《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式课件
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 xx＜－3或x>－12. (2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<52
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－12x2＋3x－5>0.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋
_{_x_|x_<_x_1_，__或__x_>_x_2_}_ ___{_x|_x_≠__－__2b_a_}__ __R____
c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
__{_x_|x_1_<_x_<_x_2_} __
___∅___
___∅___
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1．一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有__一__个__未知数，并且未知数的最高次 数是___2___的不等式，称为一元二次不等式． (2) 一 元 二 次 不 等 式 的 一 般 形 式 是 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_____ 或 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_<_0_____ (其中 a，b，c 均为常数，a≠0)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等 有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点 一元二次不 等式的解法 三个“二次” 之间的关系 一元二次不等 式的实际应用
学习目标
掌握一元二次不等式的解法
理解一元二次方程、一元二 次不等式与二次函数的关系 会用一元二次不等式解决有
关实际问题
核心素养 数学运算 数学抽象 数学建模
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应 关系？ 3．求解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R
解析：选 D.因为 Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为 R.
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第wk.baidu.com章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为x13<x<12，则 a，c 的值分别
为( )
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2 ＝12，由根与系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac， 解得 a＝－6，c＝－1.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)函数的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 表示二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 的函数值大于 0，图象在 x 轴的上方；一元二次 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的 自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集的端点值 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为 0. 2．二次函数的零点 一 般 地 ， 对 于 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 我 们 把 使 _a_x_2_＋__b_x_＋__c＝__0__的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点．
以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为 几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取 何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的 解集的通法，即判别式法．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 xx＜－3或x>－12. (2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<52
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－12x2＋3x－5>0.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋
_{_x_|x_<_x_1_，__或__x_>_x_2_}_ ___{_x|_x_≠__－__2b_a_}__ __R____
c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
__{_x_|x_1_<_x_<_x_2_} __
___∅___
___∅___
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1．一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有__一__个__未知数，并且未知数的最高次 数是___2___的不等式，称为一元二次不等式． (2) 一 元 二 次 不 等 式 的 一 般 形 式 是 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_____ 或 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_<_0_____ (其中 a，b，c 均为常数，a≠0)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等 有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点 一元二次不 等式的解法 三个“二次” 之间的关系 一元二次不等 式的实际应用
学习目标
掌握一元二次不等式的解法
理解一元二次方程、一元二 次不等式与二次函数的关系 会用一元二次不等式解决有
关实际问题
核心素养 数学运算 数学抽象 数学建模
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应 关系？ 3．求解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R
解析：选 D.因为 Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为 R.
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不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为x13<x<12，则 a，c 的值分别
为( )
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2 ＝12，由根与系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac， 解得 a＝－6，c＝－1.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)函数的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 表示二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 的函数值大于 0，图象在 x 轴的上方；一元二次 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的 自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集的端点值 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为 0. 2．二次函数的零点 一 般 地 ， 对 于 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 我 们 把 使 _a_x_2_＋__b_x_＋__c＝__0__的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点．
以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为 几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取 何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的 解集的通法，即判别式法．