滑动平均模型
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此时 MA(q ) 为平稳的 故可得出 ε t 对 {xt } 的依赖关系 即
ε t = β −1 ( B) xt = ∑ ϕ j B j xt = ∑ ϕ j xt − j = lim ∑ ϕ j xt − j
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t +k ε t −i )
i =1
q
由于 {ε t } 是一白噪声序列 故知当 k 对于任意的 1 ≤ k
显然 对于模型 2.2.1 式 可改写为 2.2.2
xt + β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q = ε t
则可视为 ε t 的 AR( q ) 序列 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t + k ε t − i )
i =1
q
17
= ∑ β i β i + k E (ε
i =1
q −k
2 t −i
) + 0 − β k E (ε ) + 0 = [∑ β i β i + k − β k ]σ 2
2 t i =1
q−k
q ⎧ 2 + σ β i2 ) ( 1 ∑ ⎪ i =1 ⎪ q−k ⎪ 2 因此有 γ k = C ( k ) = ⎨σ ( − β k + ∑ β i β i + k ) i =1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 = (1 − β 1 B − β 2 B )ε t
故 ε t = (1 − β 1 B − β 2 B ) xt =
−1
∑ψ
j =0
∞
j
xt − j
其中系数ψ j 利
用前段结果得出 此即为 MA( 2) 序列 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 的逆转形式
i =1 j =1 q q ⎛ q q ⎞ ⎜ = E ⎜ ∑∑ β i β j ε t −i ε t + k − j + ε t ε t + k − ∑ β j ε t ε t + k − j − ∑ β i ε t + k ε t −i ⎟ ⎟ i =1 j =1 ⎝ i =1 j =1 ⎠
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
)
β 1 ± β 12 + 4 β 2 − 2β 2
则 β 1 β 2 需满足条件 β 2 ± β 1 < 1
| u 2 |> 1
| β 2 |< 1
见下
β2 1
-2
-1 -1
1
2
β1
例如 MA(2) 模型 xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.3ε t − 2 的系数多项式
β (u ) = 1 − 1.2u + 0.3u 2
系数多项式 β (u ) = 1 − β u = 0 的根在单位圆外 即 其根的绝对值 | u |=| 此时 MA(1) 为可逆模型 如 MA(1) 模型 xt = ε t − 0.8ε t −1 中系数 β = 0.8 < 1 故为可逆模型
1
β
|> 1 显见 若 | β |< 1 时 则 | u |> 1
> q 时 上述四项均为 0 即 γ k = 0
q
≤ q时
xt + k = ε t + k − ∑ β j ε t + k − j
j =1 q q
γ k = C (k ) = E ( xt xt + k ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t + k − ∑ β j ε t + k − j )]
k =−q
∑γ
q
k
e ikλ ≥ 0 − π ≤ λ ≤ π
2.2.6
那么 将自协方差值 C (0), C (1), L , C (q ) 代入 2.2.3 式 则 2.2.3 式
18
必存在实数解 β 1 , β 2 , L , β q 及 σ 2 (> 0)
且保证系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
q q
γ 0 = C (0) = E ( xt xt ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t − ∑ β j ε t − j )]
i =1 j =1
16
q q ⎛ q q ⎞ 2 ⎜ = E ⎜ ∑∑ β i β j ε t −i ε t − j + ε t − ∑ β j ε t ε t − j − ∑ β i ε t ε t −i ⎟ ⎟ j =1 i =1 ⎝ i =1 j =1 ⎠ q q ⎛ q 2 ⎞ = ∑∑ β i β j E (ε t −i ε t − j ) + E (ε t2 ) = σ 2 ⎜ ⎜ ∑ β i + 1⎟ ⎟ i =1 j =1 ⎝ i =1 ⎠
