限度内，满足胡克定律F = kx ），因为弹簧的弹力与形变量成正比，若在某过程中弹簧的形变量从x 1 → x 2，计算弹力做功时，有

W = 2

+21F F (x 1 – x 2) （F 1和F 2为初末状态的弹力）或用功能关系，则弹簧的弹力做功等于弹性势能的变化，即W = – △E P ．

例 3 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ．问击第二次时，能击入多少深度?（设铁锤每次做功相等）

解析 铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F = – f = kx ，可用平均阻力来代替．

第一次击入深度为x 1，平均阻力F 1平均 =

21kx 1，做功为W 1 = F 1平均x 1 = 2

1kx 12； 第二次击入深度为x 1到x 2，平均阻力F 2平均 = 2

1k (x 1+x 2)，位移为x 2 – x 1，做功为W 2 = F 2平均(x 2 – x ) = 21k (x 22 – x 12)． 两次做功相等 W 1 = W 2

解后有 x 2 = x 1 = 1.41cm ，则△x = x 2 – x 1 = 0.41cm ．

3场力做功问题

（1）如果场力是恒力，由做功公式求解．

（2）如果是非匀强场中的场力做功问题可以由动能定理求解．

例4一平行板电容器的电容为C ，两板间的距离为d ，上板带正电，电荷量为Q ，下板带负电，电荷量也为Q ，它们产生的电场在无穷远处的电势为零．两个带异号电荷的小球用一绝缘刚性杆相连，小球的电荷量分别为+q ，和 – q ，杆长为l （l < d ）．现将它们从无穷远处移到电容器的两板之间，处于图3所示的静止状态（杆与板而垂直）．在此过程中，电场力对两个小球所做总功的大小等于多少?

（设两球移动过程中极板上电荷分布情况不变）．

解法一：设无穷远处为A 、正电荷+q ，所在处为B ，负电荷 – q ，所在处为C ，根据W = qU 得电场力做的功 W = +qU AB + (– qU AC ) = qU AB - qU AC = qU C – qU B ，即

W = qU CB = – qEl = d qlU -= –Cd

Qlq ． 解法二：当小球从无穷远处移至图示位置时，设+q 处的电势为φl ，– q 处的电势为φ2，则具有的电势能分别为 E 1 = q φl ，E 2 = – q φ2 < 0．

对+q ：电势能增加了q φl ，所以电场力做负功W 1 = q φl ，所以电场力做正功W 2 = q φ2．电场力做的总功 W = W 1 + W 2 = – q (φl – φ2)，因两板间的场强 E = U /d = Q /Cd ，故两板间的电势差又可表示为φl – φ2 = El = Ql /Cd ，所以W = – Qql /Cd ．

4汽车牵引力做功问题

当机车启动时，不管是启动还是匀速运动过程，只要我们知道某过程的恒定功率或平均功率，就可以计算在该过程的功W = Pt （P 为平均功率）．

+Q 图3 – q – Q + q