第4章 指数函数与对数函数(二)(解析版)

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2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷

第4章 指数函数对数函数（二）

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．f 1(x )＝x 2 B ．f 2(x )＝4x C ．f 3(x )＝log 2x D ．f 4(x )＝2x

【答案】D 【解析】

由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42x

f x =，故选D ．

2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A ．2

2

x y -=

B

．y =C ．2

1y x x =++

D ．11

3

x y +=

【答案】A 【解析】 A ，y ＝

(

2

)x

的值域为(0，＋∞)． B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y

(－∞，0]， 所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y

[0,1)． C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3

4的值域是[34

，＋∞)， D ，因为

1

1

x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以y ＝1

13x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．

1

3. 已知2log 3x =，则13

x -

等于 （ ） A ．2 B ．

12

C

D

【答案】B 【解析】

由2log 3x =知3

28x ==，所以()

113

13

3

1

2

22

x

-

-

-===

，故选B ． 4．已知a

，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n<0 B ．m ＋n>0 C ．m>n

D ．m

【答案】D 【解析】 ∵0

＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ）， ∴m ＜n ，故选D ．

5．已知函数12log ,0()2,0

x

x x f x x >⎧⎪

=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（ ） A ．（0，+∞） B ．（,0-∞）

C ．（1，+∞）

D ．(0,1]

【答案】D 【解析】

作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示

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由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时， 则实数k 的取值范围是(0,1] 故选D

6.若函数(01,1)x

y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（ ）

A ．1a >

B ．1a >，且0m <

C ．01a <<，且0m >

D ．01a <<

【答案】B 【解析】

因为函数x

y a =的图像在第一、二象限内，

所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x

y a =向下移动，

因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限， 所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，

因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，

所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位， 故11m -<-，0m <， 故选：B ．

7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（ ） A ．4 B ．2

C ．e

D ．1

【答案】A 【解析】

因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4

y x

=

交点P 的横坐标； 又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4

y x

=

交点Q 的横坐标； 因为函数x

y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x

y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，

1

又4

y x

=

的图像关于直线y x =对称， 因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有12

2

1x y x y =⎧⎨=⎩，

因此12114==x x x y . 故选：A

8. （2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a

=，8log 5b =，13log 8c =，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．b c a <<

D ．c a b << 【答案】A 【解析】：： 易知,,(0,1)a b c ∈，

由222

5555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144

a b +=

=⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，

又因为5445

58,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，

综上所述：a b c <<.故选：A ．

9. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与

M

N

最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073

D ．1093

【答案】D

【解析】：设36180310M x N == ，两边取对数，361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=⨯-=，所

以93.2810x =，即

M

N

最接近9310，故选D ．