固体理论讲义1-周期性结构

第一章 周期性结构

1． 正格矢与倒格矢

晶体的第一重要特征是原子（离子、分子）的周期性排列 ------可用周期性点阵表示

点阵中任一格点的位置由正格矢决定：

332211→

→→→++=a l a l a l R l

l 1, l 2, l 3是整数，a 1, a 2, a 3为点阵的基矢（或基平移）。 元胞：点阵的最小重复单元

1．由a 1, a 2, a 3组成的平行六面体被称为初基元胞。 2．每个元胞中平均只包含一个格点。 3．元胞和基矢的选择并非唯一。 元胞的体积：)(321→

→

→

⨯•=Ωa a a

魏格纳-赛茨元胞（W-S 元胞）

它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面所围成的多面体，其中只包含一个结点。

它能更明显地反映点阵的对称性。

它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。

倒格矢

由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。

倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的：

)3,2,1,((0

)(22=⎩⎨

⎧≠===•→

→

j i j i j i b a ij i i ）

π

πδ

可求出： )

(2)(2)

(2213132321→→→→→→→

→→

⨯Ω

=⨯Ω

=⨯Ω=a a b a a b a a b πππ

在倒点阵中任一格点的位置矢：

→

→→→++=332211b n b n b n K n （n i 为整数）

称为倒格矢。

元胞的体积： )(321*

→

→

→

⨯•=Ωb b b 布里渊区：

相应的W-S 元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可由另一点加上一个倒格矢的平移达到。

当它的中心为原点时，W-S 元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ 表示，又称简约区

倒点阵与正点阵的关系

m

l n R K i

i i l n πππ22)

2(*3

==•=ΩΩ∑→

→

m 为整数

BZ 具有晶格点阵点群的全部对称性。

2． 平移对称性

点阵是格点在空间中的无限周期重复排列；

点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状； 即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上； 波恩-卡门边界条件

严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性； 实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；

边长为Na 1,Na 2,Na 3的有限晶体沿a 1,a 2,a 3三个方向首尾相接形成循环边界条件。

波恩-卡门循环边界条件在数学上表现为：

{}{}{}0|||1E a N E a N E i i i i ==-

→→→-→→→→→-=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧l l l l R r r R E R r r R E 1

||----平移算符

)()|()(|1

→

→→

-→→→-=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧R r f r R E f r f R E l l 平移群的特性见P.4

(1)任意两次相继的平移仍为一平移；相继两次平移的效果与它们作用的先后次序无关。 (2)满足乘法结合律 (3)存在逆元素。 (4)存在恒等操作{}

0|E

3. 布洛赫定理

对于N （N=N 1N 2N 3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时，具有平移对称性： 由于N 阶平移群的每个元素本身自成一个共轭群

{}{}{}{}m l m l R E R E R E R E ||||1=-

因此，平移群有N 个不可约表示

N n N

=∑=12

α

α

说明平移群的N 个不可约表示都是一维的

{}

{}{})()|()()|()(|1

→

→→→→-=+==r a E D a r r a E r a E j j j j

ϕϕϕϕ

{})()(0|)(|)(1

→

→→-→→

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=r r E r a N E r D j j N j

ϕϕϕϕ j=1,2,3

D 是表示一维矩阵，实际上是一个数。

)2exp(,1j

j N N n i D D

j

π==

其中n j =0, 1,

2, …

有此可得：

)

()/(2exp )()()(|313322111

→=→

→→→→→→-→⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=+++=+=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∑r N n l i a l a l a l r R r r R E j j j j l ϕπϕϕϕ

在倒逆空间中定义一个波矢

∑

=→

→

≡3

1

j j

j j b N n k

布洛赫定理：

)()()(|1

→

•→→→-→→→=+=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧r e

R r r R E l

R k i l k k l ϕϕϕ