无穷小量比较替换
18个等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。
可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。
这里的"阶"指的是关于x的单项式中，x的指数。
所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。
三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。
其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。
这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。
等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。
下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：利用等阶无穷小量替换求极限：(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，所以原极限=1.怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。
无穷小的比较
(4). ϕ ( x ) ⋅ o( x n ) = o( x n )
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
(1 + x 2 ) − 1 例6 求 lim x →0 cos x − 1
2
1 3
1 3
Calculus
1 2 1 2 解 当x → 0时, (1 + x ) − 1 ~ x , cos x − 1 ~ x 3 2 1 2 1 x 2 (1 + x 2 ) 3 − 1 3 ∴ lim = lim =− x→0 x→0 1 2 cos x − 1 3 − x 2 tan x − sin x 例7 求 lim . 3
x
(1 + x )α − 1 ~ αx
注
1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、 指、三）必须熟练掌握
2.将x换成∀f ( x ) → 0都成立
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
Calculus
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
定理1 β 与 α 是等价无穷小的的充分 必要条件
1 1 1 u ⋅ u ⋅L⋅ u 1 n 2 3 = = lim n −1 u→ 0 n! u
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
Calculus
tan x − sin x 1. 求 lim . 3 x →0 sin 2 x
无穷小的比较
o( x ) 1 o( x 2 ) 5+ + x+ x 2 x = 5. = lim x→0 o( x ) 3 3+ x
三、小结
1.无穷小的比较 无穷小的比较: 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
解
当x → 0时,
1 1 + 2 x + x − 1 ~ (2 x + x 2 ), arctan 2 x ~ 2 x. 2
2
1 1 2 (2 x + x ) (2 + x) 1 2 2 原式 = lim = lim = . x →0 x →0 2x 2 2
例 解
e x + e− x − 2 求 lim . 2 x → 0 ln(1 − x ) e (e − 1) 原极限 = lim . 2 x →0 ln(1 − x )
2.等价无穷小的替换 等价无穷小的替换: 等价无穷小的替换
求极限的又一种方法, 注意适用条件. 求极限的又一种方法 注意适用条件
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？ 任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能． 不能． 例当 x → +∞ 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) = , g( x ) = x x g( x ) = lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x → +∞ f ( x ) x → +∞
2 2
, .
快
最新等价无穷小量替换定理
§2–6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =αβlim（c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，（1）如果Y Zlim= c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果YZlim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量；（3）如果kYZlim = c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部定义3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与kα（k ＞0）是同阶的无穷小，即kαβlim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。
