§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
激光原理与技术：第二章
➢光学谐振腔的种类：
谐振腔的开放程度: 闭腔、开腔、波导腔 开腔通常可以分为: 稳定腔、非稳定腔、临界腔 反射镜形状: 球面腔与非球面腔，端面反射腔与分
布反馈腔 反射镜的多少: 两镜腔与多镜腔（折叠腔、环形
r00
T
r00
共轴球面镜腔 往返传输矩阵：
L A 1
f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
B L 2
L f2
D
L f1
1
L f1
1
L f2
•往返矩阵T与光线的初始坐标参数r0和
轴光线在腔内往返传播的行为
0
无关，因而它可以描述任意近
例：
L 3 R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
§2.1.3. 光学谐振腔的损耗，Q值及线宽
损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激光振荡中， 光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光的输出能量，也是腔 模理论的重要研究课题
➢光腔的损耗：
1. 几何损耗
选择性损耗、对不同模式，损耗不同
2. 衍射损耗 3. 腔镜反射不完全引起的损耗
非选择性损耗
4. 腔内介质不均匀引起的损耗
Q 2v R
Q
2v
R
2v
L'
C
❖腔的品质因数Q值是衡量腔质量的一个重要的物理量，它
表征腔的储能及损耗特征。
总之，腔平均单程损耗因子、光子寿命、与腔的品质因数三个 物理量之间是关联的，腔平均单程损耗因子越小，光子寿命越 长，腔的品质因数越高。
2-2腔稳定性条件
可见，同一谐振腔，不同 的传播次序，往返矩阵T不 相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
1 0 3 3 T1 T2 0 1 A D A D L 1 1 1,1 2 T1 2 T2 f 2 AD BC T1 AD BC T2 1
A处：r0, 0
A
r r0 L0
L
B处：r’,’
0
L 1
自由空间 光线矩阵
r A C
B r0 r0 1 TL TL 0 D 0 0
rs为实数 rs Ce js C *e js or r0 rmax sin A D cos 2
n次往返传播矩阵:
1 A sin n sinn 1 Tn C sin n sin
r1 Ar0 B 0 rmax sin
y
x
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
z
k1
f
k2
k3
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其 R cos 焦距 f x f cos 2 对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线 f R （弧矢光线），其焦距 fy cos 2 cos
二、共轴球面腔的稳定性条件——几何偏折损耗 1、稳定腔——傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
1. 表示光线的参数
r z
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
光学谐振腔稳定性
1. 共轴球面腔的稳定性条件稳定腔：矩阵元素 g 因子 非稳腔：矩阵元素 g 因子 临界腔：矩阵元素 g 因子1. 试求平凹共轴球面腔的稳定性条件。
解：平凹共轴球面镜，即R 1=∞，R 2>0因此， ，根据稳定性条件 ，知 得 2R L >2. 试求双凹共轴球面腔的稳定性条件。
解：双凹共轴球面镜，即R 1>0，R 2>0因此， 根据稳定性条件 ，知 得 或 3. 试求凹凸共轴球面镜。
解：R 1>0，R 2<0 因此， >0根据稳定性条件 ，知2. g 因子图以g 1为横坐标，g 2为纵坐标，分析谐振腔的稳定性。
1201g g <<()112A D +>121g g >120g g <()1 12A D +=121g g =120g g =1111L g R =-=221L g R =-1201g g <<2011L R <-<221L g R =-1201g g <<111L g R =-120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12R L R L >⎧⎨>⎩121200R L R LR R L <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩111L g R =-221L g R =-1201g g <<120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112R L R R L >⎧⎨+<⎩()1 12A D +<以 为双曲线， 为坐标轴它们是稳定腔和非稳定腔的分界线。