q
∑β
k =1
q
k
Bk
则
2.2.1 可表示为
xt = ε t − ∑ β k ε t − k = β ( B)ε t
k =1
(2.2.1)′
显然 序列 {xt } 为形如 xt =
∑
j =0
∞
a j ε t − j 的平稳时间序列,其中
j = −∞
∑a
∞
2 j
< +∞
α 0 = 1,α 1 = − β 1 ,α 2 = − β 2 ,L,α q = − β q , α n = 0, n ≥ q + 1
例 2.2.4 试确定 MA(2) 模型 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 为可逆的
MA(1) 模型的条件
19
解 因为系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 = 0
u=
若须 | u1 |> 1 图所示
(β u
2
2
+ β 1u − 1 = 0 的根为
的根为
u=
=2±
即
1.2 ± 1.22 − 4 × 0.3 1.2 ± 0.24 = 0.6 0.6
0.24 = 2 ± 0.82 0.6
u 2 = 1.18 均大于 1 因此它为可逆的 MA(2) 模型 xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.8ε t − 2 的系数多项式
u1 = 2.82
cos θ =
0.75 1.12
sin θ = i = 1, 2
0.83 1.12
| u i |= 1.12 > 1
xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.8ε t − 2
亦是可逆 MA(2) 模型
2. MA(q ) 模型的可逆条件 如果 MA(q ) 模型
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q
此时即可利用 2.2.1 的逆转形式与前段结果t = ∑ a j xt − j
j =0
∞
所以以下主要探讨滑动平均序列 MA( q ) 的可逆性问题 例 2.2.1 试确定 MA(1) 序列 xt = ε t − βε t −1 的逆转形式 解 因为 x t = ε t − βε t −1 = (1 − β B ) ε t 故
对于任意的 k
> q 时 xt + k = ε t + k − ∑ β j ε t + k − j
j =1 q q
q
γ k = C (k ) = E ( xt xt + k ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t + k − ∑ β j ε t + k − j )]
i =1 j =1 q q ⎛ q q ⎞ ⎟ β β ε ε ε ε β ε ε β ε ε = E⎜ + − − ∑∑ ∑ ∑ i j t − i t + k − j t t + k j t t + k − j i t + k t − i ⎜ i= j= ⎟ j = i = 1 1 1 1 ⎝ ⎠
为可逆的 即其系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
的根都在单位圆外 依照前节自回归模型知识 上式 {xt } 的 MA(q ) 模型可 视为 {ε t } 的自回归模型 AR(q ) 模型 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
2.2 滑动平均模型
一 滑动平均模型的定义
定义 2.2.1 设 {ε t } 是一白噪声序列 时间序列 {xt } 满足
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q
2.2.1
则称 {xt } 为 q 阶滑动平均序列 Moving Average series of order q 简称为 MA(q)序列 若令滑动平均算子为 β ( B ) = 1 −
又如 MA(2) 模型
β (u ) = 1 − 1.2u + 0.8u 2
的根为
u=
1.2 ± 1.2 2 − 4 × 0.8 1.2 ± − 1.76 = 2 × 0.8 1.6
20
= (1.2 ± 1.76i ) / 1.6 = 0.75 ± 0.83i = 1.12e iθ
其中 易见 即说明
∀ | k |> q, C (k ) = 0
则称此自协方差函数在 q 后截尾 对于 MA(q ) 序列而言 存在下述定理 定理 2.2.1 一个自协方差函数列 {C (k )} 方差函数列的充要条件是 证略
2.2.5
成为某个 MA(q ) 序列的自协
{C (k )} 在 q 后截尾