重点难点突破1．关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =αβ； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim=αβ（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim存在，则αβlim =αβ''lim无穷小量的比较表2．关于无穷小的阶 当x →0时，由恒等式（ⅰ）o (x n )+ o (x m )= o (x n ) 0＜n ＜m （ⅱ）o (x n ) o (x m )= o (x m+n ) m ＞0, n ＞0 3．关于无穷小的替换定理设当0x x →时，)(~)(21x x αα，)(~)(21x x ββ，)()(lim220x x x x αβ→存在，则)()()()(lim 22110x x x x x x αβαβ=→．解题方法指导1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：例1 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ① x - 3x 3 + x 5 ②sinxtgx解：①因为当x →0时，在x - 3x 3 + x 5中3x 3 与x 5都是x 的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）13lim 530=+-→xx x x x 所以，当x →0时，x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小②因为当x →0时，sin x ～x ，tg x ～x ，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x =o (x 2)，即1sin lim 20=→xxtgxx 所以，当x →0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数例2 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ①x x --+11 ②tg x –sin x 解：①通过分子有理化将原式变形x x --+11=xx x-++112由此看出，当x →0时，x x --+11是x 的一阶无穷小，事实上 1)11(2lim0=-++→x x x xx②通过三角函数的公式将原式变形xx x x x x x tgx cos )cos 1(sin sin cos sin sin -=-=- 因为 sin x ～x ， 1-cos x ～21x 2由此看出，当x →0时，tg x –sin x 是x 的三阶无穷小，事实上21cos 21lim cos )cos 1(sin lim 32030=••=•-→→x x x x x x x x x x 此题错误解法： 解：因为 0sin lim sin lim00=⎪⎭⎫⎝⎛-=-→→x x xtgx x x tgx x x所以，当x →0时，tg x –sin x 是x 的一阶无穷小这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与kα比的极限不能为零。
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式是一种在微积分中常用的方法，用于将一个无穷小量替换为与之等价的另一个无穷小量。
这种方法的基本思想是，当两个无穷小量之比在某一点趋于一个确定的常数时，这两个无穷小量可以相互替换。
这个常数通常称为等价常数。
在使用等价无穷小等价替换公式时，需要首先确定无穷小量的等价常数。
这通常可以通过求极限的方法获得。
例如，当$x$趋于$0$时，$sin x$可以等价替换为$x$，因为$limlimits_{xto 0}frac{sin x}{x}=1$。
另一个常用的等价替换公式是$e^x-1$可以等价替换为$x$，因为$limlimits_{xto 0}frac{e^x-1}{x}=1$。
需要注意的是，等价无穷小等价替换公式仅适用于无穷小量在某一点附近的情况，而不能在整个定义域范围内使用。
此外，使用等价无穷小等价替换公式时，需要注意等价常数的确定，以免产生误差。
总之，等价无穷小等价替换公式是微积分中重要的工具之一，它可以帮助我们简化计算，并得到更加简洁的结果。
- 1 -。
2_7 无穷小量的比较
( x − 1) 2 x −1 解：1） ∵ lim = lim = 0, 2 x →1 x − 1 x →1 x + 1 1 − cos 2 x + x 3 1 − cos 2 x x3 α 2) lim = lim = lim + lim 2 2 2 x→0 β x→0 x→0 x→0 x x x 2sin 2 x = lim + lim x = 2 − 0 = 2 ≠ 1 2 x→0 x→0 x
x
x
ln(1 + x ) x ∴ lim = lim = 1 x→0 x →0 x sin x
解: ∵ x → 0 时 , e − 1 ~ x
ex −1 x ∴ lim = lim =2 x→0 1 + x − 1 x →0 1 x 2
1 1+ x −1 ~ x 2
微积分二 微积分二⑥
14/38
( x + 1)sin2x 例3 lim x→0 arcsin x 解：当x → 0时, sin2 x ~ 2 x, arcsin x ~ x.
1 1 1 2 − (cos x − 1) ⋅ x 1 2 2 2 = = lim = lim 1 1 2 x → 0+ x → 0+ 2 2 x x ( x) 2 2
微积分二 微积分二⑥
19/38
0 lim ( 型) + x→0 x(1 − cos x ) 0 (1 − cos x )(1 + cos x ) 解2：原极限= lim 原极限= x → 0+ x (1 − cos x )(1 + cos x ) 1 − cos x = lim x → 0+ x ((1 − cos x ))(1 + cos x ) 1 2 x 1 2 = lim = 2 1 x → 0+ 2 x x (1 + cos x ) 2
等价无穷小替换及洛必达法则
例 4 求 lim x ln x ，其中 0 . x 0
在用洛必达法则求待定型时，应注意以下几点：
（1）在
0 0
或
待定型中，
lim
f (x) g ( x)
不存在，不能断言
lim
f (x) 不存在！例如 g(x)
6
lim
x
sin
x x
x
＝
1。但 lim x
(sin
x x
00, 求
lim
x0
f
( x).