稳定腔大致分为四类，图上用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标出。
1）对称腔（共焦腔、共心腔）在坐标系上，直线线段BOA 代表第一类腔(Ⅰ)---对称腔。
特点：g1=g2，所以R1=R2=R ；线段OA 代表L≤R<∞；线段OB 则代表L/2≤R≤L ；坐标原点O 则代表R 1=R 2=L ，即共焦腔；A 点代表R 1=R 2→∞，即平行平面腔；B 点代表R 1=R 2=L/2，即共心腔。
激光原理第二章答案
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下列图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。
共轴球面腔的稳定性条件共26页
r3
3
1 2
R2
0
r2
12
TR2
r2
2
当光线再从镜M2行进到镜M1面上时
r4410 L1r33TLr33
然后又在M1上发生反射
r5
5
1 2
R1
0
r4
14
TR1
r4
4
傍轴光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换 为
r 5 5 1 R 2 1 1 0 1 0L 1 1 R 2 2 0 1 1 0L 1 r 1 1 C AD B r 1 1 T r 1 1
R2 focal length of the
CR21
2 R2
12RL1
equivalent. This makes R1 (or R2) positive when the center of curvature of
D2RL1 12RL112RL2
mirror 1(or 2) is in the direction of mirror 2 (or 1), and negative
傍轴光线在腔内完成一次往返总的变换矩阵为
T C AD B 1 R 2 1 1 0 1 0L 1 1 R 2 2 1 0 1 0L 1 T R 1 T L T R 2 T L
A 1 2L R2
B 2L(1
L)
The sign of R is the same as that of the
共轴球面腔的稳定性条件
人的差异在于业余时间
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
• 光线传输矩阵(optical ray matrices or ABCD matrices)
• 腔内光线往返传播的矩阵表示 • 共轴球面腔的稳定性条件 • 常见的几种稳定腔、非稳腔、临界腔 • 稳区图
共轴球面腔的稳定性条件
γ为复常数，不妨设为： e i 其中的a、β为与坐标
无关的实常数，则自再现模可以表示为：
uq11uq(euq)ei
由此可见，e-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减， a越大损耗越大，a=0表示无损耗传输；
x4410
L 1x33T3
x3
3
共轴球面腔的光学变换矩阵
光线将在M1上发生反射，变换矩阵T4 ：
x551R21
10x44T4
x4
4
经过一个往返后，总的坐标变换为：
x5 T 4T3T2T1
5
x1 1 C A D B x1 1 T x1 1
共轴球面腔的光学变换矩阵
1
写成矩阵：
1
x2
2
1 2/
R
0 1
x1
1
M(R)
x1
1
2
x1 x2
平面镜的变化矩阵
共轴球面腔的光学变换矩阵
共轴球面腔的光学变换矩阵
光线在谐振腔往返一次的轨迹：
(x1,1) 腔长L T1 (x2,2 ) M2反射 T2 (x3,3)
腔长L T3 (x4,4 ) M1反射T4 (x5,5 )
3.2开腔衍射理论分析
自再现模在腔内经过一次渡越的总相移δΦ定义
为： argu q1 argu q
由 uq1uq/，可得 arg1/；
从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模， 必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为2π的
整数倍： 22q
即 arg1/q，q为正整数，此公式对称开
激光原理教案第二章
激光原理与技术
1，2两种损耗常称为选择损耗，不同模式的 几何损耗与衍射损耗各不相同。3，4两种称为 非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体 一样。
平均单程损耗因子：如果初始光强为 I0 ，在 无源腔内往返一次后，光强衰减为 I1 ，则
I1 I0e2
1 ln I1 ,
2 I0
为腔中各损耗因子的和
1.22
2a
W1 W1 W0
S1 S1 S0
a L 2 a2 a L 2
激光原理与技术
2L
a
2L
0.61
a2
1.22 a2
1 a2
1 N
L L
D
D
'
1 N
N：菲涅耳数，N愈大，损耗愈小。
激光原理与技术
