学习张量必看-一个文档学会张量!!!!张量分析

➢张量的三种记法：
➢ 实体记法：
➢ 分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 +31e3e1 32e3e2 33e3e3
➢ 分量记法：
ij
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ijn j i1n1 i2n2 i3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1 21n1 22n2 23n3 T2 31n1 32n2 33n3 T3
张量基本概念
➢ 标 量（零阶张量） 例如：质量，温度 质量密度 应变能密度 等等。 其值与坐标系选取无关。
张量基本概念
➢ 矢 量（一阶张量） 例如：位移，速度，
x3=z
u3e3 u
加速度，力，
e3=k
法向矢量,
e1=i
等等。
x1=x
p
u1e1
u2e2
e2=j
x2=y
1 i j ei e j 0 i j
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
陈玉丽 航空科学与工程学院
1
目录
引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程
张量代数，商法则
常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
引言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum
Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.
张量基本概念
采用指标符号后，线性变换表示为
源自文库
x1 x2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
a1 j x j a2 j x j
x3
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a3 j x j
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
既有大小又有方向性的物理量;
x3=z
u3e3 u
其分量与坐标系选取有关，满
p
u2e2
足坐标转换关系；
e3=k
u1e1
遵从相应的矢量运算规则。 e1=i
e2=j
x2=y
x1=x
张量基本概念
➢ 矢 量(可推广至张量)的三种记法：
➢ 实体记法： u
3
➢ 分解式记法： u u1e1 u2e2 u3e3 uiei i1
ji, j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji, j fi 0 i 换成k jk , j fk 0
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空 间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s2 d x1 2 d x2 2 d x3 2
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
x1 x2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
a1 j x j a2 j x j
x3
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a3 j x j
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
张量基本概念
➢ 二阶张量
应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。
➢ 三阶张量
压电张量，等。
➢ 四阶张量
弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源
➢ 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量； ➢ 低阶张量的梯度； ➢ 低阶张量的并积； ➢ 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
➢应力张量
张量基本概念
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
✓ ji, j fi 0
ji, j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
张量基本概念
➢ 矢 量（一阶张量）
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
x3=z
u3e3 u
3
u u1e1 u2e2 u3e3 uiei i1
p
e3=k
u1e1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1=i
e2=j
e1, e2, e3是单位基矢量。
x1=x
u2e2 x2=y
张量基本概念
➢ 矢 量（一阶张量）
➢ 分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标, , , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
➢ 拉丁指标
u=uiei u1e1 u2e2 u3e3 a b=akbk = a1b1 a2b2 a3b3
➢ 希腊指标
u=u e u1e1 u2e2 a b=a b = a1b1 a2b2
可简写成： d s2 d xi d xi
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 爱因斯坦求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
u u1e1 u2e2 u3e3 uiei =uiei i 1 3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi =aibi i 1
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = aibi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。 例如：
a b= a jbj ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j,