8. 拆项，凑项求极限
例 21 求极限 lim e x cos x ；
x0
x
3
例 22
求极限
lim
3
sin
x
x
2
cos
1 x
x0
2x
【启发与讨论】
思考题
1：当
x
0
时，
y
1 x
sin
1 x
是无界变量吗？是无穷大吗？
解： (1)
取
x0
1 2k
＝
A
t
例 1 求 lim x x0 1 e2 x
例2
求极限
lim
x0
ex
(1 ln(1
2x)1/ 2 x2)
关于 待定型，也有类似的洛必达法则．
定理 若(1) f (x) ， g(x) 在 (a, a ) 可导且 g(x) 0 ，其中 0 ；
5
(2) lim f (x) ＝ lim g(x) ＝ ；
常用等价无穷小:当x 0时,
（1） sin x ～ x ；
等价无穷小量替换定理
§ 2-6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1设a 、B 是某一极限过程中的两个无穷小，若Plim c （ c 为常数）a无穷小的阶与主部lim―k = C M 0则称3是关于a 的k 阶无穷小。
a重点难点突破1.关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判 断两个无穷小的关系。
注意（1）符号3 =0（ a ）与3〜a 的含义一 亠 宀 .P3 =0( a )表示3是a 的咼阶无穷小，即lim — =0 ;aP lim — =1 a（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换: 卄 / / ・右a 〜a',3〜3‘，且lim —:存在，则a无穷小量的比较表定义3 把某极限过程中的无穷小 a 作为基本无穷小，如果k3与〉 （k > 0）是同阶的无穷小，即则（1） 当c M 0时， 称在此极限过程中3与 (2) 当c = 0时， 称在此极限过程中3是 (3) 当c = 1时， 称在此极限过程中 3与 2、 无穷大的比较是同阶无穷小；的高阶无穷小，记作 3 =。
（ a ）（读作小欧a ）；(1) 如果 (2) 如果 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，Z = c 工0则称Y 与Z 是同阶无穷大量； Y Z丫 = R 时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量;limlim (3) 如果limYk = c M o （ k > 0）,则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3〜a 表示3与a 是等价无穷小，即 P 皆 lim — = lim—: a a定义2limx —.0 x 3x 3 x 5x 所以，当X T 0时,x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小②因为当X T 0时，sin x 〜x , tg x 〜x ,由恒等式(ii)可得2sin xtgx ’sin x tg x=o(x )，即卩 lim 2所以，当X T 0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 (2)先将原式变形，再判断阶数 例2当X T 0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ② tg x - sin x解：①通过分子有理化将原式变形2x 1 X 1 - X由此看出，当X T 0时，】.1 'X - .1-X 是X 的一阶无穷小，事实上lim1XT x( ,1 x *1 - x)②通过三角函数的公式将原式变形, . sin x sin x(1 —cosx) cosxcosxP(x)是比cc(x)高阶的无穷小li P(x) 0lim ------ = 0ot (x)B(x) = 0 L (x)】(X T X 0 )a(x)与B (x)是同阶的无穷小lim B (x)=c (C 为不等于零的常数) x f a (x)a(x)与B (x)是等阶无穷小lim 0(X)=1 f a(x)a (x) ~ 0 (x)(X T X 0 )2 •关于无穷小的阶 当x T 0时，由恒等式(i) o(x n )+ o(x m )= o(x n )O v n v m(ii)o(x n ) o(x m )= o(x m+n ) m >0, n >03 •关于无穷小的替换定理 设当 X r X 。
高数无穷小量的比较
sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
1.无穷小的比较
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x → 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
lim[ f ( x )]g ( x ) = e lim g ( x )[ f ( x )1]
三,小结
1.无穷小的比较 无穷小的比较: 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
无穷小的比较
一,无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 x 3x ; = 0, lim 观 x→0 3 x 察 各 sin x sin x x ; = 1, lim 极 x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 . lim . 2 x→0 x→0 x x
2 2
, .
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
高等数学-无穷小量与无穷大量
8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量
1
.
例1 求
2
→0 + 1
解 当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1
→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时， 为无穷小；
= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时， 不是无穷小.
