高一数学学案

1集合的概念
教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念
教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教学过程：
阅读教材，并思考
1、集合的概念：
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的从属关系.
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A
a 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性（课本思考题P4）
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
典型例题
6典型例题
例1 下列各组对象能否构成一个集合：
（1）著名的数学家
（2）某校高一（2）班所有高个子的同学
（3） 不超过10的非负数 （4） 方程在实数范围内的解 （5） 2的近似值的全体
例2 选择填空;
（1）给出下面四个关系:
3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )个
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
（2）下面有四个命题:
①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a+b 的最小值是2 ③集合N 中最小元素是1
④ x 2
+4=4x 的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 7、课堂练习
1、教材P 4练习A B.
2、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．
3、设a,b 是非零实数，那么
b
b a
a +
可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
8、归纳总结
1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于） 2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 3．常用数集的定义及记法
2集合的表示方法
教学目标：（1）掌握集合的表示方法.
（2）能选择自然语言、集合语言描述不同的问题.
教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合. 教学方法：采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法. 一、引入
1．回忆集合的概念
2．集合中元素有那些性质？ 3．空集、有限集和无限集的概念 二、集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.
(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，
100} 自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}
（3）区分a 与{表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.
2、特征性质描述法：
在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：
{x ∈I | p (x ) }
例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或
}23|{2>-x x x ，所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x
注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}. 三、典型例题
例1 用列举法表示下列集合：
（2）小于5的正奇数组成的集合；
（3）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； （4）从51到100的所有整数的集合； （5）小于10的所有自然数组成的集合；
（6）方程2x x =的所有实数根组成的集合； (6)由1~20以内的所有质数组成的集合.
例2 用描述法表示下列集合：
(1)由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合; (2)到定点距离等于定长的点的集合; (3)抛物线y=x 2上的点;
(4)抛物线y=x 2上点的横坐标; (5)抛物线y=x 2上点的纵坐标; 四、课上练习
1. {(x,y) ∣x+y=6，x 、y ∈N}用列举法表示为 .
2.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集?
(1){x ∣x 为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6};
3.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),… 4．教材第7页练习A 、B 5．习题1-1A ：1， 五、总结
本节课学习了集合的表示方法（列举法、描述法）2、通过回顾本届的学习过程，请同学体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的.
3集合间的关系
教学目标： 1、知识与技能
8、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 9、能使用维恩图表达集合间的关系 2、过程与方法
（1）通过复习元素与集合间的关系，对照实数的相等与不相等的关系，联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系
（2）初步经历使用最基本的集合语言表示相关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力
3、情感态度与价值观：探索直观图示对理解抽象概念的作用，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义 教学重、难点：
重点：子集、真子集的概念和性质
难点：元素与子集、属于与包含间的区别 教学方法：讲、议结合法 教学过程与操作设计：
引例：（1）}{{}6,5,3,1,3,1==B A
{}{}{}{}
{}{}
2,1,0)2)(1()4(2
,3)3()2(--==++=>=>===B x x x A x x T x x A x x B x x A 是平行四边形，是正方形
(4) 子集的概念：
如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇.
若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P. 记作Q P ⊄
二、真子集：若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 真子集
三、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

四、集合相等：
（7）若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 2、B A A B B A =⇔⊆⊆,
五、集合与集合之间是包含关系
我们常用平面内的封闭曲线的内部表示集合，这个区域叫做维恩图
（1） A B ⊆ （2）B A ⊂ （3）A=B （2） 传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 六、课上练习：
A B A A(B)
{}{}
22240,,2(1)10,,,A x x x x R B x x a x a a x R B A =+=∈=+++-=∈⊆≤设集合若求实数a 的范围。

