中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第六节二次函数的实际应用精练试题

第六节 二次函数的实际应用

1．(2016郴州中考)某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg ，每千克可盈利6元．为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20 kg .

(1)设每千克水果降价x 元，平均每天盈利y 元，试写出y 关于x 的函数表达式；

(2)若要平均每天盈利960元，则每千克降价多少元？

解：(1)y ＝(200＋20x)(6－x)，即y ＝－20x 2－80x ＋1 200；(2)令y ＝960，得－20x 2

－80x ＋1 200＝960，即x 2＋4x －12＝0.解得x 1＝2或x 2＝－6(舍去)．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．

2．(2016绍兴中考)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6 m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m 时，透光面积最大值约为1.05 m 2.

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m ，利用图3，解答下列问题：

(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？

(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

解：(1)由已知可得：AD ＝45，∴S＝45 m 2；(2)设AB ＝x m ，则AD ＝3－47x ，∵3－47x>0，∴0

为S ，由已知得S ＝AB·AD＝x(3－47x)＝－47x 2＋3x ＝－47(x －76)2＋79，当x ＝76时，且x ＝76在0

值＝79 m 2>1.05 m 2

，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

3．(2016内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m (如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m .

(1)若苗圃园的面积为72 m 2

，求x ；

(2)若平行于墙的一边长不小于8 m ，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m 2时，直接写出x 的取值范围．

解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)m .依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x 2

－15x ＋36＝0.解得x 1

＝3，x 2＝12；(2)依题意，得8≤30－2x ≤18.解得6≤x ≤11.面积S ＝x(30－2x)＝－2(x －215)2＋2225(6≤x ≤

11)．①当x ＝215时，S 有最大值，S 最大＝2225；②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88；(3)5≤x ≤

10.

4．(2016枣庄中考)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F

的反比例函数y ＝x k (k ＞0)的图象与BC 边交于点E.

(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的表达式；

(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？

解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B(3，2)，∵F 为AB 的中点，∴F(3，1)，∵点F 在反比例函数y ＝x k 的图象上，∴k＝3，∴该函数的表达式为y ＝x 3；(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(2k ，2)，F(3，3k )，

∴S △EFA ＝21AF·BE＝21×3k (3－2k )＝－121k 2＋21k ＝－121(k －3)2＋43，∴当k ＝3时，S 有最大值，S 最大值＝43.

5．(2016襄阳中考)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y ＝－x ＋80（60≤x ≤70）.－2x ＋140（40≤x<60），

(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价(元/件)的函数表达式；

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．

解：(1)W ＝－x2＋110x －2 400（60≤x ≤70）；－2x2＋200x －4 200（40≤x<60），(2)由(1)知，当40≤x<60时，W ＝－2(x －50)2＋800.∵－

2<0，，∴当x ＝50时，W 有最大值800.当60≤x ≤70时，W ＝－(x －55)2＋625.∵－1＜0，∴当60≤x ≤70时，W 随x 的增大而减小．∴当x ＝60时，W 有最大值600.∵800>600，∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40≤x ＜60时，令W ＝750，得－2(x －50)2＋800＝750，解得x 1＝45，x 2＝55.由函数W ＝－2(x －50)2＋800的性质可知，当45≤x ≤55时，W ≥750.当60≤x ≤70时，W 最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x ≤55.

6．(2016随州中考)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(1≤x ≤90，且x 为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．

时间x(天)

1 30 60 90 每天销售量p(件)

198 140 80 20

(1)求出w 与x 的函数关系式；