4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷
和差运算中无穷小的等价替换方法利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求无穷小量代数和的极限
差
运
算
中
无穷小的等价替换方法
&
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公
式求无穷小量代数和的极限
1 2 3
01 和 差 运 算 中 无 穷 小 的等价替换方法
复习：常见的求极限的方法 方法1：极限运算法则
函数和差积商的极限=极限的和差积
方法2：等价无穷小替换 无穷小的比较
常见等价无穷小
x→0
sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x
在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃， 以简化计算。(即：低阶无穷小＋高阶无穷小⇔低阶无穷小)P54定理1
为什么上一题的sin x 和xcos x要用三阶的麦克劳林公式而不用一阶或 者五阶的呢？拿到一个题目要怎么确定要用几阶的麦克劳林公式呢？有大佬总结出两个规律来自分式上下同阶原则和加减幂次最低原则
arctan x ~ x
ln(1+ x) ~ x
x＋1
x＋1
★在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意： 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量 来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换。
推论：两个同阶但非等价的无穷小之差的每 一项都可以用与之等价的无穷小替换。
简单地说：替换后分子或分母不为0的均可替换
thank you for watching!
2019.05.23
两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
运用等价无穷小的替换时，可以只替换分子或分母，也可以将 分子和分母同时替换。
02 泰 勒 公 式
泰勒公式是高等数学的核心内容之一，其基本思想是将一些
复杂的函数关系近似地表示为简单的幂级数的形式达到化繁
1-7无穷小量、比较、替换
蚌埠学院 高等数学
14
当x 时，ln(1 1)与 1 是同阶无穷小． x 3x
2020年1月11日星期六
蚌埠学院 高等数学
4
例1.证明:当x 0时, x2 tan 3 x为x的五阶无穷小.
解
x2 tan3 x
lim
x0
x5
lim( tan x )3 1 x0 x
故当x 0时, x2 tan3 x为x的5阶无穷小.
10
注意：不能滥用等价无穷小代换.
无穷小代换原则：积商可部分代换，
和差只能总体代换.
例5.
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
错解 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x.
原式
lim
x0
xx (2x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
常用等价无穷小:
当x 0时,
y
y 1 x2 2
y 1 cos x
O
x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x)
x ~ ex 1, 1 cos x ~ 1 x2, (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
2020年1月11日星期六
记作 o( )（ ; 是比 低阶的无穷小）
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim )
如果
lim
k
C(C 0, k
0), 就说是的k阶的
无穷小.
2020年1月11日星期六
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
无穷小的比较
1
1
x0 x
ax 1
lim
1
x0 x ln a
(5) lim 1 cos x 1
x0 1 x2 2
x 0时sin x ~ x x 0时arcsinx ~ x
x 0时 ln(1 x) ~ x
x 0时ex 1 ~ x
x 0时ax 1 ~ x ln a x 0时1 cos x ~ 1 x2
4、利用等价无穷小计算下列极限:
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换
例5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
A(A
0)
f(x)与g(x)为同阶无穷小.
1 称f(x)与g(x)等价无穷小,记f(x) ~ g(x)
若 lim f ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量. xX g( x)
例1 :当x 0时, x 1000x3与x相比是(C )无穷小.
