第讲导数的综合应用PPT课件

(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
A．1 个
图 4－3－1
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取极值，
则 a＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．函数 f(x)＝12x－x3 在区间[－3,3]上的最小值是__－__1_6__. 5．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为__y_＝__3_x_＋__1.
考点1 求参数的范围问题
例1：若f(x)＝－
1 2
x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则
b的取值范围是 (
)
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
解析：∵f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)＝－x＋
b x＋2
3．平面图形面积的最值问题 此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然后 运用导数方法求最值．上述三类问题，在近几年的高考中都是综 合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注重考查 综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视． 4．利用导数解决生活中的优化问题 优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决． 用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步骤如 下：
(3)当 a＝1 时，f(x)＝1－x x＋lnx，f′(x)＝x－x21，故 f(x)在[1， ＋∞)上为增函数．
当 n>1 时，令 x＝n－n 1，则 x>1，故 f(x)>f(1)＝0.
三次)；会求闭区间上函数的最大 载体的实际应用题，主要是首
值、最小值(其中多项式函数一般 先建立所求量的目标函数，再
不超过三次)．
利用导数进行求解；(3)灵活应
3．会利用导数解决某些实际问题. 用函数图象与性质等.
1．求参数的取值范围 与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大多 给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，解 题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法， 建立关于字母参数的不等关系． 2．用导数方法证不等式 用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调性 或最值→得出不等关系→整理得出结论．
1．已知物体自由落体的运动方程 s＝12gt2(其中 g＝10 m/s2)，
则物体在 t＝3 s 的瞬时速度为( A )
A．30
B．40
C．Βιβλιοθήκη Baidu5
D．50
2．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b) 内的图象如图 4－3－1，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 ( A)
<0在(－1，＋∞)上恒成立，即b<x(x＋2)
在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>－1.
∴当b≤－1时，b<x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
即f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．
答案：C
【互动探究】 1．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a. (1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)， 因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m， 即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34， 即m的最大值为－34.
(2)当 a＝1 时，f′(x)＝x－x21. ∴当 x∈12，1时，f′(x)<0，故 f(x)在 x∈12，1上单调递减； 当 x∈(1,2]时，f′(x)>0，故 f(x)在 x∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间12，2上有唯一极小值点， 故 f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.
第3讲 导数的综合应用
考纲要求
考纲研读
1.能利用导数研究函数的单调性， 备考时要特别注意三次函数、 会求函数的单调区间(其中多项式 指数函数与对数函数(以 e 为底)
函数一般不超过三次)．
的综合题．主要题型：(1)利用
2．会用导数求函数的极大值、极 导数研究函数的单调性、极值
小值(其中多项式函数一般不超过 与最值问题；(2)考查以函数为
又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y＝f(x)，即将优化问题 归结为函数最值问题；
(2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0 的点的函数值大小，最 大者为最大值，最小者为最小值； (4)检验作答，即获得优化问题的答案．
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.