答案：a -1或a=11、教材14页4，3
2、让学生用维恩图表示N +，N ，Z ，Q ，R 之间的关系 教材第12页例1、例2
例3、设集合A={0,1},集合B={x|x A ⊆},则A 与B 的关系如何?答案：A B ∈ 例4
注意：要讨论集合A 为空集的情形 七、作业
1、 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 是什么？
答案：{}{}{},,,,,,,a b a b c a b d
2、 已知集合A={|25},x x -≤≤}121|{-≤≤+=m x m x B 且A B ⊇,求实数m 的取
值范围 （m<2或m>4）
3、 设},{y x A =，},1{xy B =，若B A =求x,y 答案：x=1且y ≠1或y=1且x ≠1 八、总结：
4集合的运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集 与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： (5) 引入课题
思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：
（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},
1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{},
B x x
C x x ==是无理数是实数；
(6) 新课教学
10、并集的定义：
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set ）。

记作：A ∪B （读作：“A 并B ”）， 即 {},A B x x A ⋃=∈∈或x B 用Venn 图表示
注：A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪B B ∪A A ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ . 巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;
②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

11、交集的定义：
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”） 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B} 用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）
常见的五种交集的情况：
注：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？
A ∩A ＝ A ∩Ф＝ A ∩
B B ∩A
A ∩
B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒ 巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;
②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集， 记作：C U A
即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示
注：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析
,,()U U U
U
A C A A C A U C
C A A
⋂=∅
⋃== ,
U U C U C U =∅∅=
巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； ②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

4典型例题：
例1．（课本.8）设集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，求U C A ，
U C B ．
例2．设全集{}{}{}4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ，
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
A U C U A
A B ⋂，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ⋃⋂⋂⋃⋃。

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ⋂=⋃⋃=⋂）
例3．设全集U 为R ，{}{}
22120,
50A x x px B x x x q =++==-+=，若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=，求A B ⋃。

（答案：{}2,3,4）
例4.已知全集U=}32,3,2{2-+a a ，若}2,{b A =，{5}U A =ð，求实数b a ,
例5.已知全集{4,3,2,1,0,1,2,3,4}U =----，集合}1,,3{2+-=a a A ，
}1,12,3{2+--=a a a B ，其中R a ∈，若A ∩B ={－3}，求()U A B ð.
（8）练习课本
总结：集合的并、交、补的基本运算
5集合复习课
教学目标：
（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质； （2）掌握集合的有关术语和符号； （3）运用性质解决一些简单的问题。

教学重点：集合的相关运算。

教学难点：集合知识的综合运用。

教学过程： 一、复习回顾：
二、讲授新课：
（一） 集合的基本运算：
例1：设U=R ，A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、
(C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A ∪B)、C U (A ∩B)。

说明：（学生做）不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x<10，x ∈N +}，A ⊆U ，B ⊆U ，且（C U B ）∩A={1,9}，A ∩B={3}，（C U A)
∩(C U B)={4,6,7}，求A 、B 。

说明：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：
例3：A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2(a+1)x ＋a 2－1=0}, 若A ∪B=A ，求实数a 的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围。

（三）巩固练习：
1．已知A={x|-2<x<-1或x>1}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1<x≦3}，求集合B。

2．P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P与M的关系是。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4．满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？
6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q。

9．A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B。

（6）已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围。

归纳小结：本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其有关
运算，并进一步巩固了Venn 图法和数轴分析法。

作业布置：课本
6集合单元知识点过关测试
班级 姓名 学号 得分 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1．不能形成一集合的是 （ ）
A ．正三角形的全体
B ．《高一代数》中的所有难题
C ．大于2的所有整数
D ． 所有的无理数
2．用例举法将集合{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}表示为 （ ）
A ．{1，2}∈A
B ．{1，2}
C ．2＝{（2，2）}
D ．{（1，2），（1，1），（2，1），（2，2）}
3．满足｛a ，b ｝⊆M ｛a 、b 、c 、d 、e ｝的集合M 的个数是（ ）个
A ．2
B ．4
C ．7
D ．8
4．以下四个关系：φ}0{∈，∈0φ，{φ}}0{⊆，φ
}0{,其中正确的个数是
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若集合}21|{<<=x x A ，}|{a x x B <=，且B B A = ，则a 的取值范围为（ ）
A ．2≤a
B ．1≤a
C ．1≥a
D ．2≥a
6．设U ＝{1，2，3，4,5}，B A ＝{2}，}4{)(=B A C U ，
}5,1{)()(=B C A C U U ，则下列结论正确的是
（ ）
A ．A ∉3且
B ∉3 B ．A ∈3且B ∉3
C ．A ∉3且B ∈3
D ．A ∈3且B ∈3 7．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 8．设集合},4
12
|{Z k k x x M ∈+==，},2
14|{Z k k x x N ∈+==，则（ ）
A ．N M =
B ．M N
C ．N M
D ．φ=⋂N M 二、填空题（每小题4分，共24分）
9．A =｛x | x =2n ＋1，n ∈Z ｝，B =|x | x =4n ＋1，n ∈Z ｝则A ____B （填⊆，⊇，=）。

