正态分布+参考值
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e 2? 2
? 2?
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布 ,记作X～N(? ,? 2),其中 ， ?为总体均数， ? 为总体标准差。
6
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
正态分布图示
x
7
方差相等、均数 ?不等的正态分布图示
?3 ?1 ?2
8
均数相等、方差不等的正态分布 图示
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
Leabharlann Baidu
-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049
-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
S(X,? )＝S(-? ,-X)
?
11
正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
? -x1 -x2 x2 x1
12
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
? -1.96 ?
?
13
? +1.96 ?
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
3
正态分布重要性
? 其一，医学研究中的某些观察指标服从或 近似服从正态分布；
? 其二，很多统计方法是建立在正态分布的 基础之上的；
? 其三，很多其他分布的极限为正态分布。
4
身高的分布
(a)
(b)
(c)
(d)
5
正态分布的概率密度函数
? 如果随机变量X的概率密度函数
f (X) ?
1
? ( X ? ? )2
? -1.64 ?
?
14
? +1.64 ?
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
? -2.58 ?
?
15
0.5%
? +2.58 ?
正态曲线下的面积规律
? 正态曲线下面积总和为 1； ? 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等
； ? 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积
相等；
? ?-1.64? ～ ?+ 1.64? 内面积为90%； ? ?-1.96? ～ ?+ 1.96? 内面积为95%； ? ?-2.58? ～ ?+ 2.58? 内面积为99%。
?2
?1 ?3
?
9
正态分布的特征
? 正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
? 高峰在均数处； ? 均数两侧完全对称。 ? 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
10
正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。
S(-? ,-X)
25
估计频数分布
? 首先计算标准离差：
u ? 132.00 ? 142.67 ? ?1.78 6.00
? 查标准正态分布表: ? (-1.78)=0.0375(3.75
％) ? 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者
正态分布及其应用 ：张旭辉 顾逸霏
Normal distribution and its applications
Department of Epidemiology & Biostatistics, School of Public Health Nanjing Medical University
22
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u?
X?
?
?
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
23
? 某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布 ，其均数为 3150g，标准差为 350g。若以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
– 首先计算标准离差： u ? 2500 ? 3150 ? ?1.86 350
u
?
X?
?
?
则u服从标准正态分布。 ? u称为标准正态离差(standard normal deviate)
18
正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
19
标准正态分布曲线下面积? (u)
u
0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
u0
20
总结
? 正态分布是描述 个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一；
? 正态分布是一簇分布，由两个参数决定： 均 数和标准差；
? 正态分布曲线下的面积是有规律的 ，且与标 准正态分布曲线下的面积对应 (以标准正态 离差为单位)。
21
正态分布的应用
?估计频数分布 ?质量控制 ?确定临床参考值范围
16
标准正态分布
? 标准正态分布(standard normal distribution) 是均数 为0，标准差为1的正态分布。
? 记为N(0,1)。 ? 标准正态分布是一条曲线。 ? 概率密度函数：
? (X) ? 1 e?u2 2 2?
(-∞＜ u ＜+∞)
17
正态分布转换为标准正态分布
? 若 X～N(? ,? 2)，作变换：
– 查标准正态分布表 : ? (-1.86)=0.0314
– 结果：估计低体重儿的比例为 3.14%.
24
估计频数分布
? 例 已 知 某 市 120 名 岁 男 童 身 高 均 数 为 =142.67cm，标准差为 s=6.00cm。设该资 料服从正态分布，试求① 该地12岁男童身 高在 132cm以下者占该地 12岁男童总数的 比例，② 分别求 ±1s、 ±1X.96s 和X ±2.58s范围X 内12岁男童占该组儿童总数的 实际百分数，并与理论百分数比较。
-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465
-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401
-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810
0
0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
1
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
2
正态分布
? 德国数学家Gauss发现 ? 最早用于物理学、天文学 ? Gaussian distribution ? 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
? 2?