(A)高 阶; (B)低 阶; (C)等 价; (D)同 阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
关于无穷小的若干比较方法及应用
关于无穷小的若干比较方法及应用绪玉珍(江苏师范大学科文学院㊀２２１０００)摘㊀要:函数的极限是极限理论的一个重要组成部分ꎬ无穷小的定义与计算则是函数极限的基础.无穷小的比较问题是微积分的重要内容ꎬ为了更系统地解决此类问题ꎬ文章从无穷小比较的定义㊁等价无穷小定阶法㊁比较定阶法㊁泰勒公式定阶法㊁求导定阶法这五种方法进行了讨论ꎬ并且分别给出了对应的实例分析.灵活使用这些方法ꎬ可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.关键词:无穷小的比较ꎻ等价无穷小ꎻ泰勒公式ꎻ定阶法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０３－００１７－０３收稿日期:２０２２－１０－２５作者简介:绪玉珍(１９８７－)ꎬ女ꎬ山东省邹城人ꎬ硕士ꎬ从事高等数学教学研究.基金项目:２０２１年江苏省高校 大学生劳动教育 基础课课程群 专项课题(２０２１ＪＤＫＴ０５６).㊀㊀极限理论是高等数学的基础ꎬ函数的极限是极限理论的一个重要组成部分.极限为零的变量称为无穷小量ꎬ简称 无穷小 ꎬ在函数及数列的极限㊁函数的连续性㊁微分和积分的定义中都有无穷小的应用.然而ꎬ理解清楚无穷小的概念以及运算有一定的难度.无穷小的比较问题ꎬ不仅是高等数学的重要内容ꎬ也是历年全国硕士研究生招生考试的重要考点.本文主要针对无穷小的比较给出了几种方法ꎬ有利于读者进一步理解无穷小的含义以及更加系统地掌握此类问题的解决方法.１根据定义比较无穷小定义１㊀设α及β是在同一自变量变化过程中的无穷小ꎬ且αʂ０ꎬｌｉｍβα也是在此变化过程中的极限.如果ｌｉｍβα＝０ꎬ那么就说β是比α高阶的无穷小ꎬ记作β＝ｏα()ꎻ如果ｌｉｍβα＝¥ꎬ那么就说β是比α低阶的无穷小ꎻ如果ｌｉｍβα＝ｃʂ０ꎬ那么就说β与α是同阶无穷小ꎻ特别地ꎬ若ｌｉｍβα＝１ꎬ那么就说β与α是等价无穷小ꎬ记作α~βꎻ如果ｌｉｍβαｋ＝ｃʂ０ꎬｋ>０ꎬ那么就说β是关于α的ｋ阶无穷小.通过定义发现ꎬ比较两个无穷小α及βꎬ相当于求极限ｌｉｍβα.例１㊀当ｘң０时ꎬ比较２ｘ－ｘ２与ｘ２－２ｘ３的阶.解㊀因为ｌｉｍｘң０２ｘ－ｘ２ｘ２－２ｘ３＝ｌｉｍｘң０２－ｘｘ－２ｘ２＝¥ꎬ所以２ｘ－ｘ２是比ｘ２－２ｘ３低阶的无穷小.注１㊀不是任意两个无穷小都可以比较ꎬ因为只有当两个无穷小量比值的极限存在或为无穷大时ꎬ才可以比较这两个无穷小.特别地ꎬｘｋ＋οｘｋ()是ｘ的ｋ阶无穷小ｋ>０().类似于这个方法ꎬ对于无穷７１小的比较ꎬ除了可以使用定义ꎬ还可以通过确定每个无穷小的阶ꎬ然后比较阶的大小来比较两个无穷小.２比较无穷小的阶２.１等价无穷小定阶法定理１㊀设α~α~ꎬβ~β~ꎬ且ｌｉｍβ~α~存在ꎬ则ｌｉｍβα＝ｌｉｍβ~α~.㊀定理１只适用于函数相乘或者相除形式的极限ꎬ加减法并不适用.例２㊀(２００７年全国硕士研究生招生考试试题)当ｘң０＋时ꎬ与ｘ等价的无穷小量是(㊀)Ａ.１－ｅｘ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｌｎ１＋ｘ１－ｘＣ.１＋ｘ－１Ｄ.１－ｃｏｓｘ解㊀此题利用的就是等价无穷小的推广形式ꎬ当ｘң０＋时ꎬ１－ｅｘ~－ｘꎬｌｎ１＋ｘ１－ｘ~１＋ｘ１－ｘ－１ꎬ其中１＋ｘ１－ｘ－１＝ｘ＋ｘ１－ｘ＝ｘｘ＋１()１－ｘ~ｘꎬ所以ｌｎ１＋ｘ１－ｘ~ｘꎬ而对于选项Ｃ㊁Ｄꎬ有１＋ｘ－１~１２ｘꎬ１－ｃｏｓｘ~１２ｘ()２＝１２ｘ.故选Ｂ.２.２与(ｘ－ａ)ｋｋ>０()比较定阶法由无穷小比较的定义可知:当ｘңａ时ꎬ若φｘ()ң０ꎬ且ｌｉｍｘңａφｘ()(ｘ－ａ)ｋ＝Ｃʂ０ꎬｋ>０()ꎬ则φｘ()是ｘ－ａ的ｋ阶无穷小.所以ｘңａ时ꎬ如果不能比较显然地看出一个无穷小量的阶数ꎬ则可以把此无穷小量与(ｘ－ａ)ｋ比较ꎬ通过计算来确定它是ｘ－ａ的几阶无穷小.例３㊀当ｘң０时ꎬ比较ｅ－ｅｃｏｓｘ与１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ的阶.