结构力学第四章影响线修订1.
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结构力学影响线
Mk影响线
b/l
2.影响线在相邻结点间是直线.
a/l
Qk影响线
工学院力学系
三.经结点传荷的主梁影响线
作Mk , Q k影响线
作法: 1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线; 2.将结点投影到影 响线上;
纵梁
横梁
3.将相邻投影点连以直线. 作法的根据: 1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,影响线在结点处 的纵标相同;
C
B
F 0 m 0
y E
N E 1
3. MD , QD影响线
M E ( x l / 2) M
NE影响线
D
1
YA Q D YA 1 x / l Fy 0 QD YA 1 x / l
ME影响线
QD影响线1 MD影响线
工学院力学系
l/2
l/2
mA 0
A
1
B
Qk
机动法步骤:解除与所求量对应的约束, 练习:作YA , MA , MK , QK 得到几何可变体系。令其发生虚位移, 影响线. 并使与该量对应的广义位移为1,方向 P=1 与该量正向相同。虚位移图即为该量 A K l /2 l/2 影响线,基线上部为正。 工学院力学系
MC 的影响线
asin α /l bsin α /l FNC 的影响线
工学院力学系
解：用静力法. 设坐标原点在A，水平荷载F=1至A的 水平距离为x，y 轴方向如图。 （1）先求支座反力。
FyB=x/l ， FyA=l –x/l
（2）求MC 。
，
当F=1在AC段上时，取CB为隔离体（图b）,
bx M C FyB b l
《结构力学》4_龙驭球_第4章_影响线(1)
FP=1
FP=1
FR
Y 1 3/4 1/2
FR=1 l/4 FP=1 1/4 X
FR=3/4 l/2 FR=1/2
FP=1
----反力FR的影响线 •影响线定义 单位移动荷载作用下某固定位置 （支座或截面）某量值（支反力、 内力等）随荷载位置移动而变化 的规律，一般用图形表示。
3l/4
FP=1 FP=1
FN BC B Ⅰ C
FP=1
A
FRA B C D
FP=1
E F
FRG
FNbc h FRG 4d 0 MC M FNbc h M C FNbc C h
FP =1 在C点右边，取截面 Ⅰ－Ⅰ左部为隔离体
G
FRG
FNbc h FRA 2d 0 MC MC FNbc h M C FNbc h
如果桁架改为上承，即FP =1 沿上弦移动，有些杆的影响 线局部与下承时不同。
FRG
1 6
1 3
1 下承
⑴ I.L FN dD FP = 1 在结点 d 时， FNdD 1
FP = 1 在其他结点时， FNdD 0 ⑵ I.L FN cC 作截面Ⅱ－Ⅱ，利用相应 梁结间BC（b c）的剪力列式：
FRG
Fx 0 FybC FRG
2 3
I.L FNCD
FP = 1 在 C 点右边，取截面 Ⅰ－Ⅰ左部为隔离体
1
Fx 0 FybC FRA
0 FybC FQBC
1 6
I.L FybC
1
I.L FNbC ： FNbC
lbC FybC l ybC
a
b Ⅱ c FP=1 FNcC
第四章 影响线
返回
5
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。
此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包 络图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
返回
§5-2 静力法作简支梁影响线
M C 影响线
弯矩M图
＝M 1C 影沿响结线构表移示动单时位，荷截载面PC
的弯矩值的变化情况。影 响线上所有竖标都是表示 截面C的弯矩值。
弯矩图 M 则表示在固定荷载P
＝1作用下，梁上各个截面弯矩 的分布情况。弯矩图上的竖标 表示所在截面的弯矩值，不同 截面的竖标表示不同截面的弯 矩值。
当 当
FP FP
1 1
在C点以左时（EC段），可得 在C点以右时（CF段），可得
FQC FQC
FRB FRA l
l
x xl
FP FP
由图可知：只要将相应简支梁的剪力、弯矩影响线向左、 右两边延长，即可得到外伸梁的剪力、弯矩影响线。
返回
§5-2 静力法作简支梁影响线
(3)作剪力 FQD 的影响线 当 FP 1 在D点以左时，取D的右边为隔离体，得 F QD 0 当 FP 1 在D点以右时，取D的左边为隔离体，得F QD 1
3）当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根 据叠加原理可得（图c)：
d x
x
M K d yC d yD
5
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。
