高一数学学案
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1集合的概念
教学目标:(1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法(2)使学生初步了解“属于”关系的意义
(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点:集合的基本概念
教学方法:教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教学过程:
阅读教材,并思考
1、集合的概念:
(1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.
(2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
(3)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、元素与集合的从属关系.
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作A
a 要注意“∈”的方向,不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性(课本思考题P4)
(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. (2)互异性:集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集
5、常用数集及其表示方法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
(3)整数集:全体整数的集合.记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q
(5)实数集:全体实数的集合.记作R
注:(1)自然数集包括数0.
(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z*
典型例题
6典型例题
例1 下列各组对象能否构成一个集合:
(1)著名的数学家
(2)某校高一(2)班所有高个子的同学
(3) 不超过10的非负数 (4) 方程在实数范围内的解 (5) 2的近似值的全体
例2 选择填空;
(1)给出下面四个关系:
3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )个
A .4
B .3
C .2
D .1
(2)下面有四个命题:
①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a+b 的最小值是2 ③集合N 中最小元素是1
④ x 2
+4=4x 的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 7、课堂练习
1、教材P 4练习A B.
2、下列各组对象能确定一个集合吗? (1)所有很大的实数 (2)好心的人 (3)1,2,2,3,4,5.
3、设a,b 是非零实数,那么
b
b a
a +
可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
8、归纳总结
1.集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于) 2.集合元素的性质:确定性,互异性,无序性 3.常用数集的定义及记法
2集合的表示方法
教学目标:(1)掌握集合的表示方法.
(2)能选择自然语言、集合语言描述不同的问题.
教学重点、难点:用列举法、描述法表示一个集合. 教学方法:采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法. 一、引入
1.回忆集合的概念
2.集合中元素有那些性质? 3.空集、有限集和无限集的概念 二、集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法. 例如,24所有正约数构成的集合可以表示为{1,2,3,4,6,8,12,24} 注:(1)大括号不能缺失.
(2)有些集合种元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可如下表示:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,
100} 自然数集N :{1,2,3,4,…,n ,…}
(3)区分a 与{表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.
2、特征性质描述法:
在集合I 中,属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x),而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质,于是集合A 可以表示如下:
{x ∈I | p (x ) }
例如,不等式232>-x x 的解集可以表示为:}23|{2>-∈x x R x 或
}23|{2>-x x x ,所有直角三角形的集合可以表示为:}|{是直角三角形x x
注:(1)在不致混淆的情况下,也可以写成:{直角三角形};{大于104的实数} (2)注意区别:实数集,{实数集}. 三、典型例题
例1 用列举法表示下列集合:
(2)小于5的正奇数组成的集合;
(3)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合; (4)从51到100的所有整数的集合; (5)小于10的所有自然数组成的集合;
(6)方程2x x =的所有实数根组成的集合; (6)由1~20以内的所有质数组成的集合.
例2 用描述法表示下列集合:
(1)由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合; (2)到定点距离等于定长的点的集合; (3)抛物线y=x 2上的点;
(4)抛物线y=x 2上点的横坐标; (5)抛物线y=x 2上点的纵坐标; 四、课上练习
1. {(x,y) ∣x+y=6,x 、y ∈N}用列举法表示为 .
2.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集?
(1){x ∣x 为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6};
3.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),… 4.教材第7页练习A 、B 5.习题1-1A :1, 五、总结
本节课学习了集合的表示方法(列举法、描述法)2、通过回顾本届的学习过程,请同学体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的.