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布 ,记作X～N(? ,? 2),其中 ， ?为总体均数， ? 为总体标准差。
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.4
f(x)
.3
.2
.1
0
正态分布图示
x
7
方差相等、均数 ?不等的正态分布图示
?3 ?1 ?2
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均数相等、方差不等的正态分布 图示
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
Leabharlann Baidu
-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049
-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
S(X,? )＝S(-? ,-X)
?
11
正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
? -x1 -x2 x2 x1
12
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
? -1.96 ?
?
13
? +1.96 ?
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
3
正态分布重要性
? 其一，医学研究中的某些观察指标服从或 近似服从正态分布；
? 其二，很多统计方法是建立在正态分布的 基础之上的；
? 其三，很多其他分布的极限为正态分布。
4
身高的分布
(a)
(b)
(c)
(d)
5
正态分布的概率密度函数
? 如果随机变量X的概率密度函数
f (X) ?
1
? ( X ? ? )2
? -1.64 ?
?
14
? +1.64 ?
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
? -2.58 ?
?
15
0.5%
? +2.58 ?
正态曲线下的面积规律
? 正态曲线下面积总和为 1； ? 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等
； ? 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积
相等；
? ?-1.64? ～ ?+ 1.64? 内面积为90%； ? ?-1.96? ～ ?+ 1.96? 内面积为95%； ? ?-2.58? ～ ?+ 2.58? 内面积为99%。
?2
?1 ?3
?
9
正态分布的特征
? 正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
? 高峰在均数处； ? 均数两侧完全对称。 ? 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
10
正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。
S(-? ,-X)
25
估计频数分布
? 首先计算标准离差：
u ? 132.00 ? 142.67 ? ?1.78 6.00
? 查标准正态分布表: ? (-1.78)=0.0375(3.75
％) ? 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者
正态分布及其应用 ：张旭辉 顾逸霏
Normal distribution and its applications
Department of Epidemiology & Biostatistics, School of Public Health Nanjing Medical University
22
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u?
X?
?
?
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
23
? 某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布 ，其均数为 3150g，标准差为 350g。若以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
– 首先计算标准离差： u ? 2500 ? 3150 ? ?1.86 350
u
?
X?
?
?
则u服从标准正态分布。 ? u称为标准正态离差(standard normal deviate)
18
正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
19
标准正态分布曲线下面积? (u)
u
0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
u0
20
总结
? 正态分布是描述 个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一；
? 正态分布是一簇分布，由两个参数决定： 均 数和标准差；
? 正态分布曲线下的面积是有规律的 ，且与标 准正态分布曲线下的面积对应 (以标准正态 离差为单位)。
21
正态分布的应用
?估计频数分布 ?质量控制 ?确定临床参考值范围
16
标准正态分布
? 标准正态分布(standard normal distribution) 是均数 为0，标准差为1的正态分布。
? 记为N(0,1)。 ? 标准正态分布是一条曲线。 ? 概率密度函数：
? (X) ? 1 e?u2 2 2?
(-∞＜ u ＜+∞)
17
正态分布转换为标准正态分布
? 若 X～N(? ,? 2)，作变换：
– 查标准正态分布表 : ? (-1.86)=0.0314
– 结果：估计低体重儿的比例为 3.14%.
24
估计频数分布
? 例 已 知 某 市 120 名 岁 男 童 身 高 均 数 为 =142.67cm，标准差为 s=6.00cm。设该资 料服从正态分布，试求① 该地12岁男童身 高在 132cm以下者占该地 12岁男童总数的 比例，② 分别求 ±1s、 ±1X.96s 和X ±2.58s范围X 内12岁男童占该组儿童总数的 实际百分数，并与理论百分数比较。
-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465
-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401
-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810
0
0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
1
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
2
正态分布
? 德国数学家Gauss发现 ? 最早用于物理学、天文学 ? Gaussian distribution ? 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。