蒙特卡洛仿真

则 [0,1] 的一串数称为 [0,1] 上均匀分 R 的样本值，即以即以等概率取自 则R 的样本值，即以即以等概率取自 [0,1] 的一串数称为 [0,1] 上均匀分 R 的样本值，即以即以等概率取自[0,1]的一串数称为[0,1]上均匀分 则 布的随机数。 布的随机数。 产生方法 布的随机数。 ② ②产生方法 产生方法 ② 产生方法一是放射性物质随机蜕变； 物理方法： 二是电子管回路的热噪声。 （如 物理方法： 一是放射性物质随机蜕变； 二是电子管回路的热噪声。 （如 物理方法： 一是放射性物质随机蜕变； 二是电子管回路的热噪声。 （如 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 查随机数表 ---”” Rand ”（ 1955 查随机数表 ---RandTable Table ”（ 1955年由美国兰德公司编制，有随机数 年由美国兰德公司编制，有随机数 查随机数表 ----”Rand Table”（1955 年由美国兰德公司编制，有随机数 100 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 100 万个。 万个。 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 100 万个。 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需 个，便可从中取（顺 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需20 20 个，便可从中取（顺 次） 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需 20 个，便可从中取（顺 次）20 20 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 次） 20 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 但满足： 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 但满足： a）有较好的随机、均匀性。 但满足： a）有较好的随机、均匀性。 ）周期长、重复性差。 ab ）有较好的随机、均匀性。 b ）周期长、重复性差。 c）周期长、重复性差。 ）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 ） b c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 ） d ）算法可再现，速度快。 c ）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 ） d）算法可再现，速度快。 c）算法过程不退化 故这是目前最常用的方法。 d ）算法可再现，速度快。 d）算法可再现，速度快。 故这是目前最常用的方法。 故这是目前最常用的方法。
代表了该运动员的成绩。换言之，为积分 <g> 的估计值，或近 似值。
• 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望 <g>的估计值（积分近似值）。
设射击运动员的弹着点分布为 环数 概率 7 0.1 8 0.1 9 0.3 10 0.5
0.1 命中7环
用计算机作随机试验（射击）的方 法为，选取一个随机数ξ，按右边所列 方法判断得到成绩。
（2）实现从已知概率分布抽样。构造了概率模型以后，由于各 种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此 产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙 特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为 随机抽样的原因。
最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0, 1)上的均匀分布。 随机数就是具有这种均匀分布的随机变量，随机数序列就是一个具有 这种分布的相互独立的随机变数序列。

系统仿真的特点
• 系统仿真模型是面向实际过程和系统性问题的。 • 系统仿真技术是一种实验手段，可以在短时间内通 过计算机获得对系统运行规律以及未来特性的认识。 • 系统仿真研究由多次独立的重复模拟过程所组成， 需要进行多次实验的统计推断，并对系统的性能和 变化规律作多因素的综合评价。 • 系统仿真只能得到问题的一个特解或可行解，而不 能得到问题的通解或最优解。
这样，就进行了一次随机试验（射 击），得到了一次成绩 ｇ(r)，作Ｎ次 试验后，得到该运动员射击成绩的近 似值
0.2 命中8环 0.5 命中9环 命中10环
1 N g N g ห้องสมุดไป่ตู้ri ) N i 1
实施蒙特卡罗法有三个主要步骤：
（1）构造或描述概率过程。对于本身就具有随机性质的问题， 如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程；对于本 来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构 造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解， 即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929
射击问题（打靶游戏）
• 设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击 中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的 分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的 射击成绩为
为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立 一个概率模型或随机过程，使其某个参数等于问题的解；然后通过对模型或 过程的观察或抽样试验来计算所求随机参数的统计特征，最后给出所求解的 近似值，解的精确度可用估计值的标准误差来表示。 上述思想可以总结为三步：构造或描述概率过程；在概率过程中随机抽 样；建立各种估计量并给出近似解。 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在 17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪 人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出 现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上 大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
从已知分布随机抽样有多种方法，与从（0，1）上均匀分布抽样
不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产 生随机数为前提的。由此可见，随机数是实现蒙特卡罗模拟的基本 工具。
（3）建立各种估计量。一般来说，构造了概率模型并
能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一
个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无 偏估计量。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结 果进行考察和登记，从中得到问题的解。
•
其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。
每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随 机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的 随机变量s(x,θ)，为 1, 当x l sin s( x, ) 0, 其他 1 N 如果投针Ｎ次，则 s N s( xi , i ) N i 1 是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，
Buffon投针问题
• 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的 试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间 距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，
2l P a
2l 2l N ( ) • 再利用准确的关系式： aP a n
求出π值。
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典 概率论中著名的蒲丰氏问题。

系统仿真的步骤：
(1)．问题的描述、定义和分析； (2)．建立仿真模型；
(3)．数据采集和筛选；
(4)．仿真模型的确认； (5)．仿真模型的编程实现与验证； (6)．仿真试验设计； (7)．仿真模型的运行； (8)．仿真结果的输出、记录； (9)．分析数据，得出结论。

