运筹学对偶原理

目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
几种形式的对偶关系
max z=CTX s.t. AX ≤b X ≥0 max z=CTX s.t. AX=b X ≥0 min z=CTX s.t. AX≤b X ≥0 min w=bTY s.t. ATY ≥C Y ≥0 min w=bTY s.t. ATY ≥C Y：自由 max w=bTY s.t. ATY≤C Y ≤0
x1
1 0 3 3
x2
0 2 4 5
目标函数 Max z=3x1+5x2
约束条件
x1
s.t.
8
2x2 12
3x1 +2x2 36 x1，x2 0
设有，y1 ,y2 , y3 分别为出售A，B，C工时所得 利润（百元/工时），w为总盈利额（百元）
对偶的定义
线性规划问题在形式上，可以形成一对对称 问题，对任何线性规划求最大值问题，都有 一个与之对称的求最小值问题，这两个有关 的约束条件的系数矩阵，具有相同的数据， 仅形式互为转置，并且目标函数与约束右端 项互换，其目标函数的最优值也是彼此相等 的，我们把线性规划的这个对称问题称为对 偶问题。
对偶的定义
min w=bTY s.t. ATY≥C Y ≥0
min z’=-CTX
max w`=-bTY 对偶的 定义 s.t. -ATY ≤-C Y≥0
s.t. -AX ≥ -b X ≥0
•2 弱对偶性：极大化原问题 的任一可行解的目标函数值， 不大于其对偶问题任意可行解 的目标函数值 • 3 最优性：X°、Y°分别为 原问题与对偶问题的可行解， 且CX°=Y°b，则两者均为最优 解。
目标函数 Max z =3x1+5x2
约束条件
x1 +
x3
2x2 +x4
+x5
，
=8
s.t.
=12
= 36
3x1 +2x2 x1，x2 ，x3，x4
x5 0
3.4 对偶单纯形法
由于单纯形法表格同时给出原始、对偶问题的 互补基本解,引出对偶单纯形法的思路 P84
3.4.1 规范对偶单纯形法
计算步骤 P85
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0 ■用影子价格与市场价格相比较，帮助决策是否买入该资 源
目标函数 Max z =3x1+5x2 约束条件 x1 + s.t. 8 2x2 12 3x1 +2x2 36 x 1， x 2 0
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0
•例题 minZ=3x1+2x2-6x3+x5 2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7 x 1+ 2x3 -x4 ≤4 -x1+3x2 -x4+ x5 =-2 x1，x2，x3 ≥0; x4 ≤ 0;x5无限制
•P 77
4
对偶定理：LP问题的P和D问题
1）若一个问题有最优解，则另一问题也 有最优解，且目标函数值相等。
2） 原问题无界，对偶问题无可行解。
5 兼容性
原始问题的检验矢给出对偶问题的一个基本解
6、原始问题和对偶问题最优解之间的 互补松弛关系
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
引进松弛变量 对偶
max y=bTY s.t. ATY≤C Y≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS≥0
X，Xs
max y=bTY s.t. ATY+YS=C Y, YS≥0
Y，Ys
XTYS=0 YTXS=0
互补松弛关系
原始问题的变量
x1 xj
原始问题的松弛变量
xn xn+1 xn+i xn+m
求对偶问题
min Z 4 x1 2 x2 3x3
4 x1 5 x 2 6 x3 7 8 x 9 x 10x 11 1 2 3 14 12x1 13x 2 x1 0, x 2 符号不限, x3 0
maxW 7 y1 11y2 14y3
3.1.2 对偶关系
原始问题
关系1 规范对偶关系
对偶问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b X ≥0
max P1 m A CT
min w=bTY s.t. ATY ≥C Y ≥0
对称对偶
min bT 对 D1 偶 问 题
≤ b
n
AT
≥
C
n
原始问题 Primal problem m Dual problem
消耗的资源（吨）
b1 b2 x nm b m x nm 0
x2
xn x n 1
a m1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n x1 x n2
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
3.3 对偶的经济解释
b1 W=yb=(y1 … ym ) = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym …
对偶问题为:
x2 ≥ 0
Min w = 8y1 + 4y2 2y1 + 0 y2 ≥ 1 2y1 + 2 y2 ≥ 2
y1 ,
y2 ≥0
Cj Cb 0 0
0
xB x3 x4 x3 x2
b
8 4 0 4 2
4
1 源自文库1 2 0
-1 y3 2 0 y3 1 0 y3 0 -1
2 x2 2 2
-2 y4 0 1 y4 0 1 y4 0 0
3.5 交替单纯形法
关系2
标准性LP问题的对偶关系
非 对 称 对 偶
Y 自 由
关系3 一般对偶关系
关系3 一般对偶关系 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=” 决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
bm
bi ： 第 i 种资源的数量 yi ：对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数 的增量 Z= bi yi
Z = bi
yi
对偶解y：b 的单位改变量所引起的目标函数 改变量。也为第I种资源的边际价值(影子价 格)
z`=421/2 Z
对偶变量的经济解释
(影子价格(Shadow Price)
y1
yi ym ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
[例4] 求解下列LP问题，并给出对偶问题的最优解 Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 0 x 1 + 2 x2 ≤ 4 x1 ,
0 x3 1 0
0 y1 1 0 0 y1 1/2 0 y1 1/2
0 x4 0 1
0 y2 -1 1/2 1 y2 -1/2 1/2 y2 1/2
8/2=4 4/2=2 Min 4/2=2 /
2 1
2
x1 x2
2 2
6
最优解为: x1=2, x2=2, x3=0, x4=0 y1=1/2, y2 =1/2, y3 =0, y4 = 0
3.3 对偶的经济解释
原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1 x 1 c 2 x 2 c 2 x 2 s.t. a 11x 1 a 12 x 2 a 1n x n x n 1 a 21x 1 a 22 x 2 a 2 n x n x n2
第三章 对偶原理
3.1 LP的对偶关系
DUAL
3.1.1问题的提出 例1:某工厂拥有A、B、C三个车间，生产甲、 乙两种产品。每件产品在生产中需要占用生 产能力时数，每件产品可以获得的利润以及 三个车间可利用的时数如下表所示：
产品甲 产品乙 生产能力 （工时/天） 8 12 36
A B C
利润（百元/件）
max ω=7y1+4y2-2y3 2y1+ y2- y3 ≤3 y1 +3y3 ≤2 -4y1+ 2y2 ≤-6 y1 -y2 -y3 ≥ 0 3y1 +y3=1 y1 ≥ 0y2 ≤ 0y3 无约束
3.2 对偶问题的基本性质
• 1 对称性：对偶问题的对偶问题 是原问题
对偶的对偶就是原始问题
max z=CTX s.t. AX ≤ b X ≥0