§2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示
激光原理与技术
0q 称为腔的谐振波长
q
q
c 2L,
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L, L
q
q
c
2 L,
L q q
2
式中 q 为物质中的谐振波长
本征模式在腔的横截面
内场分布是均匀的，而 沿腔的轴线方向(纵向)形 成驻波，驻波的波节数 由q决定，q单值地决定 模的谐振频率。
激光原理与技术
激光原理与技术
腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态应由麦 克斯韦方程组及腔的边界条件决定。不同类型 和结构的谐振腔的模式各不相同。
对闭腔，一般可以通过直接求解微分形式的 麦克斯韦方程组来决定其模式
寻求开腔模式的问题通常归结为求解一定类 型的积分方程。
模的基本特征：模在腔的横截面内的场分 布，模的谐振频率，模在腔内往返的相对功率 损耗；模的光束发散角。
激光原理第二章习题解答
《激光原理》习题解答 第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A 如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
解答如下：共轴球面腔的()21221222121R R L R L R L D A +--≡+，如果满足()1211<+<-D A ，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。
第11讲 共轴球面腔的稳定性条件
r1 F
r2
2
1 1
F
0 r1
1
1
1 0
Tf
1
F
1
对凸透镜, 焦距F取正值；对凹透镜, 焦距F取负值。
12
11.2 常用光学元件的变换矩阵
谐振腔的单次往返矩阵 T
M1
r1,1
r4 ,4
r5
, 5
M2
r2 ,2
对应的等效透镜波导如下：
F2
F1
F2
F1
L
L
L
19
11.3 共轴球面腔的稳定性条件
光线在腔内往返n次的光线变换矩阵
rn
n
TTT ...T
n个T
r0
0
T
n
r0
0
20
11.3 共轴球面腔的稳定性条件
Tn
AB n
CD
T
TR1TLTR2TL
2
R1
1
0
1
2
R2
1
0
1
2 R1
1 2
R2
2L R2 1
2L R1
2L
1
L R2
2L R1
1
2L R2
22
激光原理 共轴球面腔的稳定性条件
球面反射镜的光学变换矩阵
(r (1) , (1) ) ，经球面反射镜后，达到 (r ( 2) , ( 2) )后， 旁轴光线从
有：
r ( 2) r (1) ( 2) ( (1) 2 ) (1) r (1) R
0 1 r (1) (1)
g g <0
1 2
g g 0
1 2
(一）稳定腔: 0 < g1 g 2 < 1
1.双凹稳定腔:
这种腔的稳定条件有两种情况:
(1)
证明：
R1
R2
R1 > L 且 R2 > L
∵ R1＞L
L ＜ ＜1 ∴ 0 R1
L
L 0 1 ＜1 ＜ R1
即：0＜g1＜1 ，同理 0＜g2＜1
所以：0＜g1g2＜1
即
g1g2＜1
0＜ g1g2＜1
如果 R1=R2 ，则此双凹腔为对称双凹腔，上述的两种稳
定条件可以合并成一个，即： R1=R2=R＞L/2
2.平凹稳定腔: 由一个凹面发射镜和一个平面发射镜组成的谐振腔称为平
凹腔。其稳定条件为：R＞L
R
L
证明：∵ R1＞L , g 1 1
L 0 1 1 ＜1 ＜g ∴ R1
经过推导，可以得到稳定性条件 ：
1 1 < ( A D) < 1 2
L L 0 < 1 1 R R < 1 1 2
L 引入几何g参数：令 g i 1 Ri
，则上式变为：
0 < g g <1
1 2
几何参数由谐振腔的结构所决定:
L g1 1 R1
光学谐振腔结构与稳定性
中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
（3）球面反射镜的光线变换矩阵
0 1 T 2 1 R
1 1
r2 r1
入射角 反射角
1 2 b
r ,
r ,
2 2
b 1 2 b
R
r1 2 2b 1 2sin b 1 2 1 R
26
七、稳定图的应用
2.1光学谐振腔结构与稳定性
例 1、判断谐振腔的稳定性(单位:mm) (1)R1=80,R2=40,L=100 L 100 1 L 100 3 g2 1 1 解 g1 1 R 1 80 4 R2 40 2 1
1 3 3 g1 g 2 4 2 8
要傍轴光线不 逸出腔外
n
要求Tn的各元素取 有限实数
要求为实数 中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
即
1 1 ( A D) 1 2
1 2L 2L 2L2 ( A D) 1 2 R1 R2 R1R2
又由
可得出共轴球面腔的稳定性条件：
L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
例
