惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图
形的几何性质
一.重点及难点：
（一）.截面静矩和形心
1•静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA ，定义它对任意轴的 一次矩为它对该轴的静矩，即
dS y =xdA dSx 二 ydA
整个图形对y 、z 轴的静矩分别为
S y = A
XdA
（I ）
Sx ydA
、A
2. 形心与静矩关系
设平面图形形心C 的坐标为y C , z C
S x
S
y
y - ， x
（ I-2）
A
A
推论1如果y 轴通过形心（即x = 0），则静矩S y =0 ;同理，如果x 轴 通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o ；反之也成立。

推论2如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果 y 轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。

3. 组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为 A,A 2,A3……A n 的简单图形组成，且一直 各族图形的形心坐标分别为 丘局乂2*2；壬3,『3"…=，则图形对y 轴和x 轴 的静矩分别为
图I-1
则 0
S y = " S yi = '
A
i X
i
i 4 i 4
n
n
S x = ' S xi = '
A i y i
i 4
i 4
截面图形的形心坐标为
、' A i X i
4. 静矩的特征
（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

（2）静矩有的单位为m 3
（3）静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

⑷ 若已知图形的形心坐标。

则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已
知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。

组 合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。

（二）■惯性矩惯性积惯性半径
1. 惯性矩
定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p = A
'2dA
（1-5）
图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 「A X 2dA ， I x 「A y 2dA （ I-6）
惯性矩的特征
（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐 标轴
定义的。

（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4
(1-3)
、A i y i
(1-4)
（
3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即
I p「A r2dA= A（X2 y2）dA=l y J （ 1-7）
（5）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即
2. 惯性积
定义设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对y轴和
X轴的惯性积定义为
(I-9)
惯性积的特征
（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。

（2）惯性积的单位为m4o
（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。

若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。

但图形对某一
对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

n n n
I「八I Q ，I y 八I yi ，IX 八I xi
( I-8
（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一
坐标轴的惯性积之和，即
I xy 八 I xyi i 丄
3. 惯性半径
定义： 任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3）,则图形对y 轴
和x 轴的惯性半径分别定义为
惯性半径的特征
（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的 （2） 惯性半径的单位为m 。

（3） 惯性半径的数值恒取证之。

（三）■惯性矩和惯性积的平行移轴公式
平行移轴公式
l x "xc
a 2A
2
I y < yC b A
平行移轴公式的特征
（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）； x c ， y c 轴为图形的形 心轴；x ，y 轴为分别与x c ，y c 形心轴相距为a 和b 的平行轴。

（2） 两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或 形心x c ，
y c 为参考轴加以确定。

（3） 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但 图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

y
八
(I-10)
(1-11)
(1-12) I xy = I xCyC abA
(1-13)
I x
i I
y c
图1-4
（四）、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩 转轴公式
1
x + 1 y 1
x _ I y
I x cos2： -I xy si n2_：i
X1
2 2 xy
x y
I x 1
y 1
sin 2^"l xy cos2：
转轴公式的特征
（1） 角度〉的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴x 1,y 1，以逆时 针转向
者为正（图5）。

⑵ 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无 关。

（3） 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯
性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即
I :U' I I 川’I
x y
x1 yi
主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 0为坐标原点的坐 标轴X 。

、
y 的惯性积为零（扁0=
0），贝S 坐标轴X 。

、y 称为图形通过 点0的主惯性轴（图
6）。

截面图形对主惯性轴的惯性矩l x ,
,l y 0
，称为 主惯性矩。

主惯性轴、主惯性矩的确定
（1） 对于某一点0,若能找到通过点0的图形的对称轴，则以点 0 为坐标原
点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点
X C
y i
I x I y
cos 2^，I xy sin2工
的一对主惯性轴。

对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往 已知其通过自身形心轴的惯性矩。

于是，图形对通过点 0的主 惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。

（2） 若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点,
任作一坐标轴x ，y 为参考轴，并求出图形对参考轴 x ，y 的惯 性矩I xJy
和惯性积I xy 。

于是，图形通过点0的一对主惯性轴方 位及主惯性矩分别为
主惯性轴、主惯性矩的特征
（1） 图形通过某一点0至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势 图形对通过同一点0所有轴的惯性矩中最大和最小。

（2） 主惯性轴的方位角：-0，从参考轴x , y 量起，以逆时针转 向为正。

（3） 若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点 o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。

（4） 以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性 轴。

图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。

2I tan2： 0
x0 y0
2
xy (I-16)
(I-17)
xy -I y
I x I y
2
-I y 2
70
10
x —=10
45mm ， y
5mm
将其代入公式（I-4），即得截面形心C 的坐标为
AX - A —x —
37500 cc x
20mm
Aj + A 口 1900 Ay- A —y
75500
y
40mm
A [+A 口
1900
图1-5 图1-6
二.典型例题分析
例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的
x 轴的静矩。

