91预备知识：上极限和下极限

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所以,H为有限数时,对于任意 0， xn中有无穷多项落在( H , H ) 中, 而在( H , )中只有有限项.
(2).H=+时,xn无上界,所以,对于任 意N 0，xn中必有无穷多项大于N.
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n
一般地，数列 {xn }, 若有xnk a(k ). 则称a是数列的一个极限点。
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定义 设数列｛ x n ｝ ，对任意 k,令
k sup{ x k 1 , x k 2 , } sup{ x n },
nk
k inf{ x k 1 , x k 2 , } inf { x n },
nk
则 k 单调减少， k 单调增加，称极限
lim k H , lim k h, ， k k
分别为数列 { x n } 的上、下极限，记为
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limxn H lim k
n k
lim sup{xn } lim sup{xn1 , xn2 ,};
k n k k n k
lim xn h lim k
n k
lim inf{xn } lim inf{xn1 , xn2 ,}.
k n k k n k
显然
H limxn lim xn h.
n n
每个数列的上极限和下极限必定唯一.
n xn cos 4
x8k cos 2k 1, k . x4(2k 1) cos(2k 1) 1, k .
limxn 1, lim xn 1.
n n
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解:(3)
1 {xn ( 1) } n
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二、 上极限和下极限的性质
xn H . 则 定理1 设 lim n
(1).H为有限数时,对于任意 0， xn中有无穷多项落在( H , H )中, 而在( H , )中只有有限项.
(2).H=+时,对于任意N 0， xn中必有 无穷多项大于N.
推论１
lim x n a
n
的充分必要条件是
lim x n lim x n a .
n n
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例1 考察下列数列的上极限与下极限
（1） （2）
{xn n[1 (1)n ]}
n xn cos 4 n 1 {xn ( 1) } n
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(2).H=+时,由定理1,存在xn的 子列xnk , 而xn的其他子列 的极限自然不会大于 .
(3).H=-时,由定理1,此时xn , 从而xn的子列的极限自然都 .
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证明
(1).H为有限数时,由定理1知,xn中必有子 列xnk 收敛于H . 另外对任意 >0,在xn中只可能有有限多项 大于H , 于是说明xn中必有子列xnk 的极限 决不会大于H , 再由的任意性, 可得xn的 所有极限点不大于H . 所以H 是最大的极限点.
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证明
(1).H为有限数时,反设若存在 0 0， xn中只有有穷多项大于H 0 , 则存 在n0 , 当n n0时, 都有xn H 0 , 于是
n =sup{xn 1 ,xn 2 , } H 0 , (n n0 ),
因此,
H limxn lim n H 0 , 矛盾.
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(3).H=-时, 对任何G 0, 存在n0 , 当n>n 0时,xn 1 n <-G,所以,数列 {xn }以-为极限.
同理可证明如下关于下极限的定理。
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定理2 设 lim xn h. 则
n
(1).h为有限数时,对于任意 0， xn中有无穷多项落在(h , h ) 中, 而在(, h )中只有有限项.
第三篇 级数论
第一部分 数项级数 和广义积分
第九章 数项级数
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第1节 预备知识： 上极限和下极限
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一、 上极限和下极限
对于数列，我们最关心的是其收敛性，如果 不收敛，我们希望它有收敛的子列。 例如：
{xn (1) }, x2k 1 1, x2k 1 1 1, k .
(2).h=-时,对于任意N 0， xn中 必有无穷多项小于(-N) .
(3).h=+时, 数列xn以+为极限.
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下面定理指出，数列的上（下）极限比 较直观的描述。
定理3 数列的上极限H必是数列的最大极限点; 数列的下极限h必是数列的最小极限点.
n n
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于是,对于任意 0， xn中有 无穷多项大于H .
下再证明，xn中只有有穷多项大于 H .因为, lim n H , 故存在N,当
n
n N时, 都有 n H , 又因为
n =sup{xn 1 ,xn 2 , },所以当n>N时, xn k n H , 这就证明了xn中只 有有穷多项大于H .
(3).H=-时, 数列xn以-为极限.
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limxn H
n
对任意 0， xn中有无穷多项(xnk 中 有无穷多项)落在( H , H )内,
几何解释:
2
x1
xn
H
a
x2
x3
xN 2 x
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（3）
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解:(1)
{xn n[1 (1) ]}
n
x2k 2n , k . x2k 1 0 0, k .
limxn , lim xn 0.
n n
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解:(2)
n
limxn lim xn lim xn 0.
n n n
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