10．已知集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，A ∩B 有4个元素，则集合
A ∪
B 有________个元素。

11．已知}1,0,1,2{--=A ，},|||{A x x y y B ∈==，则B= 。

12．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 。

13．若集合A =｛1，3，x ｝，B =｛x 2，1｝,若A ∪B =｛1，3，x ｝，则满足条件的实数x 的个数是________。

14．已知满足“如果x ∈S ,则8-x ∈S ”的自然数x 构成集合S 。

（1）若S 是一个单元素集合，则S = ； （2）若S 有且只有2个元素，则S = 。

三、解答题（共36分）
15． （10分）已知集合A =｛a 2，a ＋1，－3｝，B =｛a －3，2a －1，a 2＋1｝，且 A ∩B ＝｛－3｝，求实数a 的值。

16．（
12分）
已知全集}0102|{≤-≥-=x x x U 或，}31|{><=x x x A 或，
}21|{>≤=x x x B 或。

求：B A B A B C A C U U ,,,，)()(B C A C U U ，)(B A C U 。

17．（ 14分）设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2
=+-=x x x B ，
}082|{2=-+=x x x C 。

（1）B A B A =，求a 的值；
（2）φB A ，且C A =φ，求a 的值。

高一数学（集合）单元知识点过关测试参考答案
一、选择题：BDCAD BDB
二、填空题（每小题4分，共24分）
9、⊇； 10、14； 11、{0,1,2}； 12、a ≥9/8 a=0 ； 13、3； 14、S ={4}，S ={0，8}或{1，7}或{2，6}或{3，5}。

三、解答题（共36分）
15. （10分） ∵ A ∩B ＝｛－3｝
∴ －3∈B ．
①若a －3＝－3，则a ＝0，则A ＝｛0，1，－3｝，B ＝｛－3，－1，1｝ ∴ A ∩B ＝｛－3，1｝与∩B ＝｛－3｝矛盾，所以a －3≠－3．
②若2a －1＝－3，则a ＝－1，则A ＝｛1，0，－3｝，B ＝｛－4，－3，2｝ 此时A ∩B ＝｛－3｝符合题意，所以a ＝－1．
16．（12分）}2|{,}321|{==≤≤==x x B C x x x A C U U 或；
}31|{><==x x x A B A 或 ；
}21|{>≤==x x x B B A 或 ；
)()(B C A C U U =)(B A C U ={2}。

17（14分）
（1）此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ；
（2）由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈。

此时01032=--a a ，也即5=a 或2=a ，由（1）可得2=a 。

1函数的概念
教学目标：
（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的三要素；
（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
12、引入课题
(7) 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
(8) 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着
怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对
应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →
13、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．
记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．
注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．
（9）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（二）典型例题
1．求函数定义域（课本）
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=2
32--x x ； ⑵ f(x)=29x -； ⑶ f(x)=1+x －x x -2； 说明：函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

练习：1．求下列函数定义域：
（1）1()14f x x x =-++； （2）1()11f x x
=+
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

2．判断两个函数是否为同一函数（课本）
例4．下列函数中哪个与函数y=x 相等？
（1）2()y x =； （2）33y x =
； （3）2y x =； （4） 2
x y x
=。

注：构成函数三个要素定义域、对应关系和值域相同即为同一函数
练习：（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （3）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x
3.求值求值域
例5.已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域
例2．已知函数1()32f x x x =
+++， 二、求()()2
(3),(),33f f f f --的值；
（2）当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。

