高斯投影及高斯平面直角坐标

24
3.1.3 地图投影的分类
25
习题
1. 给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质？ 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？ 5. 地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？
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§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影
tg1'

b a
tg
'
解得最大变形方向为：
tg '
a b
, tg1'
b a
18
3.1.2 地图投影变形及其表述
两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：
(1 1) ( )


arcsinbb

a a
sin(1


)

arcsin
ab mLmB sin
(a b)2 mL2 2mLmB sin mB2 (a b)2 mL2 2mLmB sin mB2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴 和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：
Px, y

a a
sin(1
)
显然，当 +1 = 90°或 270 °时，方向变形最大
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3.1.2 地图投影变形及其表述
若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
umax

1'

'

arcsin b b

a a
顾及：
tg1' tg(90 ' ) ctg '

ds2 dS 2

Edq2 2Fdqdl Gdl 2 N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
将 tgA N cos Bdl dl 代入上式，得： MdB dq
m2

E
cos2
A
2F cos Asin N 2 cos2 B
A G sin2
A
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
y y
由第二式解得：
x l


q l x
1
q
27
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式，得：
y 2

x q
2


y q

2


l

2
Fra Baidu bibliotek

x q


x q
2


y q
a a


2
arcsin
b b

a a

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3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，
则面积变形为：
n ab / ab
Vn n 1 ab 1
n mLmB sin
20
3.1.3 地图投影的分类
第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
x F1(B, L) y F2 (B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
13
3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
m02

mB2
mL2 2

mL2
mB2 2
cos 2A0
mBmL
cos
sin 2A0
将三角展开式代入得：
m02

1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
30
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯投影的性质：1. 投影后角度不变 2. 长度比与点位有关，与方向无关 3. 离中央子午线越远变形越大
为控制投影后的长度变形，采用分带投影的 方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制 网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。
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3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足 条件E = G, F = 0，即：

x q
2



y q
2



x l
2


y l
2
x x y y 0 q l q l
当A=0°或180 °，得经线方向长度比：
E mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G， 则长度比可表示为：
m E G N cos B N cos B
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3.1.2 地图投影变形及其表述
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：
tg1

y1 x1

by ax

b tg
a
由三角公式，得：
tg1
tg

ba a
tg

sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg

ba a
tg

sin(1 ) cos1 cos
sin(1
)

b b
ds2 mL2.( N cos Bdq)2
2mBmL N 2 cos2 B cosdqdl
mB2 .( N cos Bdl)2
对照第一基本形式，得：
N cosBdq dS A N cosBdl
ds N cos BdqmL
N cos BdlmB
E mL2 (N cosB)2 G mB2 (N cosB)2 且： cos F
ds2 Edq2 2Fdqdl Gdl 2
其中：
E ( x )2 ( y )2
q
q
F ( x )(x ) ( y )(y ) q l q l
G ( x )2 ( y )2
l
l
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
则，长度比公式为：
m2
L 6n 3 或为 n 1 (L 3)
0
60
L ' 3n'
或为
L n' 0
0
3
32
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
4
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
F mBmL N 2 cos2 B cos
EG
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3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2 )

mL2
sin
2 A0

2mBmL
cos
c os2 A0

mB2
sin

P1x1, y1

椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2

y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
3、方向变形与角度变形
1、按投影变形的性质分类 (1). 等面积投影 ab=1 (2). 等角投影 a=b (3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。
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3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类 (1). 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定 条件将椭球面上的物投影到平面上。
x cos f (Z ) cos y sin f (Z ) sin
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3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
其中：l = L - L0
x f1(q, l) y f2 (q, l)
求微分，得：
dx x dq x dl
q
l
dy y dq y dl
q
l
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3.1.2 地图投影变形及其表述
根据微分几何，其第一基本形式为：
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3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式 长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。 m ds dS
投影平面上微分长度： ds2 dx2 dy2
椭球面上微分长度：
dS 2

M
2dB2

N
2
cos2
BdL2

N
2
cos2
B(
M 2dB2 N 2 cos2 B
b b

a a
sin(1
)
显然，当 +1 = 90°、 + 1 = 270 °或 +1 = 270°、 + 1 = 90 °时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：
max

arcsin

b b

a a


arcsin
b b

a2

1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
b2

1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系：
a2 b2 mB2 mL2

dL2 )
N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB

ln

tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm

m
1
ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
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3.1.3 地图投影的分类
(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投
影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。
2 A0

0
tg 使长度比为极值的方向： 2 A0


2mBmL cos
mB2 mL2
由三角公式得：
cos2A0
1
1 tg 2 2A0
mL2 mB2
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
sin 2A0 1 cos2 2A0
2mLmB cos (mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin2

2

即为:

y l
2



x q
2
考虑到导数的方向，开方根得：x y
2
q l
再代入 1 式，得：
x y 3 l q
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3.2.1 正形投影的概念和投影方程 2 ，3 式称为Kauchi-Rimann方程，满足 该方程的复变函数为解析函数，可展开成幂 级数，即有：
x iy f (q il) Z x iy, W q il Z f (W )
其反函数也是复变函数，可以写成：
q il F(x iy) W F(Z)
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3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形