3集合间的关系
教学目标: 1、知识与技能
8、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 9、能使用维恩图表达集合间的关系 2、过程与方法
(1)通过复习元素与集合间的关系,对照实数的相等与不相等的关系,联系元素与集合之间的从属关系,探究集合之间的包含与相等关系
(2)初步经历使用最基本的集合语言表示相关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能力
3、情感态度与价值观:探索直观图示对理解抽象概念的作用,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义 教学重、难点:
重点:子集、真子集的概念和性质
难点:元素与子集、属于与包含间的区别 教学方法:讲、议结合法 教学过程与操作设计:
引例:(1)}{{}6,5,3,1,3,1==B A
{}{}{}{}
{}{}
2,1,0)2)(1()4(2
,3)3()2(--==++=>=>===B x x x A x x T x x A x x B x x A 是平行四边形,是正方形
(4) 子集的概念:
如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作B A ⊆或A B ⊇.
若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素,那么P 不包含于Q ,或Q 不包含P. 记作Q P ⊄
二、真子集:若集合A 是集合B 的子集,且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 真子集
三、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
四、集合相等:
(7)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 2、B A A B B A =⇔⊆⊆,
五、集合与集合之间是包含关系
我们常用平面内的封闭曲线的内部表示集合,这个区域叫做维恩图
(1) A B ⊆ (2)B A ⊂ (3)A=B (2) 传递性:若B A ⊆,C B ⊆,则C A ⊆ 六、课上练习:
A B A A(B)
{}{}
22240,,2(1)10,,,A x x x x R B x x a x a a x R B A =+=∈=+++-=∈⊆≤设集合若求实数a 的范围。
答案:a -1或a=11、教材14页4,3
2、让学生用维恩图表示N +,N ,Z ,Q ,R 之间的关系 教材第12页例1、例2
例3、设集合A={0,1},集合B={x|x A ⊆},则A 与B 的关系如何?答案:A B ∈ 例4
注意:要讨论集合A 为空集的情形 七、作业
1、 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 是什么?
答案:{}{}{},,,,,,,a b a b c a b d
2、 已知集合A={|25},x x -≤≤}121|{-≤≤+=m x m x B 且A B ⊇,求实数m 的取
值范围 (m<2或m>4)
3、 设},{y x A =,},1{xy B =,若B A =求x,y 答案:x=1且y ≠1或y=1且x ≠1 八、总结:
4集合的运算
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集 与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型:新授课
教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 教学过程: (5) 引入课题
思考1.考察下列集合,说出集合C 与集合A ,B 之间的关系:
(1){1,3,5}A =,{}{2,4,6},
1,2,3,4,5,6B C ==; (2){}A x x =是有理数,{}{},
B x x
C x x ==是无理数是实数;
(6) 新课教学
10、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与集合B 的并集(union set )。
记作:A ∪B (读作:“A 并B ”), 即 {},A B x x A ⋃=∈∈或x B 用Venn 图表示
注:A ∪A = , A ∪Ф= , A ∪B B ∪A A ∪B =A ⇒ , A ∪B =B ⇒ . 巩固练习(口答):
①.A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},则A ∪B = ;
②.设A ={锐角三角形},B ={钝角三角形},则A ∪B = ; ③.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则A ∪B = 。
11、交集的定义:
一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,叫作集合A 、B 的交集(intersection set ),记作A ∩B (读“A 交B ”) 即:A ∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B} 用Venn 图表示:(阴影部分即为A 与B 的交集)
常见的五种交集的情况:
注:A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系?
A ∩A = A ∩Ф= A ∩
B B ∩A
A ∩
B =A ⇒ A ∩B =B ⇒ 巩固练习(口答):
①.A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},则A ∩B = ;
②.A ={等腰三角形},B ={直角三角形},则A ∩B = ; ③.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则A ∩B = 。
3.补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U 。
补集:对于全集U 的一个子集A ,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集, 记作:C U A
即:C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示
注:集合A 与U C A 之间有什么关系?→借助Venn 图分析
,,()U U U
U
A C A A C A U C
C A A
⋂=∅
⋃== ,
U U C U C U =∅∅=
巩固练习(口答):
①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则U C A = ,U C B = ; ②.设U ={x|x<8,且x ∈N},A ={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则U C A = ; ③.设U ={三角形},A ={锐角三角形},则U C A = 。
4典型例题:
例1.(课本.8)设集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数,,,,,,,求U C A ,
U C B .
