第0章 矢量分析及场论基础-2
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Find the contour plane at the point M(1,0,1).
等值面：了解标量场的分布情况 但只能大致了解标量φ在场中的整体分布情况。 而要详细地研究标量场，还必须对它的局部状态进行
深入分析，也就是要考察标量φ在场中各点处的邻域 内沿每一方向的变化情况。
分布在标量场中各点处的数量φ的分布情况，常常 需要考察场中有相同物理量的点，也就是使φ(x,y,z) 取相同数值的各点：
φ(x,y,z)=const -constant
此式在几何上一般表示一个曲面，称为标量场的等
值面。不同的值，可获得一系列等值面，从而直观
地描绘了该标量场的空间分布状态。
P
假如我们位于山脚处的P点， 可以看出在不同的 方向上山势的陡缓各不相同。
标量场 φ 在 P0 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
在直角坐标系中，
l P0
l
lim (P) (P0 )
l P0 Δl0
Δl
Δl P
φ P0
x y z
grad
ex
x
ey
y
ez
z
It is a common practice to write this gradient of φ(x,y,z) as , where , called del or nabal, is referred to as the gradient operator. The gradient of a scalar function φ(x,y,z) is
ex
x
ey
百度文库
y
ez
z
The gradient operator itself can be written in rectangular coordinates as
ex
x
ey
y
ez
z
P
1.It is normal to the surface on which the given function is constant.
2.It points in the direction in which the given function changes most rapidly with position.
3.Its magnitude gives the maximum rate of change of the given function per unit distance.
The gradient of a scalar function
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分 布的情况具有很大的意义。
对于标量场，其分布可以形象地应用等值面(contour plane/isosurface)来描绘。
The surface on which the given function is constant.
为此，引入方向导数的概念。 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该
点沿某一方向上的变化率。 The rate of change of a scalar function along the
direction.
In a scalar field, the magnitude of the scalar may vary with position, and the spatial rate of change of the scalar would be different for different directions. To describe this property of a scalar field, the directional derivative is required.
必要更不可能研究所有方向的变化率。 实际中，只关心沿哪一个方向变化率最大，此变化率是
多少？
P
不同的方向上山势的陡缓各不相同，那么，哪个方向最
陡，即φ 的变化率最大呢？
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方 向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的 方向。可见，梯度是一个矢量。
在直角坐标系中，标量场 φ 的梯度可表示为
l P0 x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
cos,cos,cos ：方向余弦
方位向矢导 量数 为的el 数, 值与所选取的方向 dl 有关，该方向的单
el
cos ex
cos ey
cos ez
4.The directional derivative of a function at a point in any direction is equal to the dot product of the gradient of the function and the unit vector in that direction.
Given a scalar
ux, y, z x2 y2
z
Find the directional derivative at the point
M(1,0,1), along the direction
l
ex
2ey
2ez
方向导数：标量场在给定点沿某个方向的变化率问题。 但从场中的给定点出发，可以有无穷多个方向，通常不
若 φ 仅是(x,y)的二维函数， 则φ(x,y)=const ，的曲线称为等值线。 比如气象图上的等温线，地形图上的等高线或电场中的等位线。
等值面互不相交 场中的每一点只与一个等值面对应， 即经过场中的一个点只能作出一个等值面。
Given a scalar
x, y, z x y2 z
Given a scalar
x, y, z x2 y y2z 1
Find the maximum of the directional derivative at the point (2,1,3).
等值面：了解标量场的分布情况 但只能大致了解标量φ在场中的整体分布情况。 而要详细地研究标量场，还必须对它的局部状态进行
深入分析，也就是要考察标量φ在场中各点处的邻域 内沿每一方向的变化情况。
分布在标量场中各点处的数量φ的分布情况，常常 需要考察场中有相同物理量的点，也就是使φ(x,y,z) 取相同数值的各点：
φ(x,y,z)=const -constant
此式在几何上一般表示一个曲面，称为标量场的等
值面。不同的值，可获得一系列等值面，从而直观
地描绘了该标量场的空间分布状态。
P
假如我们位于山脚处的P点， 可以看出在不同的 方向上山势的陡缓各不相同。
标量场 φ 在 P0 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
在直角坐标系中，
l P0
l
lim (P) (P0 )
l P0 Δl0
Δl
Δl P
φ P0
x y z
grad
ex
x
ey
y
ez
z
It is a common practice to write this gradient of φ(x,y,z) as , where , called del or nabal, is referred to as the gradient operator. The gradient of a scalar function φ(x,y,z) is
ex
x
ey
百度文库
y
ez
z
The gradient operator itself can be written in rectangular coordinates as
ex
x
ey
y
ez
z
P
1.It is normal to the surface on which the given function is constant.
2.It points in the direction in which the given function changes most rapidly with position.
3.Its magnitude gives the maximum rate of change of the given function per unit distance.
The gradient of a scalar function
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分 布的情况具有很大的意义。
对于标量场，其分布可以形象地应用等值面(contour plane/isosurface)来描绘。
The surface on which the given function is constant.
为此，引入方向导数的概念。 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该
点沿某一方向上的变化率。 The rate of change of a scalar function along the
direction.
In a scalar field, the magnitude of the scalar may vary with position, and the spatial rate of change of the scalar would be different for different directions. To describe this property of a scalar field, the directional derivative is required.
必要更不可能研究所有方向的变化率。 实际中，只关心沿哪一个方向变化率最大，此变化率是
多少？
P
不同的方向上山势的陡缓各不相同，那么，哪个方向最
陡，即φ 的变化率最大呢？
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方 向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的 方向。可见，梯度是一个矢量。
在直角坐标系中，标量场 φ 的梯度可表示为
l P0 x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
cos,cos,cos ：方向余弦
方位向矢导 量数 为的el 数, 值与所选取的方向 dl 有关，该方向的单
el
cos ex
cos ey
cos ez
4.The directional derivative of a function at a point in any direction is equal to the dot product of the gradient of the function and the unit vector in that direction.
Given a scalar
ux, y, z x2 y2
z
Find the directional derivative at the point
M(1,0,1), along the direction
l
ex
2ey
2ez
方向导数：标量场在给定点沿某个方向的变化率问题。 但从场中的给定点出发，可以有无穷多个方向，通常不
若 φ 仅是(x,y)的二维函数， 则φ(x,y)=const ，的曲线称为等值线。 比如气象图上的等温线，地形图上的等高线或电场中的等位线。
等值面互不相交 场中的每一点只与一个等值面对应， 即经过场中的一个点只能作出一个等值面。
Given a scalar
x, y, z x y2 z
Given a scalar
x, y, z x2 y y2z 1
Find the maximum of the directional derivative at the point (2,1,3).