这个定理给出了判断 MA(q ) 序列的自协方差序列的充要条件 也即是 说自协方差函数在 q 后截尾是 MA(q ) 序列的典型特征条件 据此结论 可得出关于 解 推论 2.2.1 若自协方差函数 {γ k } 在 q 后截尾 且 γ k = C ( k ) 满足条件 2.2.3 式的系数 β 1 , β 2 , L , β q 和 {εt }的实数
的根在单位圆外 且其解具有唯一性 从上可见 自协方差函数 C (0), C (1), L , C (q ) 对其参数
β 1 , β 2 , L , β q 和 σ 2 的相互依赖关系 这在寻求 MA(q ) 模型的统计方法时
具有重要的实际意义
三
1
可逆的 MA(q) 模型
可逆的 MA(q ) 模型 设 MA(q ) 模型 xt = ε t − β1ε t −1 − β 2ε t − 2 − L − β qε t − q 的系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
的根都在单位圆外 则称此 MA(q ) 模型为可逆的 MA(q ) 模型 相应的序列
{xt } 称为可逆 MA(q ) 序列
例 2.2.3 试确定 MA(1) 模型 xt = ε t − βε t −1 为可逆的 MA(1) 模型的条 件 解 若 xt = ε t − βε t −1 为可逆的 MA(1) 模型 则它必须满足条件
j
εt =
1 = 1 − βB
∑ ( βB ) j xt =
j =0
∞
∑β
j=0
∞
xt− j
为 MA(1) 序列 xt = ε t − βε t −1 的逆转形式 例 2.2.2 试确定 MA( 2) 序列 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 的逆转形式 解
MA(2) 序列为
二
MA(q ) 序列的自协方差函数
1. 自协方差函数与自相关函数 由 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q 令 β 0 = 1 β k = 0, k ≥ q + 1 则 xt = ε t −
∑β ε
j j =1
q
t− j
对于 k=0 时
k =0 1≤ k ≤ q k>q
2.2.3
相应的可得其自相关函数为
⎧1 ⎪ q q−k ⎪ ρ (k ) = ⎨(− β k + ∑ β i β i + k )(1 + ∑ β i2 ) −1 i =1 i =1 ⎪ ⎪ ⎩0
2. 自协方差函数的截尾性
k =0 1≤ k ≤ q k>q
2.2.4
定义 2.2.2 若平稳序列 {xt } 的自协方差函数 {C (k )} 满足条件
ε t = β −1 ( B) xt = ∑ ϕ j B j xt = ∑ ϕ j xt − j = lim ∑ ϕ j xt − j
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t +k ε t −i )
i =1
q
由于 {ε t } 是一白噪声序列 故知当 k 对于任意的 1 ≤ k
显然 对于模型 2.2.1 式 可改写为 2.2.2
xt + β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q = ε t
则可视为 ε t 的 AR( q ) 序列 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t + k ε t − i )
i =1
q
17
= ∑ β i β i + k E (ε
i =1
q −k
2 t −i
) + 0 − β k E (ε ) + 0 = [∑ β i β i + k − β k ]σ 2
2 t i =1
q−k
q ⎧ 2 + σ β i2 ) ( 1 ∑ ⎪ i =1 ⎪ q−k ⎪ 2 因此有 γ k = C ( k ) = ⎨σ ( − β k + ∑ β i β i + k ) i =1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 = (1 − β 1 B − β 2 B )ε t
故 ε t = (1 − β 1 B − β 2 B ) xt =
−1
∑ψ
j =0
∞
j
xt − j
其中系数ψ j 利
用前段结果得出 此即为 MA( 2) 序列 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 的逆转形式
i =1 j =1 q q ⎛ q q ⎞ ⎜ = E ⎜ ∑∑ β i β j ε t −i ε t + k − j + ε t ε t + k − ∑ β j ε t ε t + k − j − ∑ β i ε t + k ε t −i ⎟ ⎟ i =1 j =1 ⎝ i =1 j =1 ⎠
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