例2.设全集{}{}{}4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合,求U C A ,
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
A U C U A
A B ⋂,,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ⋃⋂⋂⋃⋃。
(结论:()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ⋂=⋃⋃=⋂)
例3.设全集U 为R ,{}{}
22120,
50A x x px B x x x q =++==-+=,若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=,求A B ⋃。
(答案:{}2,3,4)
例4.已知全集U=}32,3,2{2-+a a ,若}2,{b A =,{5}U A =ð,求实数b a ,
例5.已知全集{4,3,2,1,0,1,2,3,4}U =----,集合}1,,3{2+-=a a A ,
}1,12,3{2+--=a a a B ,其中R a ∈,若A ∩B ={-3},求()U A B ð.
(8)练习课本
总结:集合的并、交、补的基本运算
5集合复习课
教学目标:
(1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质; (2)掌握集合的有关术语和符号; (3)运用性质解决一些简单的问题。
教学重点:集合的相关运算。
教学难点:集合知识的综合运用。
教学过程: 一、复习回顾:
二、讲授新课:
(一) 集合的基本运算:
例1:设U=R ,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、
(C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A ∪B)、C U (A ∩B)。
说明:(学生做)不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。
例2:全集U={x|x<10,x ∈N +},A ⊆U ,B ⊆U ,且(C U B )∩A={1,9},A ∩B={3},(C U A)
∩(C U B)={4,6,7},求A 、B 。
说明:列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法。
(二)集合性质的运用:
例3:A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x +a 2-1=0}, 若A ∪B=A ,求实数a 的值。
说明:注意B为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要注意判别式。
例4:已知集合A={x|x>6或x<-3},B={x|a<x<a+3},若A∪B=A,求实数a的取值范围。
(三)巩固练习:
1.已知A={x|-2<x<-1或x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合B。
2.P={0,1},M={x|x⊆P},则P与M的关系是。
3.已知50名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为40、31人,两项均不及格的为4人,那么两项都及格的为人。
4.满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A共有个。
5.已知集合A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则B的子集的集合一共有多少个元素?
6.已知A={1,2,a},B={1,a2},A∪B={1,2,a},求所有可能的a值。
7.设A={x|x2-ax+6=0},B={x|x2-x+c=0},A∩B={2},求A∪B。
8.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2,0,1},求p、q。
9.A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且A B ={3,7},求B。
(6)已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A⊇B时,求实数m的取值范围。
归纳小结:本节课是集合问题的复习课,系统地归纳了集合的有关概念,表示方法及其有关
运算,并进一步巩固了Venn 图法和数轴分析法。
作业布置:课本
6集合单元知识点过关测试
班级 姓名 学号 得分 一、选择题:(每小题5分,共40分) 1.不能形成一集合的是 ( )
A .正三角形的全体
B .《高一代数》中的所有难题
C .大于2的所有整数
D . 所有的无理数
2.用例举法将集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为 ( )
A .{1,2}∈A
B .{1,2}
C .2={(2,2)}
D .{(1,2),(1,1),(2,1),(2,2)}
3.满足{a ,b }⊆M {a 、b 、c 、d 、e }的集合M 的个数是( )个
A .2
B .4
C .7
D .8
4.以下四个关系:φ}0{∈,∈0φ,{φ}}0{⊆,φ
}0{,其中正确的个数是
( ) A .1
B .2
C .3
D .4
5.若集合}21|{<<=x x A ,}|{a x x B <=,且B B A = ,则a 的取值范围为( )
A .2≤a
B .1≤a
C .1≥a
D .2≥a
6.设U ={1,2,3,4,5},B A ={2},}4{)(=B A C U ,
}5,1{)()(=B C A C U U ,则下列结论正确的是