此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包 络图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
返回
§5-2 静力法作简支梁影响线
M C 影响线
弯矩M图
＝M 1C 影沿响结线构表移示动单时位，荷截载面PC
的弯矩值的变化情况。影 响线上所有竖标都是表示 截面C的弯矩值。
弯矩图 M 则表示在固定荷载P
＝1作用下，梁上各个截面弯矩 的分布情况。弯矩图上的竖标 表示所在截面的弯矩值，不同 截面的竖标表示不同截面的弯 矩值。
当 当
FP FP
1 1
在C点以左时（EC段），可得 在C点以右时（CF段），可得
FQC FQC
FRB FRA l
l
x xl
FP FP
由图可知：只要将相应简支梁的剪力、弯矩影响线向左、 右两边延长，即可得到外伸梁的剪力、弯矩影响线。
返回
§5-2 静力法作简支梁影响线
(3)作剪力 FQD 的影响线 当 FP 1 在D点以左时，取D的右边为隔离体，得 F QD 0 当 FP 1 在D点以右时，取D的左边为隔离体，得F QD 1
3）当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根 据叠加原理可得（图c)：
d x
x
M K d yC d yD
结构力学 第4章 静定结构影响线资料
弯矩图
不变
变
结构力学
截面位置
Structural Mechanics
第一四章 影绪响线论
CChhaapptetrer14 PIrnefflauceentcoeSLteineel Structure
x
FP=1
B DC
a
b
L
ab/L yD C
b B MC影响线
竖坐标yD
单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩
结构力学
Structural Mechanics
第6页
第一四章 影绪响线论
CChhaapptetrer14 PIrnefflauceentcoeSLteineel Structure
2、各种静定结构的影响线
静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法。
讨论的结构包括：简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、 桁架、
若梁上有一组移动荷载作用时，FYB的大小为：
FP1 FP2
FP3 FP4
A
B
L FYB
1
A y１ y２
y３ y４
B
FYB影响线
由叠加原理得： FYB FY1 y1 FY 2 y2 FY 3 y3 FY 4 y4
Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、 轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。
1 A
● 在确定直线段内只需将荷载作
用于两个点求出所需量值即可。
b/L
B C1 a/L FQC 影响线
结构力学
Structural Mechanics
第14页
FP=1
A
MC弯矩图 与
a
MC影响线 比较 A
DC
结构力学第四章 影响线
2、影响线的作用
(1) 求得某量值的最大值；
(2) 确定该量值的最不利荷载位臵。
15
3、绘制影响线的规定 (1) 反力向上为正；
(2) 弯矩以梁的下侧受拉为正；
(3) 剪力以使截面所在段顺时针转动为正。
(4) 正值画在基线 ( 梁轴线) 上侧，负值画在下侧。
16
§4-2 静力法作影响线
作影响线的方法有两种：
影响系数 FRA的大小。 y 若梁上
作用有固定 1
y1
y2
FRA影响线
荷载，则根
据叠加原理， A支座的反力 FRA为： A
x
FP1
FP2
B
FRA FP1 y1 FP 2 y2
13
二、 影响线定义
当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时，表 示结构指定截面的某量值 Z 变化规律的曲线，称为
该量值Z的影响线。
组竖向集中力（可包括均布荷载）， 各集中力的大
7
小、方向固定，相互间的位臵也固定，作为整体在 结构上移动。
FP1 FP2 FP3 FP4
a1 a2
q a4
a3
b
在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（ M 、 FQ 、 FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷 载在结构上的位臵变化而变化。
8
二、问题的提出 结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题： 1、对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc） 当给定的移动荷载在什么位臵时得到最大值？ 即：(1) 结构的位移、反力和内力最大值是多少？ (2) 最大值发生在哪个截面上？ (3) 荷载 ( 轮压 ) 移动到何位臵时上述情况发生？ 该问题是求移动荷载的最不利位臵问题。