)
β 1 ± β 12 + 4 β 2 − 2β 2
则 β 1 β 2 需满足条件 β 2 ± β 1 < 1
| u 2 |> 1
| β 2 |< 1
见下
β2 1
-2
-1 -1
1
2
β1
例如 MA(2) 模型 xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.3ε t − 2 的系数多项式
β (u ) = 1 − 1.2u + 0.3u 2
系数多项式 β (u ) = 1 − β u = 0 的根在单位圆外 即 其根的绝对值 | u |=| 此时 MA(1) 为可逆模型 如 MA(1) 模型 xt = ε t − 0.8ε t −1 中系数 β = 0.8 < 1 故为可逆模型
1
β
|> 1 显见 若 | β |< 1 时 则 | u |> 1
> q 时 上述四项均为 0 即 γ k = 0
q
≤ q时
xt + k = ε t + k − ∑ β j ε t + k − j
j =1 q q
γ k = C (k ) = E ( xt xt + k ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t + k − ∑ β j ε t + k − j )]
k =−q
∑γ
q
k
e ikλ ≥ 0 − π ≤ λ ≤ π
2.2.6
那么 将自协方差值 C (0), C (1), L , C (q ) 代入 2.2.3 式 则 2.2.3 式
18
必存在实数解 β 1 , β 2 , L , β q 及 σ 2 (> 0)
且保证系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
q q
γ 0 = C (0) = E ( xt xt ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t − ∑ β j ε t − j )]
i =1 j =1
16
q q ⎛ q q ⎞ 2 ⎜ = E ⎜ ∑∑ β i β j ε t −i ε t − j + ε t − ∑ β j ε t ε t − j − ∑ β i ε t ε t −i ⎟ ⎟ j =1 i =1 ⎝ i =1 j =1 ⎠ q q ⎛ q 2 ⎞ = ∑∑ β i β j E (ε t −i ε t − j ) + E (ε t2 ) = σ 2 ⎜ ⎜ ∑ β i + 1⎟ ⎟ i =1 j =1 ⎝ i =1 ⎠
q
∑β
k =1
q
k
Bk
则
2.2.1 可表示为
xt = ε t − ∑ β k ε t − k = β ( B)ε t
k =1
(2.2.1)′
显然 序列 {xt } 为形如 xt =
∑
j =0
∞
a j ε t − j 的平稳时间序列,其中
j = −∞
∑a
∞
2 j
< +∞
α 0 = 1,α 1 = − β 1 ,α 2 = − β 2 ,L,α q = − β q , α n = 0, n ≥ q + 1
例 2.2.4 试确定 MA(2) 模型 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 为可逆的
MA(1) 模型的条件
19
解 因为系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 = 0
u=
若须 | u1 |> 1 图所示
(β u
2
2
+ β 1u − 1 = 0 的根为
的根为
u=
=2±
即
1.2 ± 1.22 − 4 × 0.3 1.2 ± 0.24 = 0.6 0.6
0.24 = 2 ± 0.82 0.6
u 2 = 1.18 均大于 1 因此它为可逆的 MA(2) 模型 xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.8ε t − 2 的系数多项式
u1 = 2.82
cos θ =
0.75 1.12
sin θ = i = 1, 2
0.83 1.12
| u i |= 1.12 > 1
xt = ε t − 1.2ε t −1 + 0.8ε t − 2
亦是可逆 MA(2) 模型
2. MA(q ) 模型的可逆条件 如果 MA(q ) 模型
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q
此时即可利用 2.2.1 的逆转形式与前段结果t = ∑ a j xt − j
j =0
∞
所以以下主要探讨滑动平均序列 MA( q ) 的可逆性问题 例 2.2.1 试确定 MA(1) 序列 xt = ε t − βε t −1 的逆转形式 解 因为 x t = ε t − βε t −1 = (1 − β B ) ε t 故
对于任意的 k
> q 时 xt + k = ε t + k − ∑ β j ε t + k − j