( )
A .A ∉3且
B ∉3 B .A ∈3且B ∉3
C .A ∉3且B ∈3
D .A ∈3且B ∈3 7.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C .}0|{2≤x x D .}01|{2=+-x x x 8.设集合},4
12
|{Z k k x x M ∈+==,},2
14|{Z k k x x N ∈+==,则( )
A .N M =
B .M N
C .N M
D .φ=⋂N M 二、填空题(每小题4分,共24分)
9.A ={x | x =2n +1,n ∈Z },B =|x | x =4n +1,n ∈Z }则A ____B (填⊆,⊇,=)。
10.已知集合A 有10个元素,集合B 有8个元素,A ∩B 有4个元素,则集合
A ∪
B 有________个元素。
11.已知}1,0,1,2{--=A ,},|||{A x x y y B ∈==,则B= 。
12.已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素,则a 的取值范围 。
13.若集合A ={1,3,x },B ={x 2,1},若A ∪B ={1,3,x },则满足条件的实数x 的个数是________。
14.已知满足“如果x ∈S ,则8-x ∈S ”的自然数x 构成集合S 。
(1)若S 是一个单元素集合,则S = ; (2)若S 有且只有2个元素,则S = 。
三、解答题(共36分)
15. (10分)已知集合A ={a 2,a +1,-3},B ={a -3,2a -1,a 2+1},且 A ∩B ={-3},求实数a 的值。
16.(
12分)
已知全集}0102|{≤-≥-=x x x U 或,}31|{><=x x x A 或,
}21|{>≤=x x x B 或。
求:B A B A B C A C U U ,,,,)()(B C A C U U ,)(B A C U 。
17.( 14分)设}019|{22=-+-=a ax x x A ,}065|{2
=+-=x x x B ,
}082|{2=-+=x x x C 。
(1)B A B A =,求a 的值;
(2)φB A ,且C A =φ,求a 的值。
高一数学(集合)单元知识点过关测试参考答案
一、选择题:BDCAD BDB
二、填空题(每小题4分,共24分)
9、⊇; 10、14; 11、{0,1,2}; 12、a ≥9/8 a=0 ; 13、3; 14、S ={4},S ={0,8}或{1,7}或{2,6}或{3,5}。
三、解答题(共36分)
15. (10分) ∵ A ∩B ={-3}
∴ -3∈B .
①若a -3=-3,则a =0,则A ={0,1,-3},B ={-3,-1,1} ∴ A ∩B ={-3,1}与∩B ={-3}矛盾,所以a -3≠-3.
②若2a -1=-3,则a =-1,则A ={1,0,-3},B ={-4,-3,2} 此时A ∩B ={-3}符合题意,所以a =-1.
16.(12分)}2|{,}321|{==≤≤==x x B C x x x A C U U 或;
}31|{><==x x x A B A 或 ;
}21|{>≤==x x x B B A 或 ;
)()(B C A C U U =)(B A C U ={2}。
17(14分)
(1)此时当且仅当B A =,有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立,即5=a ;
(2)由于}3,2{=B ,}24{,-=C ,故只可能3A ∈。
此时01032=--a a ,也即5=a 或2=a ,由(1)可得2=a 。
1函数的概念
教学目标:
(1)通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
(2)了解构成函数的三要素;
(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;
教学过程:
12、引入课题
(7) 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想;
(8) 阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想:
(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;
(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;
(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着
怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点?
归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集A 中的每一个x ,按照某种对
应关系f ,在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应,记作::f A B →
13、新课教学
(一)函数的有关概念
1.函数的概念:
设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function ).
记作: y=f(x),x ∈A .
其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain );与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域(range ).
注意:○1 “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值,一个数,而不是f 乘x .