解：计算此截面对于x 轴的静矩S x 时，可以去平行于x 轴的狭长条（见图）作为面 积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dA=b （y ）dy 。

由相似三角形关系，可知： b （y ） =b （h -y ）,因此有dA = b （h-y ）dy 。

将其代入公式（I-1 ）的第二式，即得 h
h
h
b h
S x 二 A ydA = 0 I （h _ y ）dy =b 0 ydy - 矩形？
2
A =10 120 =1200mm
-10 - 120 “
x 5mm ， y 60mm
1
2 1 2
矩形n
A- =10 70 = 700 mm 2
x
解：将截面分为？、n 两个矩形。

为计算方便，取x 轴和y 轴分别与界面的底边 和左边缘重合（见图）。

先计算每一个矩形的面积 A 和形心坐标（x i , y i ）如下: h 0 6
h
解题指导：此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心, 计算不规则
图形的形心。

*
10
/x i ?
y.
I x = I 2I x | I （ 1 ）
矩形对于x 轴的惯性矩为：
半圆形对于x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。

为此，先求出每个半圆形 对于与x 轴平行的形心轴X c （图b ）的惯性矩I xc 。

已知半圆形对于其底边的惯 ■TT 二
为
，其形心到底边的距离为 丿（图b ）。

故由平行移轴公式（I-10a ）, 8 3兀
可以求出每个半圆形对其自身形心轴 X c 的惯性矩为：
由图a 可知，半圆形形心到x 轴距离为a •空,故在由平行移轴公式，求得每个 半圆形
对于x 轴的惯性矩为:
y 120
80 图I -b
示截面对于对称轴X,轴的惯性矩』 一
个矩形和两个半圆形组成。

Ix I ，每一个半圆形对于 X 轴的惯性矩为I x fr 所给截面的惯性矩：
例1-3试求图 -c 所
解：此截面可以看作 设矩形对于x 轴的惯性矩为
,则由公式（I-11）的第一式可知,
3
d(2a)
12
3
80 200
12
4 4
= 5330 10 mm
(2)
性矩为圆形对其直径轴x （图b ）的惯性据之半，即
二d 4
0 “128
而半圆形的面积
■d 4 I xc =I^-(2d )2
A
( 3 兀
128
2 -d 2 2d )8
(3)
3■:
4
2 , , / 2d ? nd
2d 、2 闵
I x I xc (a ) A
()
11 3 兀
128 2 2 2
■ d ,d a 2ad 、
（
）
4 32 2 3a 二
将d=80mm 、a=100mm （图a ）代入式（4）,即得
兀（80）2 802 1002 2^100 x80
4
4
I x （ ） =3460 10 mm
11
4
32
2
3n
将求得的I x 和l x I 代入式（1）,便得
4 4
4
4
I x =5330 104
2 3460 10 = 12250 104
mm
解题指导：此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，禾U 用已有的规则图形的面积、 形心及对
自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合 截面形心的惯性矩。

xc
图l-c
截面直径（mJ
■: d 4
(a 竺严2
8
3 二
100
常用截面惯心
［计算公式
a=100
y -
2d
乂丿仔意义及单位
图I-c
d=80
截面对％轴的惯性矩（cm
F _如一』)
164
符号意义及单位：
h_ 面对乳轴的惯性矩(cm*)
D--- 大径(cm)
d--- 卜径(cm)
符号意义及单位：
£ ------------------ 长方形敲面对艺轴的惯性(cm*)
a ------------------ 长(cm)
b------------------------- ■宽(cm) 0.
r B&i —+ a 页
3
符号意义及单位：
k---- 惯性矩（miJ
R——[]图所示（cm）
b——[]图所示（cm）
e： - 重心S至！1相应边时距离（cm）
&： - 重心S到相应边的距离（cm）a--- []图所示（cm）
h---------------------------- []
图所示（cm）
幻=2|出+彌
符号意义及单位t
勺—■重心S到相应边的距离（cm）
E_11图所示（cm）
a_ [I图所示（cm）b—D图所示（cm）d_矚所
示（cm）
符号意义&单位；
Zu ----------- 惯性矩(cm4)
B口图所不(cm) b图所不(cm) H------------ 如图所不(cm)
力[]图所不(cm)
b/2 b/2_J 7
BH^bh3
1 * =
12
符号意义及单位：
h—惯性矩(cm*)
B JU圏所不(cm) b
口图所示(cm) H_图所示(cm) h——口图所示(cm)
12
B AOb[] B/2。