MC
b
结构力学第四章 静定结构的影响线
327243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤拟求支座b反力frb的影响线撤去b支杆代以未知量z体系成为一个自由度的机构加虚位移写出虚功方程dp向下为正dz与未知量z方向一致为正fp1移动时dp随x的位置变化dz不变ablfp1abcxabzfp1xdpdz0ppfzzzzpxxzzp1337243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤1函数x函数x确定影响线各竖距的数值将虚位移dp图除以dz或在虚位移图中设dz1即可从形状和数值上确定z的影响线ablfp1abcxabzdz1fp1xdpdzxxzzpzp表示z的影响线表示荷载作用点的竖向位移虚位移关系图347243用机动法作静定梁的影响线二采用机动法作影响线的概念和步骤机动法作静定内力或支座反力的影响线的步骤如下1撤去与z相应的约束代之以未知力z2使体系沿z正方向发生位移作出荷载作用点的竖向位移图dp图由此确定影响线的轮廓
第四章 静定结构的影响线
Last Edit: 2009.8.8
本章主要内容：
1 影响线的概念；
2 用静力法作静定梁的影响线;
3 用机动法作静定梁的影响线; 4 影响线的应用; 5 简支梁的包络图和绝对最大弯矩。 课后作业
2/72
4-1 影响线的概念
3/72
4-1 影响线的概念
一、移动荷载对结构的作用 固定荷载：荷载的位置是固定的
5/72
4-1 影响线的概念
二、解决移动荷载作用问题的途径 采用叠加原理(无论有几个FP)
A B
进一步采用单位力
—— 一个方向保持不变的单位荷载 FP＝l在结构上移动时，对结构中某一 量值(反力，内力等)所产生的影响。
FP1 A
FA
FP2 B
x
第四章 静定结构的影响线
Last Edit: 2009.8.8
本章主要内容：
1 影响线的概念；
2 用静力法作静定梁的影响线;
3 用机动法作静定梁的影响线; 4 影响线的应用; 5 简支梁的包络图和绝对最大弯矩。 课后作业
2/72
4-1 影响线的概念
3/72
4-1 影响线的概念
一、移动荷载对结构的作用 固定荷载：荷载的位置是固定的
5/72
4-1 影响线的概念
二、解决移动荷载作用问题的途径 采用叠加原理(无论有几个FP)
A B
进一步采用单位力
—— 一个方向保持不变的单位荷载 FP＝l在结构上移动时，对结构中某一 量值(反力，内力等)所产生的影响。
FP1 A
FA
FP2 B
x
结构力学4-1移动荷载和影响线的概念
FP
显然：
S FP S
§4-2 静力法作影响线 ⒈ 支座反力影响线 由∑MB = 0
A
x
FP 1
l
B
x
FRA l 1 (l x ) 0 FRA l x , (0 x l ) l
FRA
O
FRB
y F RB FRB影响线 y
1
x
1
FRA影响线
§4-2 静力法作影响线 ⒉ 剪力（FQC）影响线 ⑴当FP=1 在C截面以左移 动时，取C截面以右部 分为隔离体。
E
A
x F 1 P
B
F
a
l1
C
b
D
d
FRA
1
l
①作FRA 影响线。
FRA影响线
FRB
l2
FRA l x , (l1 x l l2 ) l
②作FRB 影响线。 由∑MA=0，得：
以A点为坐标原点，横坐标 x 以向右为正。 由∑MB=0，得：
FRB影响线
l1 l
l2 l
1
1
l2 l
l
A
x
a
FP 1 C
b
l
B
x
FRA
FRB
M图
ab l
M则表示FP = 1 作用于C时， 梁的各截面弯矩值。
MC影响线表示截面C的弯矩 随FP = 1 作用位置的移动而 变化的规律。 ab l
MC 影响线
例 作FRA、FRB、FQC、FQD 的影响线。 解： ⑴ 支座反力的影响线。
l 1 1 l
FRB x , (l1 x l l2 ) l
x F 1 P 例 作FRA、FRB、FQC、FQD E A B F 的影响线。 D C 解： d b a ⑵作剪力FQC的影响线： l2 l1 l 当FP = 1 在C 截面以左时， FRA FRB 取C 截面的右边为隔离体： 1 l1 1 F 影响线 RA B F l
结构力学课件 第四章 影响线
FP C
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
结构力学-第4章影响线
简要介绍某大桥的工程背景，包括桥梁类型、跨度、设计荷载等。
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
004★结构力学A上★第四章★影响线
F
4d 3h 3
M h
0 C
0 MC F
NCD
16
FybC
(3) 斜杆bC轴力的竖向分力FybC的影响线