(9)构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
(二)典型例题
1.求函数定义域(课本)
例1:求下列函数的定义域(用区间表示)
⑴ f(x)=2
32--x x ; ⑵ f(x)=29x -; ⑶ f(x)=1+x -x x -2; 说明:函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
例2.已知f(x)的定义域为[0,1],求f(x +1)的定义域。
例3.已知f(x-1)的定义域为[-1,0],求f(x+1)的定义域。
练习:1.求下列函数定义域:
(1)1()14f x x x =-++; (2)1()11f x x
=+
2.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求2(1)f x +的定义域;
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(1-3x)的定义域。
2.判断两个函数是否为同一函数(课本)
例4.下列函数中哪个与函数y=x 相等?
(1)2()y x =; (2)33y x =
; (3)2y x =; (4) 2
x y x
=。
注:构成函数三个要素定义域、对应关系和值域相同即为同一函数
练习:(1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 (3)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x
3.求值求值域
例5.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。
变式:求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域
例2.已知函数1()32f x x x =
+++, 二、求()()2
(3),(),33f f f f --的值;
(2)当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。
(三)课堂练习:
1. 用区间表示下列集合:
{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或
2. 已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值;
3.求下列函数的定义域
(1)|x |x 1)x (f -= (2)x 1
11)x (f += (3)5x 4x )x (f 2+--=
(4)1
x x 4)x (f 2
--= (5)10x 6x )x (f 2+-=(6)13x x 1)x (f -++-= 4.扇形弧长为L ,半径为r ,求面积y 的表达式
三、总结1函数概念2三要素3求定义域4相同函数5求值域
2.映射
教学目的:(1)了解映射的概念及表示方法,了解象、原象的概念;
(2)结合简单的对应图示,了解一一映射的概念.
教学重点:映射的概念.
教学难点:映射的概念.
教学过程:
9.引入课题复习函数的概念.
10.新课教学
14、映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于
集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f :A →B ”
注:(1)两个非空集合
(2)y 是x 在影射f 的作用下的象,x 称作y 的原象,原象集=定义域=A ,象集=值域⊆B (3)对应《=》映射《=》函数之间的关系(4)一一映射=一一对应
15、例题:下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射?
(1)A={P | P 是数轴上的点},B=R ,对应关系f :数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={ P | P 是平面直角体系中的点},B={(x ,y )| x ∈R ,y ∈R},对应关系f :平 面直角体系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x | x 是圆},对应关系f :每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x | x 是新华中学的班级},B={x | x 是新华中学的学生},对应关系f :每一个 班级都对应班里的学生.
思考:将(3)中的对应关系f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f : B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗?
16、练习
(1).下列各图中,可表示函数y =f (x )的图象的只可能是( )
答案:D
(7) .函数y=)(x f 与a x =有几个交点----------------------------
(8) .设集合A={a,b,c},B={0,1} ,试问:从A 到B 的映射一共有几个?
并将它们分别表示出来。
3函数的表示法
教学目的:(1)明确函数的三种表示方法;
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点:分段函数的表示及其图象。
教学过程:
一、复习准备:
1.提问:函数的概念?函数的三要素?
2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课:
(一)函数的三种表示方法:
结合课本P 15 给出的三个实例,说明三种表示方法的适用范围及其优点:
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(1); 优点:简明扼要;给自变量求函数值。
图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(2);
优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。
列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(3); 优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等。
例1.(课本P 19 例3)某种笔记本的单价是2元,买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要
y 元.试用三种表示法表示函数y=f(x) .
例2:(课本P 20 例4)下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲
98 87 91 92 88 95 乙
90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
例3:(课本P 21 例6)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的俺公里计算)。
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。
(二)分段函数的教学:
分段函数的定义:
在函数的定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数,如以下的例3的函数就是分段函数。
说明:
(1).分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出;
(2).分段函数只是一个函数,只不过x 的取值范围不同时,对应法则不相同。
例1.画出函数1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩, ,
的图象。
例2.画出函数()f x x =的图象。
例3.求函数()213f x x x =--的解析式,并画出它的图象。
变式1:求函数()213f x x x =--的最大值。
变式2:解不等式2131x x -->-。
例4.当m 为何值时,方程2
45x x m -+=有4个互不相等的实数根。
变式:不等式245x x m -+>对x R ∈恒成立,求m 的取值范围。
11.求函数的解析式:
例1、已知1()1
f x x =-,求(2)f , ((3))f f , (())f f x ; 2、已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
,
(1)作出()f x 的图象;
(2)求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值
3、已知函数)(x f =4x+3,g(x)=x 2, 求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].