2、制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取 值范围如何确定？
解 由“对称”
由“稳定腔” 解得
L g1 g 2 1 R
L 2 1 (1 ) 1 R
共轴球面腔的稳定性条件分析
共轴球面腔的稳定性条件分析摘要：利用“非稳腔”法，我们可以测定激光器的热透镜焦距。
本文用矩阵特征值对共轴球面腔的稳定性公式进行了推导，并介绍了几种有代表性的临界腔。
关键词：共轴球面腔、稳定性条件、矩阵特征值、临界腔1.引言激光器谐振腔的稳定性条件是研究激光器的一项重要参数。
但在众多激光理论教材中，在推导稳定性条件公式时均借助于sylvester 矩阵理论推出稳定性条件公式。
sylvester矩阵理论难度较大，超出了高等数学的范畴，理解其推导过程比较困难。
当前用的较多的是用洛必达法则和矩阵特征值来推导，而用矩阵特征值概念对共轴球面腔稳定性条件公式进行推导则更容易被理解。
本文将对这一方法进行介绍。
2. 用矩阵特征值推导共轴球面腔稳定性条件光线在谐振腔内来回渡越 n 次，光线初始坐标参数和末位置坐标参数的变化关系可以用矩阵的形式表示出来，如下公式所示：…………（2.1）上式中T为：………………（2.2）即傍轴光线在腔内往返一次的总变换矩阵。
在2.1、2.2两公式中，L为共轴球面腔的腔长R1和R2为两球面镜的曲率半径，r1为光线离光轴的距离，θ1为光线与光轴的夹角。
设λ为矩阵T的特征值，满足关系式：……………………（2.3）……………………（2.4）……………（2.5）则矩阵T的特征方程为：…………………………（2.6）式中：T-λE为特征方程的特征向量，E为单位矩阵。
该特征向量的行列式等于零，如下所示：………（2.7）解行列式2.7，可得该行列式的两个根为：…………（2.8）由2.3—2.5可知：若使傍轴光线在腔内往返传播而不致横向逸出腔外，则谐振腔无损耗。
此时，特征值应满足：λ<1，即两个方程的根满足条件：1λ<1，2λ<1。
因此，可以得到关系式：12λλ+<1λ+2λ<2 ……………………………（2.9） 由2.8式和2.9式可以退出共轴球面腔的稳定性条件为：…………………（3.0）满足3.0式的腔一定是稳定腔，满足1(A+D)2<1的腔为非稳腔，满足1(A+D)2=1的腔为临界腔。
2.2 光腔稳定性
r0 r A B r0 1 L θ C D θ TL θ TS 0 1 0 0
3、球面镜的反射矩阵Tr
1 0 1 0 Tr 2 1 1 1 - f R
r
< 0
< 0
两种描述是统一的！
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后的r 、θ 可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩阵相乘得到。
2、自由空间的平移矩阵 A处：r0，0
B处：r’，’
A
r0 ,0
L
B
r,
r r0 Lθ 0 θ θ 0
则自由空间的平移矩阵为：
二、共轴球面腔的稳定性条件 判断稳定依据-任意傍轴光线在腔内经过n次(n为任意自 然数)往返程光线不逸出腔外- 稳定腔 反之为非稳定腔 稳定性条件:
1 A D < 1 稳定腔 损耗低 2
1 A D >1 2 1 A D 1 2
非稳定腔 损耗高 临界腔 损耗介于两者之间高
特例：共轴球面镜腔(直腔)稳定性判据
A B 往返矩阵 T C D
2L A 1 R2
L B 2 L1 R2
2L 2 L 2 L 1 D 1 R1 R1 R2
2 2 2 L 1 C R1 R2 R1
低损耗腔 任意傍轴光线两次往返后闭合-光束闭合-参见37 页图2.2.3-属于稳定腔-非常重要 作业: 98页习题1. 2. 3
2L 2 L 2 L 2L 1 D 1 A 1 R1 R1 R2 R2
共轴球面腔的稳定性条件
θ
光学元件的光学变化矩阵M 光学元件的光学变化矩阵
x 2 x 1 θ = M θ 2 1
坐标参数的符号规则： 坐标参数的符号规则 1 光线在轴线上方时x取正，否则为负； 2 光线的入射方向(出射方向)指向轴线上方时，夹角取正， 否则为负；
一、光线坐标矩阵
r θ
x 2 = 1 • x1 + L •θ 1 θ 2 = 0 x1 + 1 • θ1
P2
θ2
x2
x 2 1 L x1 θ = 0 1 θ 1 2 x1 = M ( L) 来自θ 1 P1θ1
x1
近轴光线通过焦距为f 近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵
腔内存在的稳定光波场它们由一个腔面腔内存在的稳定光波场它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中虽然会受到传播到另一个腔面的过程中虽然会受到衍射效应的影响但是这些光波长在两个衍射效应的影响但是这些光波长在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不exy表示开腔中的稳定光场分布函数表示开腔中的稳定光场分布函数uu则上式可以简化为