荷载在C点以右： FybC FRA
荷载在B点以左： FybC FRG
17
FybC
(4) 竖杆FNCc的影响线
荷载在D点以右： FNCc FRA
荷载在C点以左： FNCc FRG
3
Z x FRi tan i Z的增量为 3 i 1 Z成为极大值的临界位置必须满足如下条件:
荷载自临界位置向右或向左移动时，△Z≤0 即当△x＞0（荷载右移）时 当△x＜0（荷载左移）时
i 1
x FRi tan i 0
F F F F
Ri Ri
tan i 0 tan i 0
图(c)荷载位置为最不利荷载位置
43
小 结
影响线是影响系数 Z 与荷载位置x间的关系曲线。 静力法作影响线：取隔离体运用平衡方程求； 机动法作影响线：虚功原理在静力问题中的应用。 利用叠加原理，由影响线可确定荷载作用时的影响值， 并确定移动荷载的最不利位置。
44
试利用影响线计算图示荷载作用下MK和FRQK的值。
12
1.结点荷载作用下的主梁影响线
FP 15 d 1
16
A
C
5 ydC D 8
3 yE d E 4
F
B
d
0.5d 0.5d
d
d
MD直接荷载作用下的影响线 MD的影响线 (3) MD的影响线
FRA
FRB
FP在AC和EB段时，与直接荷载作用下相同。 1.在结点荷载作用下，结构的任意影响线在相邻结点 x FP 1 FP在CE段时： 之间为直线。 dx x dx x M D yC yE 2.先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两 d d d d 结点的竖距，即可得结点荷载作用下的影响线。 B
结构力学：第4章 静定结构影响线1
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
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4、 结点荷载作用下梁的影响线
实际结构的移动荷载有时并不是直接作用在主梁上， 而是如下图所示作用在次梁上，再通过横梁将荷载 传递到主梁上，这就是间接荷载。
作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力矩平
衡方程 M5 0 得
FNa
3Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
并注意到结点4、6间的影响线为线性变化，得
同样作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力
平衡方程 Fy 0 得
FNb
Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
移动荷载作用于上或下弦时，影响线是有差异的
作截面Ⅱ-Ⅱ，分别由左部和右部隔离体取 Fy 0
FNc
2Fy11
2Fy3
FP 1位于结点6以左 FP 1位于结点8以右
同理，可作出移动荷载作用于下弦时的各内力
影响线。将会发现当移动荷载作用于上或下弦
时，FNa 、FNc 的影响线不变，但 FNb 的影响线略有 变化。
求右图中 M C 的影 响线
先将与 M C相应的联系撤除，即在C截面处插入一 个铰，并以一对大小等于M C 的力矩取代原有联系 中的作用力。如下图所示
然后使结构顺着 M C的 正方向发生一虚位移
列虚功方程为
1P MC ( ) 0
1P MC ( ) 0
MC
P
为 M C相应的广义位移
结构力学 第四章影响线
（ 注意有正负面积之分）
4 、用合力求影响量值(相同斜率段) F
FP1 FP2 FPn-1 FPn
合力矩定理
O
a
y1 y2
y
yn-1 yn
Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn =(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα =F x tana= F y
F
移动FP=1 荷载FP=1的位置 C截面的弯矩值 与内力单位差N
FP=1 C ab l
图 形 表 示
Fa Fa
用静力法求刚架影响线
A
FP=1
FP=1 C a
C
B b l d
b
l
E
l
x
l
a
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
FP=1
b
l
C a
l
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
静力法求影响线的本质是： 求解单位集中力作用在x位置时的 某截面内力或反力的大小 方法是
剪力用合力计算时需分两段计算，为什么？
二、 求荷载的最不利位置
使某量Z达到最大（最小）的荷载位置
简单情况可用观察法。 判断原则：
把数量大，排列密的荷载放在影响线竖 标较大的部位。
1、均布荷载(长度可任意布置) Z=q· o A 求Z max 时，在+Ao内布满q 求Z min 时，在 -Ao内布满q