解㊀因为ｌｉｍｘң０ｅ－ｅｃｏｓｘｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅｃｏｓｘｅ１－ｃｏｓｘ－１()ｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅ１－ｃｏｓｘ()ｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅ２ｘ２ｘｋꎬ所以当ｋ＝２时ꎬｌｉｍｘң０ｅ－ｅｃｏｓｘｘｋ存在且不为０ꎬ故ｅ－ｅｃｏｓｘ是ｘ的２阶无穷小ꎻｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｘｋ１＋ｔａｎｘ＋１＋ｓｉｎｘ[]＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ１－ｃｏｓｘ()２ｘｋ＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ２ｘｋ－１＝ｌｉｍｘң０ｘ２４ｘｋ－１ꎬ所以当ｋ－１＝２ꎬ即ｋ＝３时ꎬｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｋ存在且不为０ꎬ故１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ是ｘ的３阶无穷小ꎬ综上ꎬ１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ是ｅ－ｅｃｏｓｘ的３２阶无穷小.２.３泰勒公式定阶法定理２㊀如果函数ｆｘ()在ｘ０处具有ｎ阶导数ꎬ那么存在ｘ０的一个邻域ꎬ对于邻域内任一ｘꎬ有ｆｘ()＝ｆｘ０()＋ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０()＋ｆᵡｘ０()２!ｘ－ｘ０()２＋ ＋ｆｎ()ｘ０()ｎ!ｘ－ｘ０()ｎ＋οｘ－ｘ０()ｎ()称为ｆｘ()在ｘ０处带有佩亚诺余项的ｎ阶泰勒公式.取ｘ０＝０ꎬ那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:ｆｘ()＝ｆ０()＋ｆᶄ０()ｘ＋ｆᵡ０()２!ｘ２＋ ＋ｆｎ()０()ｎ!ｘｎ＋οｘｎ()对于一些常见函数相加减的形式ꎬ用不了等价无穷小替换时ꎬ泰勒公式是个很好的选择.例４㊀当ｘң０时ꎬｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()是比ｘ２高阶的无穷小ꎬ求ａꎬｂ.解㊀因为ｅｘ的麦克劳林公式为ｅｘ＝１＋ｘ＋１２ｘ２＋οｘ２()ꎬ所以ｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()＝１－ｂ()ｘ＋１２－ａæèçöø÷ｘ２＋οｘ２()ꎬ而ｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()是比ｘ２高阶的无穷小ꎬ故１－ｂ＝０１２－ａ＝０{ꎬ即ａ＝１２ｂ＝１{.８１泰勒公式在求极限时使用方便ꎬ实际上利用泰勒公式还可以找一个无穷小量的等价无穷小.推论１㊀若ｆｘ()在ｘ０处具有ｎ阶导数ꎬ且ｆｘ０()＝０ꎬｆᶄｘ０()＝０ꎬ ꎬｆｎ－１()ｘ０()＝０ꎬｆｎ()ｘ０()ʂ０ꎬｎȡ２()ꎬ则当ｘңｘ０时ꎬｆｘ()~ｆｎ()ｘ０()ｎ!ｘ－ｘ０()ｎ.特别地ꎬ若ｆｘ０()＝０ꎬｆᶄｘ０()ʂ０ꎬ则当ｘңｘ０时ꎬｆｘ()~ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０().注２㊀在利用泰勒公式求函数相加减后的量的等价无穷小时ꎬ要将各函数展开到相同阶数ꎬ并且在加减运算完成后至少要剩余一个非零项ꎬ才可以根据推论１得到函数的等价无穷小.２.４求导定阶法定理３㊀设ｌｉｍｘң０αｘ()＝０ꎬ且αｘ()在ｘ＝０的某邻域内可导.(１)若ｘң０时ꎬ存在常数ｋ>０ꎬ使得αᶄｘ()~ｘｋꎬ则αｘ()~ｘｋ＋１ｋ＋１ꎻ(２)若存在常数Ｃʂ０ꎬ使得ｌｉｍｘң０αᶄｘ()＝Ｃꎬ则αｘ()~Ｃｘ.