3.2开腔衍射理论分析 3.2开腔衍射理论分析
菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成 是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一 点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果； 该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必 然是开腔模式的物理基础； 该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；
光学谐振腔的几何光学分析
光线传播矩阵法：用矩阵的形式表示光线传播和变换的方法。 光线传播矩阵法：用矩阵的形式表示光线传播和变换的方法。 光线在自由空间或光学系统中传播， 光线在自由空间或光学系统中传播，通过垂直于光轴给定参考面 的近轴光线的特性可以用两个参数表示： 的近轴光线的特性可以用两个参数表示： 1. 光线距离轴线的距离x(z) 光线距离轴线的距离x(z) 2. 光线与轴线的夹角 。
2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 L
TL
0
1
r r
TR
1 0 TR 2 R 1 (推导过程：P34)
ff
1 0
Tf
1
f
1
f R 2
透镜与球面反射镜等效
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
M1
M2
r0, 0
r1, 1
R1
R2
5.球面镜腔中往返一次后，光线坐标为
r1
满足：(A+D)/2=1
M1
M2Leabharlann 3、对称共焦腔：两块球面镜的焦点重合： R1=R2=L
传 输 矩 阵 ： Tn
( 1) n
1
0
0
1
• 任意傍轴光线均能形成闭合回路
M1
M2 • 应属于稳定腔之列
M1
M2
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 < 1 A D < 1 稳定腔
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
共轴球面镜腔： 两反射镜为球面镜,有共同光轴
o1
o2
凹面镜 R > 0; 凸面镜 R < 0; 平面镜 R＝∞
o2 R1 非共轴腔
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
谐振腔稳定条件: 几何偏折损耗区分
稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外
2
(1) 1 A D < 1
2
(2) 1 A D > 1
2
为实数时 An, Bn, Cn, Dn 有界 稳定腔 为复数时 nAn, Bn, Cn, Dn 非稳定腔
共轴球面腔稳定性条件公式的推导
光线在谐振腔内来回渡越 n 次, 光线初始 坐 标参数和末位置坐标参数的变化关系可以用矩阵
的形式表示出来[ 1] , 即
rn
r1
=T T T
n
n 个T
1
= Tn r1
( 1)
1
式中,
1-
2L R2
T=
-
2+ R1
2 R2
1-
2L R1
AB =
CD 为傍轴光线在腔内往返一次 的总变换矩阵, L 为 共轴球面腔的腔长, R1 和 R2 为两球面镜的曲率 半径; r 为光线离光轴的距离; 为光线与光轴的
例如在讲解静电屏蔽时利用影像资料让学生观看到人被高压线意外击中时的危险场同时又播放了电工穿着屏蔽服在高压线上带电作业时毫发无损的片段学员在对比鲜明的场景中加深了对教学内容的直观认识从而在可视化的教学中提高了学生的理解和认知能力
56
物理与工程 Vo l. 19 No. 1 2009
教学经验交流
共轴球面腔稳定性条件公式的推导
研究和分析课程内容, 发现物理课程教学内容 和 军事专业课程之间有很大的内在关联性, 问题是 如何在两者之间架起一座沟通的桥梁. 在 教学实 践中, 我们通过建立物理课和军事课一体 化课程 协调模式, 找出物理与军事的关联, 提高服务的针 对性和有效性. 在物理课程开课前, 我们专门到军 事教研室调 研, 请 他们介绍 所开课 程的 内容、特 点, 让他们结合专业课的需要, 提出对物理教学的 需求. 例如, 火炮装备专业课程要求我们重点讲解 火炮在整个动作过程中各种力的作用关系, 炮弹 在空中飞行过程中如何保持稳定等内容. 在物理 教学实施过程中, 我们在讲解动量定理和 动量守 恒定律时, 重点讲解和定量分析了在各种 地面条 件下, 不同发射角度火炮发射时产生的后 座力情 况, 得出了保持火炮发射稳定的条件. 在讲解角动 量守恒定理时, 通过讲解陀螺的运动特性, 分析进 动对炮弹在飞行过程中保持稳定的作用. 通过这 种教学模式, 将物理学内容与军事专业课 教学内 容紧密联系在一起, 教学内容鲜活而生动, 饱满而 充实, 既讲解了物 理学内容, 又 关联到 军事学 课 程, 课程效率得到了很大的提高.