FP=1
1 3
4m 4m
2
4m
4m
4m
0
2 2 2 4 2 4
上承式
FN1影响线
结构力学——第4章影响线
4-5 机动法作影 响线
§4-5 机动法作影响线
用机动法作静定结构的内力或反力影响线是以 刚体虚位移原理为依据的，它把作内力或反力影响 线的静力问题转化为作位移图的几何问题。以绘制 图4-7a所示梁的反力 FAy的影响线为例，说明这一方 法。
A FP=1 B
(a)
为了求出反力 FAy应将与它相应的约束去掉而以 力X代替其作用，如图4-7b所示。
因 FAy 是 x 的一次函数，故 FAy 的影响线是一根直
线，它只需定出两个竖标即可绘出。如图4-4b
lx l
1
FAy影响线
(4-4b)
为了绘制反力FBy的影响线，可取对左支座的力 矩平衡条件MA＝0，
FByl FP x 0
由此得FBy的影响线方程为： FBy
x l
绘得反力Fby的影响线如图4-4c所示。
1. 反力影响线
设要绘制简支梁 ( 图 4-4a) 反力 FAy 的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示FP＝1至原点A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
A x FP=1 B
l
(4-4a)
FAyl FP (l x) 0
由此可得
FAy
(l x ) l x FP l l
(3) MC影响线
x A K 2m 4m
B 3m
E 3m
C
MC
F 2m
DG 2m 1m
1
MC影响线(单位m)
2
(4-9e)
L F (4) QC影响线
x A K 2m 4m
B
3m
E
L FQC
C 2m
F
DG 2m 1m
§4-5 机动法作影响线
用机动法作静定结构的内力或反力影响线是以 刚体虚位移原理为依据的，它把作内力或反力影响 线的静力问题转化为作位移图的几何问题。以绘制 图4-7a所示梁的反力 FAy的影响线为例，说明这一方 法。
A FP=1 B
(a)
为了求出反力 FAy应将与它相应的约束去掉而以 力X代替其作用，如图4-7b所示。
因 FAy 是 x 的一次函数，故 FAy 的影响线是一根直
线，它只需定出两个竖标即可绘出。如图4-4b
lx l
1
FAy影响线
(4-4b)
为了绘制反力FBy的影响线，可取对左支座的力 矩平衡条件MA＝0，
FByl FP x 0
由此得FBy的影响线方程为： FBy
x l
绘得反力Fby的影响线如图4-4c所示。
1. 反力影响线
设要绘制简支梁 ( 图 4-4a) 反力 FAy 的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示FP＝1至原点A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
A x FP=1 B
l
(4-4a)
FAyl FP (l x) 0
由此可得
FAy
(l x ) l x FP l l
(3) MC影响线
x A K 2m 4m
B 3m
E 3m
C
MC
F 2m
DG 2m 1m
1
MC影响线(单位m)
2
(4-9e)
L F (4) QC影响线
x A K 2m 4m
B
3m
E
L FQC
C 2m
F
DG 2m 1m
结构力学第4章 影响线
如果移动荷载是均布荷载：最不利位置
时，影响线正号部分布满荷载（求最大 正号值），影响线负号部分布满荷载
（求最小负号值），如图：
§4-6 影响线的应用
例4-5 图(a)所示为两台吊车 的轮压和轮距，试求吊车梁 AB在截面C的最大正剪力。
解：作出FQC的影响线如图(c)。
图(b)所示为荷载的最不利
位置。
2 剪力影响线
FQC = FRB FQC = FRA
FP=1在AC段时 FP=1在CB段时
FQ = FQ FP
为量纲一的量
3 弯矩影响线 FP=1在AC段时
M C = b FRB M C = a FRA
FP=1在CB段时
M M= 为量纲L的量，单位为m。 MP
§4-2 静力法作简支梁的影响线
i =1
n
若在AB段承受均布荷载q 作用，如图(b)。
Z = yqdx = q ydx = qA0
A A
B
B
A0表示影响线在受载段AB上的面积。
§4-6 影响线的应用
例4-4 图示简支梁全跨受均布荷载作用，试利用截面C的剪力
FQC的影响线计算FQC的数值。 解： 作FQC的影响线如图 FQC的影响线正号部分的面
（2）剪力FQC的影响线
撤去C截面相应于剪力的约
束，代以剪力偶FQC，如图(d)。 与FQC相应的δZ是截面C发生 相对的竖向位移。令δZ=1 ，既得
影响线如图(e)。切口两边梁在发生
位移后保持平行。
§4-5 机动法作影响线
例4-3 试用机动法作图示多跨梁的 MK、FQK、MC、FQE、FRD的影响线 解（1）MK的影响线：在截面K加 铰并发生虚位移，如图(b)。 MK的影响线如图(c)。
考研结构力学必看精华总结第4章 影响线.
