电磁场的高斯定律及电流连续性方程

小结：
1、电场的高斯定律
D dS S
V V dV
2、磁场的高斯定律 3、电流连续性方程
S B dS 0
S
JC
dS
V
V dV
t
3、电流连续性方程
封闭曲面内的总电荷为： Q V V dV
流出封闭曲面的电流为： IC S JC dS
从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率。
dQ 则 ： IC dt
S
JC
dS来自百度文库
V
V
t
dV
——麦克斯韦第五方程。
该式的物理意义：从封闭曲面流出的电流，必然等于该封闭曲面内正 电荷的减少率，反之亦然。
q
y
E dS n qi
S
i1 0
r
x
如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则：
E dS 1
S
0
V V dV
已知：
E dS 1
S
0
V V dV
D 0E
D dS S
V V dV
——麦克斯韦第三方程。
该式的物理意义：穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面 所包围的总电荷量。
例：一均匀带电球壳，电荷密度为 0 ，球壳内外半径分别为a、b，
V
V dV
0
(
4 3
πb3
4 3
πa3 )
4 3
π0 (b3
a3
)
0 Ra
b
可得：
D3
0
(b3 3R2
a3 ) aˆR
2、磁场的高斯定律
根据磁场线的连续性： B dS 0 ——麦克斯韦第四方程。 S
该式的物理意义： 通过任何闭合曲面的磁通量恒为零。磁场线总是连续的，它
不会在闭合曲面内积累或中断，故称磁通连续性原理。
求：各区域中的电位移矢量 D 。
解：如图，选球坐标系，由于球壳内均匀 带电，所产生的电场具有中心对称性。
0
a
（1）Ra 区域
b
取半径为 R 的球面为高斯面，根据电高斯定律:
S D1 dS V VdV 0
可得： D1 0
（2）a Rb 区域
取半径为 R 的球面为高斯面，根据电高斯定律:
S D2 dS V V dV
0
a
R
S D2 dS S D2 R2 sinddaˆR D2R 4πR2
b
V
V dV
0
(
4 3
πR3
4 3
πa 3)
4 3
π0(R3
a3
)
可得：
D2
0
(R3 3R2
a3 ) aˆR
（3）R b 区域
同理取半径为 R 的球面为高斯面，根据电高斯定律:
S D3 dS V V dV
S D3 dS S D3 R2 sin ddaˆR D3R 4πR2
2.9 电磁场的高斯定律和电流连续性方程
1、电场的高斯定律 2、磁场的高斯定律 3、电流连续性方程
1、电场的高斯定律
若以点电荷q为中心，做一半径为R 的球面，则电场强度穿出该球
面的通量为：
z
E dS S
2π 0
π 0
q
40R2
aˆR
aˆRR2
sindd
q
0
dS
如果闭合曲面内包含n个点电荷，则：