高等数学期中考试试题(下)

高等数学期中考试试题 2007.05

1. 1y

x y x y x lim 222

22)0,0()y ,x (-=+--→. 2. 曲面z =xy 在点 M 0( 3 , 1 , 3 ) 处的法线垂直于 平面z =x +3y -2.

3. 设

x

)y

z (u =，则dz

dy |du )1,1,1(+-=.

4. 函数)z y x ln(u 2

22++=在点)2,1,0(M 0处沿向量

}1,1,2{l --= 的方向导数为6

54- .

5. 设)y ,x ,u (f z =，其中x

xe u =且f 具有二阶偏导数，

则'

'23''13)1x (x 2f f e y

x z +=∂∂∂+ 6. 曲线⎩⎨⎧=++=++1

z y x 0

z y x 2

22, 则在点)21,0,21(-处的切线的方向 向量为}2

1

-,22,21{

- . 7. 函数z =x-2y -3xy 在区域D: 0y ,0x ,2y x ≥≥≤+，

上的最大值为 2 , 最小值为419

- .

8.

⎰

⎰

--+20

0y 2y 222

x d y x y d 在极坐标系中的二次积分的值为

⎰

⎰

ππθθ2

2sin 0

2r d r d ; 经计算该二次积分值为

92π

.

9．设Ω是由曲面4z z y x 2

22=++所围成的区域，则重积分⎰⎰⎰Ω

dv

z 化为柱面坐标系下的三次积分为⎰

⎰

⎰π-+--θ20

r 42r 422

22

z d rz dr d ,

化

为

球面坐标系下的三次积

分

为

⎰

⎰

⎰πϕπ

ϕϕϕθ20

4sin 0

3

2

r d sin cos r d d , 经计算得值

364

10. 设曲线0y ,2x y x :L 2

2≥=+的线密度为x =ρ, 则L 的质量M

用线积分表示为⎰

L

xds , 化为定积分为 ⎰

π

θθ+0

)d cos (1,

其值为π .

11. 将变力2

2

y x

j x - i y f +=沿曲线 12y x :L 2

2=+逆时针所做的功表

示成积分为⎰+L

22y x xdy

-ydx , 经计算得其值为π-2

二、单项选择：（每题1分，共4分）

1. 设函数22y x )y ,x (f +=, 则在点)0,0(处不正确的结论是（D ）. (A)连续 (B)方向导数存在 (C)有极小值 (D) 偏导数存在

2. 设函数)y ,x (f ，)y ,x (φ有偏导数， 且)y ,x (f z =在点)

y ,x (M 000处在条件0)y ,x (=φ下取得极值，则（ D ）正确. A. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 都必等于0； B. )y ,x (f 00x 必等于0, )y ,x (f 00y 可能不为0；

C. )y ,x (f 00x 可能不为0, )y ,x (f 00y 必等于0；

D. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 可能都不等于0；

高等数学期中考试试题 2002.04.20

一、填空：（每空1分，共15分） 1．已知直线L 1：3

z z 21y 1x 0

-=+=-与直线 L 2：

2

3

z 34y 12x -=--=--相交，则z 0= 15 。

2．曲面z =x 2-xy +y 2 在点 M 0( 2 , 2 , 4 ) 处的切平面 平行 平面2x +2y -z =5。

3．设)y

z (yf z y x 222=++，且f (1)=3，f '(1)=0，

则)1,1,1(|z d =dy 2

1

dx +-。

4．二次积分⎰⎰+1

01

x 2dy )y 1ln(dx 的值为2

1

ln2-。

5．设z =f (x 2, y sin x )，其中f 具有二阶偏导，

则y

x z

2∂∂∂='

2''22''12

f cos xf cos x sin y f 2xsinx ++。

6．已知 ⎩⎨⎧=++=++1z y x 0z y x 2

22，则)

,0,(

2

22

2z d y

d -

= -2 。

7．⎰⎰--

1

0x

x 112

dy xy dx 在极坐标系中的二次积分为

⎰⎰π

θ

θθθ4

02sin 0

2

2

dr cos sin r d ；经计算，该二次积分值为 121

。 8．函数z =x 3+y 3-3xy 的极值为 -1 。 9．设Ω是由曲面z =xy ，z =0及x +y =1所围成的立体，

则⎰⎰⎰Ω

dv xy 的值＝

1801。

10．设一平面垂直于平面z =0，并通过从点(1, -1, 1)到直线

⎩

⎨

⎧==+-0x 0

1z y 的垂线，则该平面的方程为012y x =++。

11．设Ω={(x , y , z ) | x 2+y 2+z 2 ≤ 4，z ≥ 0}，