第4章 影响线
§4-1 移动荷载和影响线的概念 §4-2 静力法作简支梁影响线 §4-3 结点荷载作用下梁的影响线 §4-4 静力法作桁架的影响线
§4-5 机动法作影响线
§4-6 影响线的应用 §4-7 用求解器计算结构的影响线(略) §4-8 小结
§4-1 移动荷载和影响线的概念
移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的火车、汽车等。 影响线—当单位集中荷载FP=1沿结构移动时，表示结构某量Z变 化规律的曲线称为Z的影响线。 图(a)为一简支梁，FP在梁上移动，FRB
作用点的竖向位移图。设δZ=1，既确定影 响线竖距，如图(c)。
§4-5 机动法作影响线
机动法作影响线的步骤 （1）撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。 （2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出δP图，既为Z的 影响线的轮廓。 （3）令δz=1，可定出影响线的竖距。
（4）横坐标以上的图形，影响线系数取正号；横坐标以
（3）MD的影响线：由图(d)
FP=1在C点时 M D = yC
FP=1在CE间 M D = yC d x yE x d d （4）FQCE的影响线 主梁在CE间无外力， CE段剪 力影响线为直线，作法同(3)。 结论：1）先作直接荷载作用下的影 响线； FP=1在E点时 M D = y E
例4-1 试作图示伸臂梁FRA、
FRB、FQC、FQD的影响线。
解 （1）作FRA、FRB的影响线
FRA = FRB l x l (l1 x l l2 x = l
（2）作剪力FQC的影响线
FP=1在C点以左，FQC=-FRB
FP=1在C点以右，FQC=-FRB （3）作剪力FQD的影响线 FP=1在D点以左，FQD=0
§4-1 移动荷载和影响线的概念 §4-2 静力法作简支梁影响线 §4-3 结点荷载作用下梁的影响线 §4-4 静力法作桁架的影响线
§4-5 机动法作影响线
§4-6 影响线的应用 §4-7 用求解器计算结构的影响线(略) §4-8 小结
§4-1 移动荷载和影响线的概念
移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的火车、汽车等。 影响线—当单位集中荷载FP=1沿结构移动时，表示结构某量Z变 化规律的曲线称为Z的影响线。 图(a)为一简支梁，FP在梁上移动，FRB
作用点的竖向位移图。设δZ=1，既确定影 响线竖距，如图(c)。
§4-5 机动法作影响线
机动法作影响线的步骤 （1）撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。 （2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出δP图，既为Z的 影响线的轮廓。 （3）令δz=1，可定出影响线的竖距。
（4）横坐标以上的图形，影响线系数取正号；横坐标以
（3）MD的影响线：由图(d)
FP=1在C点时 M D = yC
FP=1在CE间 M D = yC d x yE x d d （4）FQCE的影响线 主梁在CE间无外力， CE段剪 力影响线为直线，作法同(3)。 结论：1）先作直接荷载作用下的影 响线； FP=1在E点时 M D = y E
例4-1 试作图示伸臂梁FRA、
FRB、FQC、FQD的影响线。
解 （1）作FRA、FRB的影响线
FRA = FRB l x l (l1 x l l2 x = l
（2）作剪力FQC的影响线
FP=1在C点以左，FQC=-FRB
FP=1在C点以右，FQC=-FRB （3）作剪力FQD的影响线 FP=1在D点以左，FQD=0
龙驭球《结构力学Ⅰ》(配套题库【章节题库】(影响线)
第4章影响线一、选择题1．超静定结构影响线的外形为（）。
A．一定为曲线B．一定为折线C．可能为曲线，也可能为直线D．一定为直线【答案】C2．图4-1所示为截面剪力的影响线，求在图示荷载作用下剪力的大小（）。
A．3/8（kN）B．7/8（kN）C．－3/8（kN）D．－7/8（kN）图4-1【答案】A【解析】当荷载为均布荷载时，利用影响线求量值就是均布荷载的集度乘以它所对应的影响线的面积（带正负号）：。
二、填空题1．已知某量值S的影响线如图4-2（a），在给定的移动荷载（F P1＝8kN，F P2＝1kN，F P3＝2kN）作用下，其最不利荷载位置为图＿＿＿。