常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。
例2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数f(x)的解析式。
(待定系数法)
例3.已知f(2x+1)=3x-2,求函数f(x)的解析式。
(配凑法或换元法) 练:若(12f x x x +=+),求函数(x f )的解析式;
例4.已知函数f(x)满足1
()2()f x f x x
-=,求函数f(x)的解析式。
(消去法) 练习:1.已知 2
2
11()11x x f x x --=++,求函数f(x)的解析式。
2.已知2211()f x x x x
+=+,求函数f(x)的解析式。
3.已知()2()1f x f x x +-=-,求函数f(x)的解析式。
课题:§1.3.1函数的单调性
教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.
教学重点:函数的单调性及其几何意义.
教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.
教学过程:
(9) 引入课题
(10)观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y
x
1 -1 1
-1
(10) 新课教学
(一)函数单调性定义
1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数(increasing function ).
思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.
注意:
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f(x 1)<f(x 2) . 2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间:
3.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:
○1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2; ○
2 作差f(x 1)-f(x 2); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); ○
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). (二)典型例题
例1.课本
例2.判断函数21y x =
-在区间[2,6] 上的单调性 练习:证明函数x
x y 1+=在(1,+∞)上为增函数. 例3.借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间. 思考:画出反比例函数x y 1=
的图象.
○1 这个函数的定义域是什么? ○
2 它在定义域I 上的单调性怎样?证明你的结论. (11) 归纳小结,强化思想
1、图像法
2、定义证明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
四、作业
5函数的奇偶性
教学目的:(1)理解函数的奇偶性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)学会判断函数的奇偶性.
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
教学过程:
(4)引入课题
给出两组图象:()f x x =、1()f x x
=、3()f x x =;2()f x x =、()||f x x =. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
(5)新课教学
①定义偶函数:一般地,对于函数()f x 定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么函数()f x 叫偶函数.
②仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.
如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=-,函数()f x 叫奇函数。
注意:1、定义域关于原点对称;整体性,与单调性定义的区别,局部性质
2、偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
3、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
(三)典型例题
例1.判断下列函数是否是偶函数.
(1)2()[1,2]f x x x =∈-(2)32
()1
x x f x x -=- 例2.判断下列函数的奇偶性
(1)4()f x x = (2)5()f x x = (3)1()f x x x =+
(4)21()f x x
=. (5) 2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ (6)1122-+-=x x y
总:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
○2 确定f(-x)与f(x)的关系;
○3 作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
例3.已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数
三、巩固练习:
1、判别下列函数的奇偶性:
f(x)=|x +1|+|x -1| 、f(x)=23x
、f(x)=x +x 1、 f(x)=21x x +、f(x)=x 2,x ∈[-2,3]
2.设f(x)=ax 7+bx +5,已知f(-7)=-17,求f(7)的值。
3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1
1+x ,求f(x)、g(x)。
4.已知函数f(x),对任意实数x 、y ,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性。
(特值代入)
5.已知f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为4,那么f(x)在[-7,-3]上是( )函数,且最 值是 。
(6)归纳小结,强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
(7)作业布置
判断下列函数的奇偶性:
○1 1
22)(2++=x x x x f ;○2 x x x f 2)(3-=; ○3 a x f =)( (R x ∈)○4 ⎩
⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x 四、小结
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
五、作业
课题:§1.3.1函数的最大(小)值。