（三）课堂练习：
1． 用区间表示下列集合：
{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或
2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；
3．求下列函数的定义域
（1）|x |x 1)x (f -= （2）x 1
11)x (f += （3）5x 4x )x (f 2+--=
（4）1
x x 4)x (f 2
--= （5）10x 6x )x (f 2+-=（6）13x x 1)x (f -++-= 4.扇形弧长为L ，半径为r ，求面积y 的表达式
三、总结1函数概念2三要素3求定义域4相同函数5求值域
2.映射
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念．
教学难点：映射的概念．
教学过程：
9．引入课题复习函数的概念．
10．新课教学
14、映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于
集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”
注：(1)两个非空集合
（2）y 是x 在影射f 的作用下的象，x 称作y 的原象，原象集=定义域=A ，象集=值域⊆B （3）对应《=》映射《=》函数之间的关系（4)一一映射=一一对应
15、例题：下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？
（1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B={（x ，y ）| x ∈R ，y ∈R}，对应关系f ：平 面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x 是新华中学的班级}，B={x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个 班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ： B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？
16、练习
（1）．下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）
答案：D
（7） .函数y=)(x f 与a x =有几个交点----------------------------
（8） .设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？
并将它们分别表示出来。

3函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：
一、复习准备：
1．提问：函数的概念？函数的三要素？
2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
（一）函数的三种表示方法：
结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；
优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要
y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲
98 87 91 92 88 95 乙
90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
例3：（课本P 21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

（二）分段函数的教学：
分段函数的定义：
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：
（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

例1．画出函数1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩，　，　
的图象。

例2．画出函数()f x x =的图象。

例3．求函数()213f x x x =--的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数()213f x x x =--的最大值。

变式2：解不等式2131x x -->-。

例4．当m 为何值时，方程2
45x x m -+=有4个互不相等的实数根。

变式：不等式245x x m -+>对x R ∈恒成立，求m 的取值范围。

11．求函数的解析式：
例1、已知1()1
f x x =-，求(2)f ， ((3))f f ， (())f f x ； 2、已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
，
（１）作出()f x 的图象；
（２）求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值
3、已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．
常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。

（待定系数法）
例3．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。

（配凑法或换元法） 练：若(12f x x x +=+）,求函数(x f ）的解析式；
例4．已知函数f(x)满足1
()2()f x f x x
-=，求函数f(x)的解析式。

（消去法） 练习：1．已知 2
2
11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。

2．已知2211()f x x x x
+=+，求函数f(x)的解析式。

3．已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。

课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
（9） 引入课题
（10）观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y
x
1 -1 1
-1
（10） 新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○
2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． （二）典型例题
例1．课本
例2．判断函数21y x =
-在区间[2，6] 上的单调性 练习：证明函数x
x y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 思考：画出反比例函数x y 1=
的图象．
○1 这个函数的定义域是什么？ ○
2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． （11） 归纳小结，强化思想
1、图像法
2、定义证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
四、作业
5函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
（4）引入课题
给出两组图象：()f x x =、1()f x x
=、3()f x x =；2()f x x =、()||f x x =. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
（5）新课教学
①定义偶函数：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数.
②仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.
如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，函数()f x 叫奇函数。

注意：1、定义域关于原点对称；整体性，与单调性定义的区别，局部性质
2、偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（三）典型例题
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32
()1
x x f x x -=- 例2．判断下列函数的奇偶性
（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+
（4）21()f x x
=． （5） 2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ （6）1122-+-=x x y
总：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2 确定f(－x)与f(x)的关系；
○3 作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
三、巩固练习：
1、判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝|x ＋1|+|x －1| 、f(x)＝23x
、f(x)＝x ＋x 1、 f(x)＝21x x +、f(x)＝x 2,x ∈[-2,3]
2.设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝1
1+x ，求f(x)、g(x)。

4.已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。

(特值代入)
5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。

（6）归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（7）作业布置
判断下列函数的奇偶性：
○1 1
22)(2++=x x x x f ；○2 x x x f 2)(3-=; ○3 a x f =)( （R x ∈）○4 ⎩
⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x 四、小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
五、作业
课题：§1.3.1函数的最大（小）值。