（填b、c、d或e）图4-2【答案】c【解析】最不利荷载位置即使荷载达到最大值时的位置。
S值为各荷载与影响线标值乘积之和，比较5个荷载布置，要使S最大，则8kN应处于顶端，即c图满足。
2．图4-3所示梁在移动荷载作用下，使M C达到最大的荷载位置是移动荷载中的＿＿＿kN的力在＿＿＿截面处。
A BC8m8m2m图4-3【答案】80；C【解析】在一组集中荷载作用下，要使其达到最值，必有一荷载在其影响线的最大值处（即C点），而且该荷载一般为其中的最大值即80kN。
3．图4-4所示结构在给定移动荷载作用下，截面A弯矩最大值为＿＿＿。
图4-4【答案】72 Pa【解析】（1）设截面A弯矩以上部受拉为正，令一单位荷截在BD上移动。
（2）静力法。
作其M A的影响线（图4-5（a））。
图4-5（3）易知图示荷载中右边集中力作用在C点时M A达到最大值（图4-5（b））。
4．图4-6所示结构在均布荷载作用下，支座A右侧截面的剪力为＿＿＿。
图4-6【答案】7qa/6【解析】利用影响线来求截面内力，先作出P＝1直接作用在主梁上时支座A右侧截面的剪力Q A右的影响线，如图4-7所示。
图4-7然后作出间接荷载作用下Q A右的影响线，节点处用直线连接即可，如图4-8所示。
第四章影响线结构力学.ppt
3. 图示结构MD的影响线在C点处的纵坐标值为 1m 。
F =1
1m
4/3m
A
CD
B
3m 1m 2m 1、图b是图a的_________影响线，竖标
是表示P=1作用在_________截面时 ________ 的数值。
4. 图b是图a的__M_K__影响线，竖标yD表示F=1作用在___ 截面D时 ____M_K___ 的数值。
RB
x l
(直线)
(0≤x≤l)
当
x=0, RB=0 x=l, RB=1
（2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当F=1在C左侧移动时,
取截面C以右部分:
MC=RBb=
x l
b
(0≤x≤a)
x=0, MC=0 x=a, MC=ab/l
x
x
FF==x11 x
F=1
a
C
b
RA
RB
a
ab/l
b
0 MC影响线
得MC影响线的左直线。
范围内连成直线。
F=1
例题
K
a
RB影响线
0
1
a MK影响线
FsK影响线（练习）
练习：试绘制图示结构ME、FsE影响线。
15/8
5/4
3/2
5/4
5/8 1/2
1/4
1/4 3/8
ME影响线
3/4
FsE影响线
1/4
4 静力法作桁架的影响线 1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨 静定梁相同，故二者反力影响线相同。
第四章 影响线
1. 问题的提出
1 移动荷载和影响线的概念
工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷
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于主梁时的影响线;
2.将结点投影到影
响线上;
3.将相邻投影点
连以直线.
主梁
ab/l
Mk影响线
作法的根据:
1.无论荷载在主梁上
还是在纵梁上,结点处
的纵标相同;
2.影响线在相邻结点间是直线.
b/l a/l
FQk影响线
作法:
1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线;
2.将结点投影到影 响线上;
3.将相邻投影点连以直线.
a
b
x a 单位力在K点左侧,取右边作隔离体
mK 0 M K FyBb b x
l
Fy 0
FQK
FyB
x l
FyA A
FyA
l
1 MK
FQK
MK影响线
x a 单位力在K点右侧,取左边作隔离体 a
ab/ l
B FyB B
FyB
b
x
mK 0 M K FyAa
aa l
1
Fy 0
x FQK FyA 1 l
•影响线定义
单位移动荷载作用下某固定位 置（支座或截面）某量值（支反 力、内力等）随荷载位置移动而 变化的规律，一般用图形表示。
•影响线作法
其一是静力法，另一 为机动法（虚功法）。
FR=1 l/4 FP=1
FR=3/l4/2 FP=1
FR=1/2 3l/4
FP=1
FR=1/4
FP=1
FR=0
§4-2静力法作简支梁影响线
b/l a/l 1
FQk影响线
练习:作YA M, A , MK , FQk
影响线.