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
讨论： cos1 1 A D
2
(1) 1 A D <1
2
为实数时 An, Bn, Cn, Dn 有界 稳定腔
(2) 1 A D >1
2
为虚数时 nAn, Bn, Cn, Dn 非稳定腔
(3) 1 A D 1 1 A D 1 k
2
2
k为奇数 (-1) k为偶数 (+1)
2
B sin n
D
sin
n
sin
n
1
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
二、谐振腔的稳定条件
rn
n
An Cn
Bn r0
Dn
0
rn Anr0 Bn0 n Cnr0 Dn0
若An, Bn, Cn, Dn 矩阵元有界，则光线经过n次不逸出腔外；
要求：关键因子 应为实数，且不等于k k0,1,2...
3.自由空间 光线矩阵
r r0 L0 0
r
TL
r0
0
1 L
TL
0
1
4.球 面 镜 反射矩阵
r r
TR
1 0 TR 2 R 1 (推导过程：P33-34)
1 0
Tf
1
f
1
f R 2
透镜与球面反射镜等效
f
5.球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外 几何偏折损耗小(低损耗 腔)常用衍射理论分析
非稳定腔 傍轴光线有限次反射后便逸出腔外
几何偏折损耗大(高损耗腔) 常用几何光学方法分析
•两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同 先利用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的几何偏折损耗
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0 < g1g2 <1 g1 = g2 = 0
稳定腔
其中
g1 =1− L
R 1 R2
g2 =1− L
• 只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔) 只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔) • 稳定腔因腔损耗小，适用于中、小功率激光器；非稳腔可用 稳定腔因腔损耗小，适用于中、小功率激光器；
于大功率激光器中，其优点是模体积大，还可限制模式 于大功率激光器中，其优点是模体积大，
n
• 任意傍轴光线均能形成闭合回路
M1 M2
• 应属于稳定腔之列
M1
M2
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
稳定判据
−1<
1 ( A+ D) <1 稳定腔 2
1 ( A+ D) >1 非稳定腔 2
1 ( A+ D) = ±1 2
临界腔
• 适用任何形式的腔,只要能列出往返矩阵就能判断其稳定与否 适用任何形式的腔, 稳定判据另 一表达式
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
共轴球面镜腔： 共轴球面镜腔： 两反射镜为球面镜, 两反射镜为球面镜,有共同光轴
o2 o1 o2 非共轴腔 R1
凹面镜 R > 0; 凸面镜 R < 0; 平面镜 R＝∞
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
3.自由空间 3.自由空间 光线矩阵 4.球 面 镜 4.球 反射矩阵
r′ = r0 + L 0 r′ θ r0 ′ = TL θ θ′ = θ0 θ 0
r′′ r′ ′′ = TR ′ θ θ
1 L ⇒ TL = 0 1
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 k为奇数 2 ( A+ D) = −1 为奇数 Tn = ( −1)
n+1
Bn An + ( n −1) Cn Dn + ( n −1)
1 k为偶数 2 ( A+ D) = +1 为偶数
Tn =1
( n+1) An −
θ
r
θ正,负号规定: 正 负号规定:
θ>0
θ< 0
θ< 0
长度为L的自由空间的光线矩阵 2. M1→M2 长度为 的自由空间的光线矩阵
M1 M2
M1面上：r0, θ0 M2面上：r’,θ’ 面上： 面上：
R1
R2
r′ = r0 + L 0 θ θ′ = θ0
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(1)
1 ( A+ D) <1 2 1 2
1 2
φ 为实数时 φ为虚数时