此定理由洛必达法则容易证明.由定理３可知ꎬ比较两个无穷小α与β的阶ꎬ可以转化为比较它们各自的导函数αᶄ与βᶄ的阶数ꎬαᶄ与βᶄ阶数具有什么样的关系ꎬ则α与β阶数具有同样的关系.当前面三种定阶法都不能很好地处理无穷小比较的问题时ꎬ求导定阶法往往可以解决一定的问题.特别地ꎬ如果遇到多个无穷小是积分上限的函数ꎬ在比较这些无穷小时ꎬ求导定阶法可以快速地解决问题.例５㊀(２０２０年全国硕士研究生招生考试试题)当ｘң０＋时ꎬ下列无穷小量中阶数最高的是(㊀㊀).Ａ.ʏｘ０ｅｔ２－１()ｄｔ㊀㊀㊀Ｂ.ʏｘ０ｌｎ１＋ｔ３()ｄｔＣ.ʏｓｉｎｘ０ｓｉｎｔ２ｄｔＤ.ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ解㊀当ｘң０＋时ꎬ由于四个选项中的无穷小都是积分上限的函数ꎬ比较它们的阶数ꎬ相当于比较它们各自的导函数的阶数.ʏｘ０ｅｔ２－１()ｄｔ[]ᶄ＝ｅｘ２－１~ｘ２ꎻʏｘ０ｌｎ１＋ｔ３()ｄｔ[]ᶄ＝ｌｎ１＋ｘ３()~ｘ３ꎻʏｓｉｎｘ０ｓｉｎｔ２ｄｔ[]ᶄ＝ｓｉｎｓｉｎｘ()２ ｃｏｓｘ~ｓｉｎｘ()２~ｘ２ꎻʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ[]ᶄ＝ｓｉｎ３１－ｃｏｓｘ() ｓｉｎｘ~１－ｃｏｓｘ()３２ｘ~１２æèçöø÷３２ｘ４.综上ꎬ由于ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ的导数比其余三个函数的导数阶数高ꎬ所以ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ是四个选项中阶数最高的ꎬ答案选Ｄ.将以上四种确定无穷小的阶数的方法灵活使用ꎬ可以更加有效地处理无穷小的比较问题.４结论本文主要从无穷小比较的定义㊁等价无穷小定阶法㊁比较定阶法㊁泰勒公式定阶法㊁求导定阶法五种方法系统地归纳了无穷小量的比较问题ꎬ并结合实例给出了分析过程ꎬ使方法可以很好地结合实例进行应用.灵活使用这些方法ꎬ可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.参考文献:[１]同济大学应用数学系.高等数学(７版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]王莉.无穷小量定阶法及其应用[Ｊ].数学教学研究ꎬ２０１３ꎬ３２(２):５６－６０.[３]华东师范大学数学系.数学分析(４版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１１.[４]夏滨.谈无穷小阶的比较方法[Ｊ].理科爱好者ꎬ２０１４ꎬ６(２):５－６.[５]许洪范ꎬ饶维亚.非标准分析中无穷小量阶的研究[Ｊ].长春大学学报ꎬ２０００ꎬ１０(６):２６－３３.[６]潘建辉ꎬ胡学刚ꎬ邓志颖.关于 无穷小的比较的教学研究[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１１ꎬ１４(５):４３－４６.[７]方涛.关于无穷小量的几点注记[Ｊ].上海工程技术大学学报ꎬ２０１３ꎬ２７(３):２７５－２７７.[责任编辑:李㊀璟]９１。
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y
y 1 x2 2
y 1 cos x
O
x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x)
x ~ ex 1, 1 cos x ~ 1 x2, (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
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特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3)
如果
lim
k
C(C
0, k
0), 就说是的k阶的
无穷小.