系统仿真的分类
连续系统仿真(Continuous System Simulation)
g g (r ) f (r )dr
0

• 用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即
g Eg (r )
• 现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为 r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平 均值
1 N g N g (ri ) N i 1
蒙特卡罗(Monte Carlo)仿真方法
Monte Carlo方法亦称统计模拟 (statistical simulation)方法，有 时也称着随机抽样(Random Sampling)技术或统计实验 (Statistical Testing)方法。 属于试验数学的一个分支，起源于早期的用几率近似概率的数 学思想，它利用随机数学进行统计试验，以求得的统计特征值 （如均值、概率等）作为待解问题的数值解(利用随机数进行数 值模拟的方法)。 这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿 计划”，该计划的主持人之一数学家冯.诺依曼把他和乌拉姆所
设针投到地面上的位置可 以用一组参数（x,θ）来描述，x 为针中心的坐标，θ为针与平行 线的夹角，如图所示。
任意投针，就是意味着x与 θ都是任意取的，但x的范围限 于［0，a］，夹角θ的范围限于 ［0，π］。在此情况下，针与 平行线相交的数学条件是
x l sin
针在平行线间的位置
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在 ［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：
P s ( x, ) f1 ( x) f 2 ( )dxd

d
0


l sin
0
dx 2l a a
于是有 2l 2l aP as N
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596
Monte Carlo模拟方法的概率依据
蒙特卡罗方法以概率统计理论为其主要理论基础，以随机抽样（随
机变量的抽样）为其主要手段。它可以解决各种类型的问题，但总
的来说，视其是否涉及随机过程的状态和结果，这些问题可分为两 类：第一类是确定性的数学问题，如计算多重积分、解线性代数方 程组等；第二类是随机性问题，如原子核物理问题、运筹学中的库 存问题、随机服务系统中的排队问题、动物的生态竞争和传染病的 蔓延问题等。
系统状态变量随时间连续变化，通常用常微分方程、偏微分方程或差分 方程描述的系统称为连续系统，该类系统仿真称为连续系统仿真。热电、化 工、航天航空中许多系统都属于连续系统，社会经济系统也是一种连续系统。
离散事件系统仿真(Discrete event System Simulation)
系统状态变量随时间呈间断性变化，即系统状态仅在可数的或有限的时间 点上发生变化。或者指系统状态只是在一些时间点上由于某些随机事件的驱 动儿发生变化的这一类系统。对于这一类系统仿真称之为离散事件系统仿真。 在某次额系统中既包含了离散事件仿真，又有连续系统仿真，那么称之为复 合系统仿真。加工车间作业调度、多出纳台的银行系统、计算机分时系统则 是典型的离散事件系统。
Cuixia Wang
第4章 系统仿真方法
System Simulation Method
本 章 问
题
------ 概念!

什么是系统仿真？
为什么要系统仿真？ ------ 作用! 如何进行系统仿真？ ------ 方法!
系统仿真的概念


什么是系统仿真？
为什么要系统仿真？

什么是系统仿真？
系统仿真（亦称系统模拟）是指通过建立和运 行系统的数学模型，来模仿实际系统的运行 状态及其随时间变化的规律，以实现在计算 机上进行试验的全过程。

为什么要系统仿真？
由于安全、经济、技术、时间等原因，对实际系
统进行真实的物理试验很困难或者跟踪记录试验数据
难以实现时，仿真技术就成为必不可少的工具。

系统仿真的应用领域
在我国，目前仿真技术已经渗透到国民经济建设的
各个领域，包括社会经济、交通运输、生态环境、
军事装备、企业管理等，还有最近兴起的网络仿真
技术等。

管理系统仿真
公共管理的对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不 能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟技术就
成为十分重要甚至必不可少的工具。本讲在介绍管理系统模拟 的概念以及一般原理、方法和步骤的基础上，主要介绍四种基 本的模拟方法及其模型，即蒙特卡洛模拟方法、排队模型、系 统动力学模拟、多AGENT系统模拟。通过蒙特卡洛模拟可以具 体了解管理系统模拟的基本原理及方法，排队模型与多AGENT 系统体现了离散事件系统模拟的特点与规律，而系统动力学模 拟则是一种可以广泛应用于公共管理决策及政策分析的连续系 统模拟方法。
1 / a, 0 x a f 1 ( x) 其他 0,
类似地，θ的分布密度函数为：
1 / , 0 f 2 ( ) 其他 0,
因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ) 抽样θ的过程了。由此得到：
x a1 , 2
产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，
可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另 一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列，与真正的随机数
序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过经过多种统
计检验表明，它与真正的随机数或随机数序列具有相似的性质，因此 可把它作为真正的随机数来使用。
从事的与研制原子弹有关的秘密工作—对裂变物质的种子随机
扩散进行直接模拟，并以摩纳哥国的世界闻名赌城蒙特卡罗作 为秘密代号来称呼。

蒙特卡罗是摩纳哥公国(The Principality of Monaco)的第一大 城市，甚至超过了首都摩纳哥，与中国澳门、美国拉斯维 加斯并称世界三大赌城。
Monte Carlo模拟方法的基本思想