j =1 q q
q
γ k = C (k ) = E ( xt xt + k ) = E[(ε t − ∑ β i ε τ −ι )(ε t + k − ∑ β j ε t + k − j )]
i =1 j =1 q q ⎛ q q ⎞ ⎟ β β ε ε ε ε β ε ε β ε ε = E⎜ + − − ∑∑ ∑ ∑ i j t − i t + k − j t t + k j t t + k − j i t + k t − i ⎜ i= j= ⎟ j = i = 1 1 1 1 ⎝ ⎠
为可逆的 即其系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
的根都在单位圆外 依照前节自回归模型知识 上式 {xt } 的 MA(q ) 模型可 视为 {ε t } 的自回归模型 AR(q ) 模型 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
2.2 滑动平均模型
一 滑动平均模型的定义
定义 2.2.1 设 {ε t } 是一白噪声序列 时间序列 {xt } 满足
xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q
2.2.1
则称 {xt } 为 q 阶滑动平均序列 Moving Average series of order q 简称为 MA(q)序列 若令滑动平均算子为 β ( B ) = 1 −
又如 MA(2) 模型
β (u ) = 1 − 1.2u + 0.8u 2
的根为
u=
1.2 ± 1.2 2 − 4 × 0.8 1.2 ± − 1.76 = 2 × 0.8 1.6
20
= (1.2 ± 1.76i ) / 1.6 = 0.75 ± 0.83i = 1.12e iθ
其中 易见 即说明
∀ | k |> q, C (k ) = 0
则称此自协方差函数在 q 后截尾 对于 MA(q ) 序列而言 存在下述定理 定理 2.2.1 一个自协方差函数列 {C (k )} 方差函数列的充要条件是 证略
2.2.5
成为某个 MA(q ) 序列的自协
{C (k )} 在 q 后截尾
这个定理给出了判断 MA(q ) 序列的自协方差序列的充要条件 也即是 说自协方差函数在 q 后截尾是 MA(q ) 序列的典型特征条件 据此结论 可得出关于 解 推论 2.2.1 若自协方差函数 {γ k } 在 q 后截尾 且 γ k = C ( k ) 满足条件 2.2.3 式的系数 β 1 , β 2 , L , β q 和 {εt }的实数
的根在单位圆外 且其解具有唯一性 从上可见 自协方差函数 C (0), C (1), L , C (q ) 对其参数
β 1 , β 2 , L , β q 和 σ 2 的相互依赖关系 这在寻求 MA(q ) 模型的统计方法时
具有重要的实际意义
三
1
可逆的 MA(q) 模型
可逆的 MA(q ) 模型 设 MA(q ) 模型 xt = ε t − β1ε t −1 − β 2ε t − 2 − L − β qε t − q 的系数多项式
β (u ) = 1 − β 1u − β 2 u 2 − L − β q u q
的根都在单位圆外 则称此 MA(q ) 模型为可逆的 MA(q ) 模型 相应的序列
{xt } 称为可逆 MA(q ) 序列
例 2.2.3 试确定 MA(1) 模型 xt = ε t − βε t −1 为可逆的 MA(1) 模型的条 件 解 若 xt = ε t − βε t −1 为可逆的 MA(1) 模型 则它必须满足条件
j
εt =
1 = 1 − βB
∑ ( βB ) j xt =
j =0
∞
∑β
j=0
∞
xt− j
为 MA(1) 序列 xt = ε t − βε t −1 的逆转形式 例 2.2.2 试确定 MA( 2) 序列 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 的逆转形式 解
MA(2) 序列为
二
MA(q ) 序列的自协方差函数
1. 自协方差函数与自相关函数 由 xt = ε t − β 1ε t −1 − β 2 ε t − 2 − L − β q ε t − q 令 β 0 = 1 β k = 0, k ≥ q + 1 则 xt = ε t −
∑β ε
j j =1
q
t− j
对于 k=0 时
k =0 1≤ k ≤ q k>q
2.2.3
相应的可得其自相关函数为
⎧1 ⎪ q q−k ⎪ ρ (k ) = ⎨(− β k + ∑ β i β i + k )(1 + ∑ β i2 ) −1 i =1 i =1 ⎪ ⎪ ⎩0
2. 自协方差函数的截尾性
k =0 1≤ k ≤ q k>q
2.2.4
定义 2.2.2 若平稳序列 {xt } 的自协方差函数 {C (k )} 满足条件