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2
例如:
lim
x0
x2 3x
0，
即
x2
o(3 x )
(x
0).
当x 0时，x2是比3x高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
解
lim
x0
x2
tan3 x5
x
lim( tan x )3 1 x0 x
故当x 0时, x2 tan3 x为x的5阶无穷小.
例2. 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x 1 cos x
lim( x0 x
x2
)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
2
8.
例4. 求 lim (x 1) sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时,sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim(x 1) 1.
x0 x
x0
注意：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，
则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等
价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
即sin x ~ x (x 0).
当x 0时，sin x与x是等价无穷小．
lim ln(1 1 x) 3， x 1 3x
当x 时，ln(1 1)与 1 是同阶无穷小． x 3x
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例1.证明:当x 0时, x2 tan 3 x为x的五阶无穷小.
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注意：不能滥用等价无穷小代换.
无穷小代换原则：积商可部分代换，
和差只能总体代换.
例5. 求 lim tan x sin x .
x0 sin3 2x
错解 当x 0时, tan x ~ x,sin x ~ x.
原式
lim
x0
xx (2x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
0
另例2.
求 lim tan 5x cos x 1.
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o( x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
5x
2
o(x)
1
x2
o( x 2
)
原式 limBiblioteka 2x03x o(x)
5 o(x) 1 x o(x2 )
lim
x2
x
x0
3 o(x)
x
5. 3
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四、小结与思考判断题
1 无穷小的比较
高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度
快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
一、问题的提出
例如: 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小. x
观
x2 lim 0,
x 2比3 x要快得多;
察
x0 3x
各
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
极 限
lim
x0
x 2 sin x2
1
x（ 0 型） 0
lim sin
x0
1 不存在. x
证
lim
lim( )
lim lim lim
lim .
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例3.
求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2, tan 2x ~ 2x.
原式
lim
x0
(2x)2 (1 2)x2
lim（１＋o( )） 1，
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
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例如: 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2. 2
sin x x o(x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ). 2
常用等价无穷小:
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若 lim f ( x) ，则上述各式中的 x 可换为 f (x) 。 x x 如： x 时 sin(x ) ~ x
ln x ln[ ( x )] ~ x
x 时 e x ~ x
2、等价无穷小代换定理
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3,
1 x3
2
原式 lim 2 x0 (2x)3
1. 16
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另例1.
lim
x0
tan x5 sin sin2 x2
1 x
lim
x0
x5 sin x4
1 x
lim x sin
x0
1 x
例3.
求 lim ex 1.
x0 x
解 令 ex 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时,有 u 0,
ex 1
lim
lim
u
lim
x0 x
u0 ln(1 u) u0
1
1
ln(1 u)u
1
1
1
ln e
1.
lim ln(1 u)u
u0
即，当x 0时，x ~ ln(1 x), x ~ ex 1.
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三、等价无穷小代换定理
1、等价充要性:
定理1 ~ o(),称 是 的主要部分 .
证
必要性 设 ~ ，
lim
lim
1
0，
o( )，即 o( )．
充分性 设 o( )．
lim lim o( )
~ ．
不可比.
结论:极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
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二、无穷小的比较
设, 是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说是比高阶的无穷小,
记作 o( )（ ; 是比 低阶的无穷小）
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;