MA x
FP=1 x
A l/2
K
l/2
解: mA 0 MA x
FyA
Fy 0 YA 1
xl/2
MK
FP=1
MA影响线
l
FQk x<l/2 MK=0
1 FyA影响线
FQk=0
1
FQK影响线
X>l/2 MK= -(x - l/2 )
练习:作静定刚架影响线
x1
x
求 FQC , ME , FNE, MD , FQD影响线
1. FQC影响线
1
xl/2
C
E
AD
B
x l / 4 FQC 1 FQC
1
l/4 l/4 l/2
x l / 4 FQC 0
2. ME , FNE影响线
Fy 0 FNE 1
ME
FNE FQC影响线
1
mE 0 ME ( x l / 2) M D
y d C
由于 X db 2a sin d
x
F 3 dc 3a cos d
A
F 3 ctg 3 b 3b
X
2
2 2c 4c
（3）解方程求 X
3b X X F 2 X 2c 0
b
X 3b F 4c
E
B
xx
X
1）求截面C的弯矩
m
用虚位移 原理求内 力的问题
2）求截面C的剪力
首先利用静力平衡条件程建立影响线方程， 然后由函数作图的方法作出影响线----静力法。
1. 支座反力影响线
mA 0
A
FyB x / l
YB影响线方程 FyA
l
mB 0
FyA 1 x / l
FyB影响线
FyA影响线
+
B FyB
+
2. 弯矩和剪力影响线
A
x
FP=1 K
求k截面弯矩和剪力影响线
§4-1移动荷载和影响线的概念
•移动荷载 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。
•反应特点 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位
置的改变而改变。
•主要问题 解决移动荷载作用下结构最大反应的计算。线弹
性条件下，影响线是有效工具之一。
FP=1
FP=1
FR
Y
1
3/4 1/2 1/4
X
----反力FR的影响线
3. MD , FQD影响线
FNE影响线
l/2 ME影响线
1 l/2
YA 1 x / l
YA FQD
Fy 0 FQD YA 1 x / l
FQD影响线1
mA 0 MD YA l / 4
l/4 MD影响线
§4-3结点荷载作用下梁的影响线
作Mk , F Qk影响线
纵梁
横梁
作法:
1.作荷载直接作用
作法的根据:
1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,结点处 的纵标相同;
2.影响线在相邻结点间是直线.
ab/l
Mk影响线
x1
1-x/d d x/d
§4-4静力法作桁架的影响线
1
1
桁架承受的是结点荷载。 经结点传荷的主梁影响线 的做法同样适用于桁架。
§3-8 刚体体系的虚功原理（具有理想约束）
Principle of virtual work for rigid system
1. 虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约 束的无限小刚体体系位移，则主动力在该位移上所作
的虚功总和恒等于零。
两种应用:
虚位移原理 — 虚设位移,求静定结构内力。 虚 力 原 理 — 虚设力系,求刚体体系的位移。
FQk=1
MK影响线
l/2
练习:作YB M, A , MK , FQk
Mi , FQi影响线.
x k
A
B FP=i1 x
解: Fy 0 YB 1
MA
l/4 l/4 l/4 l/4
mA 0 M A YBl / 2 x l / 2 x
FyB
MK
xl/4
FP=1
MK
x
3l
/
4
FP=l1/2
A
C
B
a X
b F
A
C
B
X
a
b
x
将求约束力的问题转化为求平衡力的问题
例：求机构相应的平衡力X=？
[解]：（1）建立虚功方程
X X F F 0
F
F
F
（2）几何关系 以d作为位移参数
b 2a cos c a sin
D
3c c
当有虚位移 d 时，b和c的变化
db 2asin d dc a cosd
A
a
FRA
A
F
FRA X Fp B 0
C
B 几何关系：
B b
b
A a
FP
FRA
A
FB
b a
A
0
b FRA a Fp
B 或设 A 1 相应的
FRC
B
b a
FRA
b a
FP
小结：虚功原理（虚位移原理）的特点 是用几何方法解决平衡问题。
2. 虚位移原理的应用
用虚位移原理 F 求支座约束力 F
q
c
a
b
l
Mcm Mc C源自ablc
a
b
l
q
FQC
a
FQC
b
l
M c m 0
M
c
c a
c b
m c a
0
FQC a b
l
q y dx 0
0
FQC
l
q
1 2
a
a
q
1 2
b
b
0
Mc
m
a
b b
m
b l
FQC
b2 a2 2l
q
q
l 2
a
第四章 影响线
(influence line)
FyB影响线
FQk YB
FQi
MA影响线
l/4
1 l/2
x<l/4 MK=l/4
FQk=-1
MK影响线
l/2
X>l/4 x<3l/4
MK= l/4-(x - l/4 )=l/2-x FQk=0
Mi=0
FQi=0
X>3l/4 Mi=3l/4 -x FQi=1
1
Mi影响线 FQi影响线
FQk影响线
l/4 1