无穷小量比较替换

2020年5月10日星期日
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注意：不能滥用等价无穷小代换.
无穷小代换原则：积商可部分代换，
和差只能总体代换.
例5. 求 lim tan x sin x .
x0 sin3 2x
错解 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x.
原式
lim
x0
xx (2x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
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若 lim f ( x) ，则上述各式中的 x 可换为 f (x) 。 x x 如： x 时 sin(x ) ~ x
ln x ln[ ( x )] ~ x
x 时 e x ~ x
2、等价无穷小代换定理
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
例3.
求 lim ex 1.
x0 x
解 令 ex 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时,有 u 0,
ex 1
lim
lim
u
lim
x0 x
u0 ln(1 u) u0
1
1
ln(1 u)u
1
1
1
ln e
1.
lim ln(1 u)u
u0
即，当x 0时，x ~ ln(1 x), x ~ ex 1.
lim
x2
x
x0
3 o(x)
x
5. 3
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四、小结与思考判断题
1 无穷小的比较
高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度
快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
一、问题的提出
例如: 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小. x
观
x2 lim 0,
x 2比3 x要快得多;
察
x0 3x
各
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
极 限
lim
x0
x 2 sin x2
1
x（ 0 型） 0
lim sin
x0
1 不存在. x
2
8.
例4. 求 lim (x 1) sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时,sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim(x 1) 1.
x0 x
x0
注意：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，
则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等
价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
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三、等价无穷小代换定理
1、等价充要性:
定理1 ~ o(),称 是 的主要部分 .
证
必要性 设 ~ ，
lim
lim
1
0，
o( )，即 o( )．
充分性 设 o( )．
lim lim o( )
~ ．
当x 0时,
y
y 1 x2 2
y 1 cos x
O
x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x)
x ~ ex 1, 1 cos x ~ 1 x2, (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
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特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3)
如果
lim
k
C(C
0, k
0), 就说是的k阶的
无穷小.
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例如:
lim
x0
x2 3x
0，
即
x2
o(3 x )
(x
0).
当x 0时，x2是比3x高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
不可比.
结论:极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
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二、无穷小的比较
设, 是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说是比高阶的无穷小,
记作 o( )（ ; 是比 低阶的无穷小）
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3,
Βιβλιοθήκη Baidu1 x3
2
原式 lim 2 x0 (2x)3
1. 16
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另例1.
lim
x0
tan x5 sin sin2 x2
1 x
lim
x0
x5 sin x4
1 x
lim x sin
x0
1 x
0
另例2.
求 lim tan 5x cos x 1.
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o( x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
5x
2
o(x)
1
x2
o( x 2
)
原式 lim
2
x0
3x o(x)
5 o(x) 1 x o(x2 )
lim（１＋o( )） 1，
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
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例如: 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2. 2
sin x x o(x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ). 2
常用等价无穷小:
即sin x ~ x (x 0).
当x 0时，sin x与x是等价无穷小．
lim ln(1 1 x) 3， x 1 3x
当x 时，ln(1 1)与 1 是同阶无穷小． x 3x
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例1.证明:当x 0时, x2 tan 3 x为x的五阶无穷小.
解
lim
x0
x2
tan3 x5
x
lim( tan x )3 1 x0 x
故当x 0时, x2 tan3 x为x的5阶无穷小.
例2. 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x 1 cos x
lim( x0 x
x2
)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
证
lim
lim( )
lim lim lim
lim .
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例3.
求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2, tan 2x ~ 2x.
原式
lim
x0
(2x)2 (1 2)x2