An, Bn, Cn, Dn 有界 ⇒ 稳定腔 n↑→An, Bn, Cn, Dn↑ ⇒ 非稳定腔 k为奇数 (-1) 为奇数 k为偶数 (+1) 为偶数
(2) ( A+ D) >1 (3) 1 ( A+ D) =1
2
1 ⇔ ( A+ D) = ±1⇒ φ = kπ 2
•两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同 两种不同的腔的理论处理方法、 先利用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的几何偏折损耗
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、光线往返传播的矩阵表示 1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 θ － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 tanθ ≈ sinθ ≈ θ
2 2 2L C = − + 1− R R R 1 2 1
往返n次的光线矩阵： 往返 次的光线矩阵： 次的光线矩阵
r r r A n 0 n 0 = T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅T = T = n θn θ0 θ0 Cn
A =1− 2L R 2
0 1 0 1 − 2 1 0 L R2
0 1 0 A B = 1 0 L C D
L B = 2L1− R2 2L 2L 2L D = − − 1− 1− R R R2 1 1
二、谐振腔的稳定条件
rn A = n θn Cn
Bn r0 Dn θ0
rn = Anr0 + Bnθ0
θn = Cnr0 + Dnθ0
矩阵元有界，则光线经过n次不逸出腔外； 次不逸出腔外 若An, Bn, Cn, Dn 矩阵元有界，则光线经过 次不逸出腔外； 要求： 为实数，且不等于k =0,1,2...) 要求：关键因子φ 应为实数，且不等于 π (k=0,1,2...) =0,1,2 讨论： φ = cos−1 ( A+ D) 讨论
1 Asin nφ − sin ( n −1) φ T = 其中： 其中：φ = cos
Bn r 0 D θ0 n
Bsin nφ Dsin nφ − sin ( n −1) φ
1 2
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
r r A r 0 1 = TR1TLTR2TL = T 0 = θ1 θ0 θ0 C
B r 0 θ D 0
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 T = 2 − R 1
( n −1)
Cn
Bn Dn − ( n −1)
几种典型临界腔： 几种典型临界腔： 1、平行平面腔 、 R1 = R2 = ∞ ⇒
A =1, B = 2L, C = 0, D =1
θ0 ≠ 0
rn ↑
1 ( A+ D) = +1 2
1 2Ln Tn = 0 1
rn = r0 + 2Lnθ0
θn =θ0
rn ↑
非稳腔
当 θ0
θ0 = 0
rn = r0
≠0 =0
当 θ0
rn = r0 稳定腔
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
2、共心腔 ： 两块球面镜的球心重合：R1+R2=L 满足：(A+D)/2=1
M1 M2
3、对称共焦腔：
1 0 两块球面镜的焦点重合： 两块球面镜的焦点重合： R1=R2=L 传输矩阵：Tn = (−1) 0 1
谐振腔稳定条件: 谐振腔稳定条件: 几何偏折损耗区分 稳定条件 稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外
几何偏折损耗小(低损耗 常用衍射理论分析 腔)常用衍射理论分析 衍射理论
非稳定腔
傍轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔) 常用几何光学方法分析 常用几何光学方法分析 几何光学方法
1 0 TR = 推导过程 推导过程： −2 1 (推导过程：P33-34) R
1 0 Tf = −1 f 1
f
f=
R 2
透镜与球面反射镜等效
5.球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵） 球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵） 球面镜腔中往返一周的光线矩阵