轴向拉伸和压缩

轴向拉伸和压缩
§1 轴向拉伸和压缩的概念 §2 内力·截面法·及轴力图 §3 应力·拉(压)杆内的应力 §4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §5 拉(压)杆内的应变能 §6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §7 强度条件·安全因数·许用应力 §8 应力集中的概念
§1 轴向拉伸和压缩的概念
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题2：试作此杆的轴力图。
q
F
F
l
F
解： FR
F
l
2l
l
1
F2 q
1
F 2
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
FR = F FR = F
FR = F
FR = F
1
F2
q
3
Fx
1
绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
例题2 试求此正方形 砖柱由于荷载引起的横截 面上的最大工作应力。已 知F = 50 kN。
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
s1
FN1 A1
50103 N (0.24 m) (0.24
m)
0.87106 Pa 0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
的线应变。
F
s 90
F
t 90
s
t
s0
s0
0
0
s0
E
s s 0 cos2
t
s0
2
sin 2
90
s
E
s E 90
90
单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：
s
E
s 900
E
s 90 t 90
s s 0 cos2
t
s0
2
sin 2
s
t
90
s
E
s E 90
90
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s 0 cos
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
t
p
s in
s0
2
sin 2
正应力和切应力的正负规定：
s () t ()
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的
拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法
向力FN后用式
s FN 求拉应力。 b
FN
FR 2
而
FR
π
( pb
d
d )s in
pbd
0
2
所以
s 1 ( pbd ) pd (2106 Pa)(0.2m)
b 2 2
2(510-3 m)
解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变 形是什么关系？
+
F FN 图
变形：
l AB
lCD
F (l / 3) EA
F (l / 3) lBC EA
F
+
l lAB lCD lBC
F
F (l / 3)
EA
位移：
B
l AB
F (l / 3) EA
C lAB lBC 0
D
l AB
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后
的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。
2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
s () t ()
k
F
F
F
k
45
思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力s和切应 力t与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离
体的斜截面k-k上的指向。
2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面 上？
3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其 上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
l FNl 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。
EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
低碳钢(Q235)：
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
f
x
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f
轴力图
fx
微段的分离体
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，
故不同截面的变形不同。
x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
x
fl
f (x x)
f
x
l
x
x
fx
沿杆长均匀分布
轴力图
微段的分离体
的荷载集度为 f
x截面处沿x方向的纵向线应变为
x
的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情 况——该点处的应力状态(state of stress)？
F
F
§4 拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变 l（反映变形程度）
l
fl
f (x x)
某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或
泊松比(Poisson’s ratio)：
ν 亦即 -
低碳钢(Q235)： = 0.24~0.28。
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时
可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN；
横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。
截面产生缩短变形为负。
轴力背离截面FN=+F
轴力指向截面FN=-F
用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
例题1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
解：1. 前已求出圆环径向截面上的 正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢
Q235的比例极限sp≈200 MPa)。
s FN 40 MPa b
2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的
正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
s
E
40106 Pa 210109 Pa
m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
dF dA
，其
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
某一截面上法向分
法向分量 正应力s
布内力在某一点处 的集度
总应力 p
某一截面上切向分
切向分量 切应力t
应力量纲：ML-1T-2
布内力在某一点处 的集度
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
§2 内力·截面法·及轴力图
Ⅰ. 内力 材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相
互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
s2
FN 2 A2
150103 N
0.37 m0.37 m
1.1106 Pa 1.1MPa (压应力)
s2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
例题3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉 应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
F2
3
FN1 = F
FN3 = F
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1 l
FN 2
F
x1
Fx 0
FN2
2F
-
FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
F
F q=F/l
F
l
2l
F l
F +ห้องสมุดไป่ตู้
F
FN 图
F +
§3 应力·拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
lBC
lCD
l
F (l / 3) EA
3. 图(b)所示杆，
(a)
其各段的纵向总变形以 及整个杆的纵向总变形 与图(a)的变形有无不 同？各横截面及端面的 纵向位移与图(a)所示 杆的有无不同？何故？
+
F FN 图
F +
F
变形：
l AB
lCD
F (l / 3) EA
F (l / 3) lBC EA
l lAB lCD lBC F (l / 3) EA
位移：
B lCD lBC 0
C
lCD
F (l / 3) EA
A
lCD
lBC
l AB
l
F (l / 3) EA
例题4 求例题3中所示薄壁圆环其直径的改变量Δd。已知
E 210 GPa，d 200 mm, 5 mm, p 2 MPa。
Ⅱ. 截面法·轴力及轴力图
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。
横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直 于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向
lim x x0 x
d x
dx
一般情况下，杆沿x方向的总变形 l 0l x d x
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下 d d1 - d
d
d
胡克定律(Hooke’s law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料
的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力 l Fl A
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN 。
A
注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
胡克定律的另一表达形式： l 1 FN l EA
s
s
s ←单轴应力状态下的胡克定律
E
注意：1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元 体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
s 90
s
F
F
t 90
t
s0
s0
s s 0 cos2
t
s0
2
sin 2
2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方 向的线应变 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向
40106 Pa 40 MPa
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
（a）
F/2 q=F/A
（b） FF
F/2
FF
F/2 q
FF
F/2
FF
这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理
论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。
上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