三角形全等综合应用

三角形全等综合应用 重难点专题训练

1. 如图，AB ⊥CD ，且AB =CD ，E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若

CE =5，BF =3，EF =2，则AD 的长为（ ） A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

A B

C

D

E F

2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，

PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出下列四个结论：①△APE ≌△CPF ；②BE =AF ；③△EPF 是等腰直角三角形；④四边形AEPF 的面积为定值，上述结论正确的有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

A B

C

P

E

F

3. 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE ，BD 分别与CD ，CE 交于点M ，

N ，且A ，C ，B 在同一直线上，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM =CN ；③AC =DN ；④∠APD =60°，其中正确结论有（ ） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

N

M P

E

D C B

A

4. 如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +

∠ABC =180°．给出下列结论：①∠MAP =∠BCP ；②P A =PC ；③AB +BC =2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍．其中结论正确的个数有（ ） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

A

B C

D M N

P

5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，

AD =2.5，DE =1.7，求BE 的长．

A

B

C

D E

6. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．

（1）求证：BE =BF ．

（2）若△ABC 的面积为65，AB =12，DF =5，求BC 的长．

A B C

D

E

F

7. 在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，

∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．

8.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，AD=BD=6厘米．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP

是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，点P 运动到BC 的中点时，如果△BPD ≌△CPQ ，此时点Q 的运动速度为多少？

（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

Q

P

D

C

B

A

Q

P

D

C B

A

Q

P D

C

B A

9. 乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧！点C 是直线

l 1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC 任意摆放，其中直角顶点C 与点C 重合，过点A 作直线l 2⊥l 1，垂足为点M ，过点B 作l 3⊥l 1垂足为N .

（1）当直线l 2，l 1，位于点C 的右侧时，如图1，线段BN ，AM 与MN 之间

的数量关系是__________________（不必说明理由）；

（2）当直线l 2，l 3，位于点C 的右侧时，如图2，判断线段BN ，AM 与MN 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当直线l 2，l 3，位于点C 的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN ，AM ，MN 之间的数量关系．

l 3

N

M

l 1

l

2

A

B

C

图1 l 3C B

A

l 2

l 1

M

N

图2

l 3

l 2

l 1

M

N

图3

10. 如图，点A ，B ，C 在一条直线上，分别以AB ，AC 为腰，在BC 的同侧作等

腰三角形，使AB =AD ，AC =AE ，BE ，CD 交于点P ，BE 与AD ，CD 与AE 分别交于点M ，N ．

（1）如图1，若∠BAD =∠CAE =60°． ①求证：△ABE ≌△ADC ； ②求∠BPD 的度数．

（2）如图2，若∠BAD=∠CAE=α，则BE与CD间的数量关系为________，∠BPD的大小为______．（用含α的代数式表示）

图1N

M P

E

D

C

B A

图2N

M P

E

D

C

B A

11.（1）如图1，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠ADC，∠BCD的平分线

交于AB边上的点E，求证：①CD=AD+BC；②E是AB的中点．

（2）如图2，（1）中的条件“∠A=∠B=90°”改为“条件AD∥BC”，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由．