积分因子的求法及简单应用

积分因子的求法及简单应用

1. 恰当微分方程的概念及判定

1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程

(),dy

f x y dx =

写成微分形式

(),0

f x y dx dy -=

或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

()(),,0

M x y dx N x y dy += ⑴

这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即

()()(),,,u u

M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==

+∂∂

则称方程⑴为恰当微分方程. []

1

1.2 恰当微分方程的判定

定理1 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有

M N

y x ∂∂=∂∂.

利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.

2. 积分因子

如果对于方程⑴在某矩形域内

M N

y x ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得

()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴

的1个积分因子.

注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是

u u M N N

M u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭

3. 积分因子求法举例

3.1 观察法

对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如:

⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1

xy

⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21

x -，21y ，1xy ，221x y +，22

1x y -

例1 找出微分方程()()110

xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子. 解 将原方程各项重新组合可以写成

()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=

由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1

xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程

有积分因子

()2

1

xy .

观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法

引理1 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22

u x y ±，

y u x ⎛⎫ ⎪

⎝⎭的积分因子的充要条件有：

① 方程⑴存在仅与x 有关的积分因子的充要条件：

()1M N x N y x ⎛⎫

∂∂ψ=

- ⎪

∂∂⎝⎭，()x ψ是仅与x 有关的函数；

② 方程⑴存在仅与y 有关的积分因子的充要条件：

()1M N y M y x ⎛⎫

∂∂ψ=-

- ⎪

∂∂⎝⎭，()y ψ是仅与y 有关的函数；

③ 方程⑴有形如

()

u x y ±的积分因子的充要条件：

()M N

y x

x y N M ∂∂-∂∂ψ+=

-，()x y ψ+是仅与x+y 有关的函数，

()M N y x

x y N M ∂∂-∂∂ψ-=

+，()x y ψ-是仅与x-y 有关的函数； ④ 方程⑴有形如

()

u xy 的积分因子的充要条件：

()M N y x

xy Ny Mx ∂∂-∂∂ψ=

-，()xy ψ是仅与xy 有关的函数； ⑤ 方程⑴有形如

()

22u x y ±的积分因子的充要条件：

()2222M N

y x

x y Nx My ∂∂-∂∂ψ+=-，()22x y ψ+是仅与22x y +有关的函数， ()2222M N

y x

x y Nx My ∂∂-∂∂ψ-=+，()22x y ψ-是仅与22x y -有关的函数； ⑥ 方程⑴有形如y u x ⎛⎫

⎪

⎝⎭的积分因子的充要条件：

211M N

y y x x Ny M x x ∂∂-

∂∂⎛⎫ψ=-

⎪⎝⎭+，y x ⎛⎫ψ

⎪

⎝

⎭是仅与y

x 有关的函数。

若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及M y ∂∂，N

x ∂∂的关系满足以上6个充要条件

之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程

()

()ln ,d u x y z dz =ψ求得（其中()z ψ是z 的函数）.z 可以取x ，y ，x y ±，xy ，

22x y ±，y

x ，由此可得()()z dz u z e ψ⎰=.

我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.

例2 求解微分方程

()()2

3

320

x y

y dx x y x dy ++-=的积分因子.

解 由于2

M N

y x ∂∂-=∂∂，()(),,2N x y y M x y x xy -=-

观察可得：

()()1,,M N y x

N x y y M x y x xy

∂∂-

∂∂=-

-是关于xy 的函数

故原方程有积分因子：()()

1

1

,d xy xy u x y e

xy -⎰==-

.

3.3 分组求积分因子法

定理3 若u 为方程⑴的一个积分因子，且uMdx uNdy dv +=，则()

u v Φ也是

方程⑴的积分因子，其中()

v Φ是v 的任一连续可微函数.

也可以说 微分方程(

)()11220

M dx N dy M dx N dy +++=

1

u 是第一部分的积分因子，即11111

u M dx u N dy du += 2u 是第二部分的积分因子，即

22222

u M dx u N dy du +=

从

()11u ϕ，

()

22u ϕ中选择满足

()()

111222u u u u ϕϕ=的

()11u ϕ和

()

22u ϕ，其中

()

11u ϕ，